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初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用课时训练
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这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用课时训练，试卷主要包含了5．，1米）．等内容，欢迎下载使用。
28.2.2 应用举例
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为
A． B．
C．15tan 37° D．15sin 37°
【答案】C
【解析】如图，在ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tanC=，则AB=BC•tanC=15tan37°．
故选C．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为
A．200米 B．200米
C．400米 D．200（+1）米
【答案】D
【解析】过A作AB⊥MN于B,
在ABM中,
在Rt△ABN中,
∴BN=AB=200，
米.
故选D.
3．如图是一张简易活动餐桌，测得，，点和点是固定的．为了调节餐桌高矮，点有处固定点，分别使为，，，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）
A．cm B．cm
C．cm D．cm
【答案】B
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠OAB=时，桌面离地面最低，
∴DE的长即为最低长度，
∵OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，
∴AD=OA+OD=80cm，
在ADE中，
∵∠OAB=，AD=80cm，
∴
故选:B.
4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝高为，则迎水坡面的长度是
A． B．
C． D．
【答案】A
5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为
A．秒 B．16秒
C．秒 D．24秒
【答案】B
【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.
6．如图，在A、B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是
A．6千米 B．8千米
C．10千米 D．14千米
【答案】B
【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，
∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.
7．如图，小颖利用有一锐角是的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离，她的眼睛距地面的距离，那么这棵树高
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=ADtan30°=6×=2，∴CE=CD+DE= 2+1.5（m）．
故选B．
8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为多少米．
A．750 B．375
C．375 D．750
【答案】A
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．
【答案】2
【解析】在ABD中，
∵sin∠ABD=，
∴AD=4sin60°=2（m），
在ACD中，
∵sin∠ACD=，
∴AC= =2（m）．
故答案是：2．
10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．
【答案】18
【解析】作AD⊥BC于D，
设AC=x海里，
在ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，
则CD=x，
在ABD中，BD=x，
则x+x=18（1+），解得，x=18，
答：A，C之间的距离为18海里．
故答案为：18.
11．如图，一轮船由南向北航行到处时，发现与轮船相距海里的岛在北偏东方向．已知岛周围海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）
【答案】没有
【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．
12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从点测得塔顶的仰角为，测得塔基的仰角为，已知塔基高出测量仪，（即），则塔身的高为________米．
【答案】
【解析】在ABC中，AC=BC．
在BDC中有DC=BC=20，∴AD=AC−DC=BC−BC=20（−1）米．
故答案为：20（−1）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为，求建筑物的高度测角器的高度忽略不计，结果精确到米，，
【解析】设米，
∵∠C=45°，
在中，米，
， 米，
在中
tan∠ADB= ，
tan60°=，
解得
答，建筑物的高度为米．
14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin34°=0.56，cs34°=0.83，tan34°=0.67）
15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）
【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．
由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．
在AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=CG=75cm．
∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．
在EFG中，EF=EGtan∠EGF=350tan30°=350×=（cm）．
答：支撑角钢CD的长为75cm，EF的长为cm．
28.2.2 应用举例
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为
A． B．
C．15tan 37° D．15sin 37°
【答案】C
【解析】如图，在ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tanC=，则AB=BC•tanC=15tan37°．
故选C．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为
A．200米 B．200米
C．400米 D．200（+1）米
【答案】D
【解析】过A作AB⊥MN于B,
在ABM中,
在Rt△ABN中,
∴BN=AB=200，
米.
故选D.
3．如图是一张简易活动餐桌，测得，，点和点是固定的．为了调节餐桌高矮，点有处固定点，分别使为，，，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）
A．cm B．cm
C．cm D．cm
【答案】B
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠OAB=时，桌面离地面最低，
∴DE的长即为最低长度，
∵OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，
∴AD=OA+OD=80cm，
在ADE中，
∵∠OAB=，AD=80cm，
∴
故选:B.
4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝高为，则迎水坡面的长度是
A． B．
C． D．
【答案】A
5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为
A．秒 B．16秒
C．秒 D．24秒
【答案】B
【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.
6．如图，在A、B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是
A．6千米 B．8千米
C．10千米 D．14千米
【答案】B
【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，
∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.
7．如图，小颖利用有一锐角是的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离，她的眼睛距地面的距离，那么这棵树高
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=ADtan30°=6×=2，∴CE=CD+DE= 2+1.5（m）．
故选B．
8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为多少米．
A．750 B．375
C．375 D．750
【答案】A
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．
【答案】2
【解析】在ABD中，
∵sin∠ABD=，
∴AD=4sin60°=2（m），
在ACD中，
∵sin∠ACD=，
∴AC= =2（m）．
故答案是：2．
10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．
【答案】18
【解析】作AD⊥BC于D，
设AC=x海里，
在ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，
则CD=x，
在ABD中，BD=x，
则x+x=18（1+），解得，x=18，
答：A，C之间的距离为18海里．
故答案为：18.
11．如图，一轮船由南向北航行到处时，发现与轮船相距海里的岛在北偏东方向．已知岛周围海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）
【答案】没有
【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．
12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从点测得塔顶的仰角为，测得塔基的仰角为，已知塔基高出测量仪，（即），则塔身的高为________米．
【答案】
【解析】在ABC中，AC=BC．
在BDC中有DC=BC=20，∴AD=AC−DC=BC−BC=20（−1）米．
故答案为：20（−1）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为，求建筑物的高度测角器的高度忽略不计，结果精确到米，，
【解析】设米，
∵∠C=45°，
在中，米，
， 米，
在中
tan∠ADB= ，
tan60°=，
解得
答，建筑物的高度为米．
14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin34°=0.56，cs34°=0.83，tan34°=0.67）
15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）
【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．
由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．
在AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=CG=75cm．
∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．
在EFG中，EF=EGtan∠EGF=350tan30°=350×=（cm）．
答：支撑角钢CD的长为75cm，EF的长为cm．
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