初三数学教师版. 三轮复习 第6讲 圆综合专练

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第六讲
圆综合
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托勒密定理
托勒密（Ptlemy）是公元三世纪古希腊天文学家、数学家，三角学创始人之一．他在推导三角公式时发现了圆内接四边形的一个重要性质：“圆内接四边形两条对角线乘积等于两组对边乘积之和”．这个命题通常称为“托勒密定理”．此定理应用极广，某些复杂的几何证题，若用它为根据则显得别具一格，简洁清新．
托勒密定理的逆定理：一个凸四边形的两组对边乘积的和等于对角线的乘积，那么该四边形内接于一个圆（或者说该四边形的四个顶点共圆）．
广义Ptlemy定理：对于一般的四边形ABCD，有，当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．
【教师备课提示】
证法1：几何证法
如图，在BD上取一点P，使其满足．
∵，∴，，
即 ①
又，，
∴，，． ②
①+②，有．
即，故．
证法2：代数证法
如图，设，，，，，．
即证．
在中，由余弦定理，有；
在中，同理，有．
∵，∴，
即．
整理，得；同理可得．
于是，，故．
即．
模块一 圆和相似综合
例
1
如图，已知AB是的直径，C是上任一点（不与A，B重合），于E，BF为的切线，OF//AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与交于点H，连结CH．
（1）求证：FC是的切线；
（2）求证：；
（3）若，的半径为r，求CH的长．
答案
（1）证明：∵OF//AC，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵点C在上，∴FC是的切线．
（2）如下图：延长AC、BF交点为M．
由（1）可知：，
∴，．
∵AC//OF，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵DC//BM，
∴，．
∴，．
∴，
又∵，∴．
（3）如下图所示：
∵，∴，．
在中，．
在中，．
∵，∴．
∵，
∴，即．
∴．∴．
在中，．
∵CF是的切线，AC为弦，∴．
又∵，∴．
∴，即：．
∴．
例
2
如图2-1，内接于，的平分线交于点D，交BC于点，且．过点D作DF//BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积；
（3）若，，如图2-2，求BF的长．

图2-1 图2-2
答案
证明：（1）连结OD，如图1，
∵AD平分交于D，
∴，∴，
∴，∵BC//EF，
∴，
∴DF为的切线；
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作于H，如图1，
∵，AD平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵BC//DF，
∴，
在中，，，
在中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
易证得，
∴，即，
∴，
∵BE//DF，
∴，
∴，即，解得，
在中，，
∴


（3）连结CD，如图2，由可设，，设，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
而，
∴，
∴，即，
整理得，
∴，解得，
即BF的长为3．
例
3
已知内接，半径OC平分，射线CO交弦AB于点K．
（1）如图3-1，求证：．
（2）如图3-2，点D在圆周上，它与点C位于弦AB的两侧，连接BO并延长BO，交弦AD于点E，连接BD，若，求证：；
（3）如图3-3，在（2）的条件下，连接AO并延长AO，交于点F，交弦CB的延长线于点G，连接DG，若，，求线段DG的长．

图3-1 图3-2 图3-3
答案
（1）如图1所示：延长CO交于点D，连结AD、BD．
∵OC平分，
∴．
∵，，
∴．
∵CD为的直径，
∴．
∴，
即．
∴．
（2）如图2所示：连结OA、OD．
∵由（1）可知：，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴OB是AD的垂直平分线．
∴．
（3）如图3所示：连结BF、DF，过点D作，垂足为M．
由（1）可知．
又∵OC平分，
∴，．
∵，，
∴OK是的中卫线，
∴OK//BF，．
∵，OK//BF，
∴，
∴．
设．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
即，解得：，
∴，．
∴，
即，解得：．
∴．
∵，
∴，解得：．
∴．
∵，
∴，解得：．
例
4
以AB为直径作半圆O，，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使，过点D作于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：
（1）如图4-1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断的形状，并证明你的结论；
（2）如图4-2，当时，求线段EF的长；
（3）当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与相似？若存在，请求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

图4-1 图4-2
答案
（1）是等边三角形；
理由如下：∵，∴，
又∵，∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）连接AD，
∵AB为的直径，∴，
又∵，∴，
∴，
∴；
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，∴；
（3）答；存在，
当和相似时，
①如图3，若，则，
又∵，
∴；
②如图4，若，
则OF//BD，∴，
∴，∴，
∴，∴，
综上所述：OE的长为或．
例
5
如图，在的内接中，，，过C作AB的垂线l交于另一点D，垂足为E. 设P是 {eq \(AC\s\up4(⌒))} 上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.
（1）求证：；
（2）若 ，，求PD的长；
（3）在点P运动过程中，设，，求y与x之间的函数关系式.（不要求写出x的取值范围）
答案
（1）证明：，
所对的圆周角所对的圆周角所对的圆周角.
在和中，
，
.
（2）如图，连接PO，则由，有，且，、都为等腰直角三角形.
在中，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
.
为等腰直角三角形，，
.，，,
.
（3）如图，过点G作，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交于Q，
，，
C、G都在以HB为直径的圆上，
，
C、D关于AB对称，G在AB上，
Q、P关于AB对称，
，，
.
，，
.
.
.
模块二 托勒密定理
例
6
如图，过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证： ．
答案
连结PQ、PR、QR．在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得．
又∵，，∴，于是．
设上面的比值为，并考虑到有，
于是可推得．
例
7
如图，A，B，C，为上相邻的三个n等分点，，点E在弧BC上，EF为的直径，将沿EF折叠，使点A与重合，连接，EC，.设，，. 先探究b，c，p三者的数量关系：发现当时，. 请继续探究b，c，p三者的数量关系：当时，_______；当时，_______.（参考数据：，）
答案
；.
复
习
巩
固
模块一 圆和相似综合
演练1
如图，内接于，且AB为的直径．的平分线交于点D，过点D作的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作于点E，过点B作于点F．
（1）求证：DP//AB；
（2）试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；
（3）若，，求线段PD的长．
答案
（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为的直径，∴，
∵的平分线交于点D，
∴，∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，∵PD为的切线，∴，∴DP∥AB；
（2），证明如下：∵AB是的直径，
∴，∵，，
∴，∴，
∴，∵，∴AD=BD，
在和中
∴，
∴BF=DE，AE=DF，
∴，即．
【问题二法2：，所以，，所以，，所以】
（3）解：在中，，
∵为等腰直角三角形，∴，∵，
∴为等腰直角三角形，∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
而PC=PA+AC，
∴，∴．
演练2
如图，在半径为2的扇形AOB中，，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），，垂足分别为D、E．
（1）当时，求线段OD的长；
（2）在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设，的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
答案
（1）如图（1），∵，
∴，
∴；
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则，
∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴；
（3）如图（3），连接OC，∵，∴，
∵，，∴，过D作．
∴，由（2）已知，
∴在中，，
∴
∴
．

（1） （2） （3）
模块二 托勒密定理
演练3
设P为正方形ABCD的外接圆的弧AD上的一点，则为定值．
答案
根据题意如图：连接AC，设正方形的边长为，
则．
由托勒密定理可知，
故，即（定值）．
演练4
凸四边形ABCD中，，，，，对角线AC、BD交于点O，如图，求．

答案
因，则A、B、C、D四点共圆，延长BA，CD交于P，
则．
设，有，．
由割线定理，有，求得，．
对四边形ABCD应用托勒密定理，
有．
又．
从而，，故．