初三数学教师版. 三轮复习 第1讲 中考直升60分专练（一）

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中考
三轮复习系列丛书
第一讲
中考/直升60分专练（一）
成都中考三轮复习系列丛书
例
1
在中，，以AB为直径的交BC边于点D，连接AD．
（1）如图1-1，求证：；
（2）如图1-2，设交AC边于点E，过D点作，垂足为点G，交于点F，连接DE、EF，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的面积．

图1-1 图1-2
答案
（1）证明：∵AB是的直径，∴，∴，∵，∴；
（2）证明：∵，∴，∴，∴，，∴；
（3）连接OD，由（2）知，，∵，∴，∴，∵，∴，设，，∵，∴，
在中，，解得：，
∴，，过点D作于点H，
由（1）可知：AD平分，∴，，
∵，∴，∴，
∴．
例
2
（1）已知a，b，c满足，则的值为___．
（2）从0，，1，2，3，4，5这七个数中随机抽取一个数，记作a，则使得二次函数的顶点不落在y轴上，且分式方程有整数解的概率为________．
（3）如图，在等边中，于D，点P在AB的延长线上，点Q在AB上，，QD的延长线交AC的延长线于．若，，则________．
（4）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为，，，，动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G，给出下列命题：
①若，则的面积为；
②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是；
④若，则．
其中正确的命题的序号是_____________（写出所有正确命题的序号）．
（5）如图，在菱形纸片ABCD中，，，按以下步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图2-1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如图2-2，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GHCB剪成两部分；
第三步：如图2-3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转，使线段HC与HE重合，再与三角形纸片EGH拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为________cm，最大值为________cm．

图2-1 图2-2 图2-3
答案
（1）4或8；
（2）；
（3）；
（4）①②④；
（5）；．
（注：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为；当点E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于，此时，这个四边形的周长最大，其值为．）
例
3
某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，当时，y与x之间的函数关系式为；当时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．
（1）当时，求出甲种产品的年销售量y(万元)与x(元)之间的函数关系式．
（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润年销售收入生产成本）为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x(元)在范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利两年的年销售利润之和投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围．
答案
（1）设y与x的函数关系式为，
∵函数图象经过点，，
∴，
解得，
所以，；
（2）∵乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间，
∴，
解之得，
①时，，
，
，
，
∵，
∴时，W随x的增大而减小，
∴当时，W有最大值，万元；
②时，，
，
=，
，
∵，
∴时，W随x的增大而减小，
∴当时，W有最大值，万元．
综上所述，当，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；
（3）根据题意得，，
令，则，解得，．
又由题意知，，根据函数与x轴的交点可知，
即，∴．
例
4
已知，，CD是的平分线，点P在CD上，．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
（1）如图，当点F在射线CA上时，
①求证：．
②设，，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
（2）连接EF，当与相似时，求EG的长．

答案
①证明：过点P作，，垂足分别为M、N．
∵CD是的平分线，
∴．
由，得．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
②解：∵，∴．
∵，∴．
∴．
∵CF//PN，∴，
∴．
∴．
∴．
（2）当与相似时，点F的位置有两种情况：
①当点F在射线CA上时，
∵，，
∴．∴．∴．
在中，．
②当点F在AC延长线上时，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
易证，可得．
∴．∴．
易证，可得．
∵CF//PN，∴．
∴．∴．

例
5
已知如图5-1，二次函数的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），过A点的直线交该二次函数的图象于另一点，交y轴于M．
（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式；
（2）过点B作交AC于D，若，且点Q是线段DC上的一个动点，求出当与相似时点Q的坐标；
（3）设，图5-2中连接CP交二次函数的图象于另一点，连接AE交y轴于N，请你探究的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．

图5-1 图5-2
答案
（1）∵直线过点A，
∴时，，
解得：，
∴，
把点A的坐标代入，得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，，
当时，，解得，，即，．
设AM的解析式为，将A、M点的坐标代入，得
AM的解析式为．
= 1 \* GB3 ①当时，QB//OM，Q点的横坐标等于B点的横坐标，
当时，，即；
②当时，设Q点的坐标为．
，即，化简得．
解得，（不符合题意，舍），
当时，，即，
综上所述：当与相似时点Q的坐标，；
（3）直线PC解析式为，与抛物线联立消去y得:
，
∴，，
∵



，
∴．