初三数学教师版. 三轮复习 第5讲 中考直升60分专练（五）

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中考
三轮复习系列丛书
第五讲
中考/直升60分专练（五）
成都中考三轮复习系列丛书
例
1
如图1-1，BC是的直径，点A在上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与相交于点H，与AB相交于点I，过点A作的切线AF，与DE相交于点F．
（1）求证：；
（2）当时，求证：；
（3）如图1-2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若，，求线段CG的长．

图1-1 图1-2
答案
（1）连接AO，如图1．
∵AF与相切于点A，
∴，即．
∵BC是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵，∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（3）过点A作于N，连接OH，OA，如图2．
∵，，
∴，，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则有，，，．
在中，根据勾股定理可得，
解得（舍负）．
∵，，
∴∠NAC=∠ABC，
∴，，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，∴，∴，
∴．
例
2
（1）若方程组的解是，则方程组的解为________．
（2）将一个均匀的正方体骰子六个面上标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次骰子，朝上的数字分别m、n，若把m、n作为点p的横、纵坐标，则点落在反比例函数图象与坐标轴所围成区域内（含落在此反比例函数的图象上的点）的概率是________．
（3）已知双曲线与直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则的值是________．
（4）如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．OA//BC，D是BC上一点，，，，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持．设，，则y与x的函数关系式为________．
（5）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：
= 1 \* GB3 ①当时，函数图象的顶点坐标是；②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当时，函数在时，y随x的增大而减小；④当时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有_____________．（只需填写序号）
答案
（1）；（2）；（3）1；（4）；（5）①②④．
例
3
我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润(万元)．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润(万元)．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2）该方案是否具有实施价值？
答案
（1）∵每投入x万元，可获得利润（万元），
∴当时，所获利润最大，最大值为41万元，
∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：（万元）；
（2）前两年：，此时因为P随x的增大而增大，
所以时，P值最大，即这两年的获利最大为：（万元），
后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为，
∴，
∴
，
∴当时，y最大且为1065，
∴这三年的获利最大为（万元），
∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：（万元）．
（3）有很大的实施价值．
规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值．
例
4
已知：在中，，点P是BC上一点，，连接AP，作交AB于点D．连接CD，交AP于点E．
（1）如图4-1，当时，则线段AD与BD的数量关系为________；
（2）如图4-2，当时，求证：；
（3）在（2）的条件下，过点C作交PA的延长线于点Q如图3，连接DQ，延长CA交DQ于点K，若．求线段AK的长．

图4-1 图4-2 图4-3
答案
（1），理由为：
证明：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又，且，
∴，
∴，
设，则有，
由，得到，，
∴，即，
解得：，
∴，
则；
故答案为：．
（2）证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
设，由，得到，，
∵，且，
∴，
∴，
∴，即，∴，
∴，
∴；
（3）解：过点D作于F点，过D作于M点，过Q作交CA延长线于N点，
由（2）知：，，，，，
在中，，可得出，
∴，，
∴，∴，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
∵，又，
∴，
∵，
∴，又，
∴，即，
∴，
∴，又，
∴，即，
解得：，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
则．
例
5
在直角坐标系xOy中，、，将经过旋转、平移变化后得到如图5-1所示的．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将的面积分成两部分，求此时点P的坐标；
（3）现将、分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中与重叠部分面积的最大值．

答案
（1）∵、，将经过旋转、平移变化得到，
∴，，．
∴．
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为，
则有，
∴
∴抛物线解析式为，
（2）如图1所示，
设直线PC与AB交于点E．
∵直线PC将的面积分成两部分，
∴或，
过E作于点F，则EF//OA．
∴，
∴．
∴当时，，
∴，，∴．
∴直线PC解析式为，
∴，∴，（舍去），
∴，
当时，同理可得，．
（3）设平移的距离为t，与重叠部分的面积为S．
由平移得，的解析式为，与x轴交点坐标为．
的解析式为，与y轴交点坐标为．
①如图2所示，
当时，与重叠部分为四边形．
设与x轴交于点M，与y轴交于点N，与交于点Q，连结OQ．
由，
∴，
∴．
∴
．
∴当时，S的最大值为．
②如图3所示，
当时，与重叠部分为直角三角形．
设与x轴交于点H，与交于点G．
∴，
∴，．
∴．
∴当时，S的最大值为．
综上所述，在此运动过程中与重叠部分面积的最大值为．