初一数学.春季.直升班.教师版.第7讲 分式（二）

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第七讲
分式（二）
模块一 分式方程的基本解法
模块二 分式方程的增根和无解
模块一：分式方程的基本解法
1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
2．分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．
（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：
= 1 \* GB3 ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
= 2 \* GB3 ②去括号； = 3 \* GB3 ③移项； = 4 \* GB3 ④合并同类项； = 5 \* GB3 ⑤系数化为1；
= 6 \* GB3 ⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．
注意：解分式方程一定要验根．
模块二：分式方程的增根和无解
1．分式方程的增根
（1）产生增根的原因
增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．
（2）分式方程增根的应用
如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值．
2．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：
（1）原方程去分母后的整式方程无解；
（2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．
3．分式方程无解与增根的区别：
分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解．
模块一
分式方程的基本解法
下列方程中哪些是分式方程？
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9）（a为字母系数） （10）（a为字母系数）
思路与技巧：分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数．其中分式方程有（3）、（5）、（7）、（8）、（10）
【教师备课提示】这道题主要讲解分式方程的定义，先看是否是方程，再看分母中是否有未知数．
解下列分式方程：（1）
（2）
（3）
（1）；（2）；
（3）两边同时乘以，得．
解这个方程，得．，检验：时，
不是原分式方程的解，原分式方程无解．
【教师备课提示】这道题主要讲解分式方程的基本解法：
关键两步，去分母，乘以最简公分母；验根，分式方程一定要验根，可能产生增根．
解下列分式方程：（1）
（2）
（1）原方程化为
方程两边同时乘以，约去分母，
得，整理得，
解这个整式方程，得，
检验：把代入，
得
所以是原方程的增根，原分式方程无解．
（2）原方程可变形为：
方程两边都乘以，
得
整理，得，∴，
检验，当时，
∴原方程的解是．
【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习下，熟悉下分式方程的一般步骤，建议老师们讲解一个，让孩子练习另外一个．
解下列分式方程：（1）
（2）
（1）原方程为，
∴，
∴，∴，
∴，∴．经检验是原方程的解．
（2）原方程变形为，即，
∴，解得．经检验是原方程的解．
【教师备课提示】这道题主要是分离常数，解分式方程更简单，所以要先观察，建议老师们讲解一个，让学生们练习另一个．
（2013年初二联赛）设实数k满足，解关于x的分式方程：．
由题意得，，
即，解得，
= 1 \* ROMAN I．如果，即，则为原方程的增根；
II．如果且，则为原方程的根.
【教师备课提示】这道题主要讲解含参分式方程的解法，其实一样的（注意增根）．
模块二
分式方程的增根和无解
（1）（实外半期）若关于x的分式方程有增根，则增根是________．
（2）如果分式方程出现了增根，那么k的值为________．
（3）（成外半期）若分式方程产生增根，则m的值为________．
（4）如果解方程时出现增根，则m的取值为________．
（1）；
去分母，得：，移项，得：，
当时，原方程无解，（分母为0的两种情况讨论）
当时为原方程的增根．
（2）1；
（3）或1；
（4）．
【教师备课提示】这道题主要讲解，分式方程有增根，求参数的取值范围，这样的题目在学校学习分式时，是一定会经常考查的题目，也是学生们的易错点，主要是要理解什么是增根，增根是使得分母为0，且是整式方程的根．
（1）若关于x的方程无解，则a的值是___________．
（2）若关于x的分式方程无解，则___________．
（3）若关于x的方程无解，求a的值．
（1）1或2；
（2）1或；
原方程化为，、、时，原方程均无解．
（3）解：原方程化为，①
∵原方程无解，
∴或，，
得，分别代入①，
得，，
综上知，或．
【教师备课提示】主要是分式方程无解包括两种情况：（1）转化的整式方程无解，（2）整式方程的根都是增根，讲解无解和有增根的关系．（分类讨论计算）
（1）（成外半期）若关于x的方程的根为正数，则m取值范围为________．
（2）若关于的分式方程的解是非负数，则a取值范围是________．
（3）（育才期末）若关于x的方程的解为正数，则a取值范围为_______．
（1）去分母，得：，化简可得：，
由题意得：且，即：且，
解得：且.
（2）且．
（3）且．
【教师备课提示】在这种问题中，学生们很容易忽略解不可以是增根，易错．
复习巩固
模块一
分式方程的基本解法
解下列分式方程：（1）（2）
（1）;（2）．
解下列分式方程：（1）
（2）
（1）原方程可变形为：，
化简，去分母可得：，解得；
经检验，是原方程的根．
（2）原方程可化为
化简，得， ∴，解得，，
经检验不是原方程的增根，∴是原方程的根．
模块二
分式方程的增根和无解
（1）若方程有增根，则它的增根是________．
（2）若关于x的分式方程有增根，则m的值是____________．
（1）;（2）．
（1）若关于x的方程无解，则m的值是________．
（2）当________时，关于x的分式方程无解．
（1）;（2）．
若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是_________．
且．