初一数学.春季..直升班.教师版.第8讲 全等复习

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第八讲
全等复习
模块一 基本辅助线复习
模块二 全等综合
模块一：基本辅助线复习
1．角平分线性质与判定
2．垂直平分线的性质
3．角平分线模型
模型 = 1 \* ROMAN I：角平分线加平行线必出等腰三角形．
模型 = 2 \* ROMAN II：角平分线加射影模型必出等腰三角形．
→
模型 = 3 \* ROMAN III：角平分线的中心思想关于角平分线对称，掌握常见辅助线的三种做法．
4．截长补短
截长补短两种方法：截长法和补短法．
目的：实现三条线段或者多条线段的关系到两条线段的关系转化，而在全等三角形中是处理两条线段关系的重要手段．
适用：证明线段的和、差、倍、分等题目．若题目条件或求证结论中含有“”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短（截长或补短）”．
模块二：全等综合
模块一
基本辅助线复习
（1）如图1-1，在中，AD平分，于E，，，，则AC长是________．
（2）如图1-2，在中，，、的平分线交于点，于．若，，，则________．
（3）如图1-3，的平分线与的外角平分线相交于点D，过点D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，则________．

图1-1 图1-2 图1-3
（4）如图1-4，CD为斜边上的高，的平分线分别交CD、BC于点E、F．且，垂足为G，，，则________．
（5）如图1-5，在四边形ABCD中AE、AF分别是BC，CD的垂直平分线，，，则的度数为________．
图1-4 图1-5
（1）4；（2）1；（3）5cm；（4）4；（5）．
（1）如图2-1，已知，，，AE平分，求证：．
（2）如图2-2，在中，BC的垂直平分线DF交的外角平分线AD于点D，于点E，且．求证：．

图2-1 图2-2
（1）思路：延长AB、CD交于点F，
，，
∴；
（2）过点D作交AC于点G，连接BD，CD．
∵DF垂直平分BC，
∴，
∵AD平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【教师备课提示】见到中垂线，大多可将中垂线上任意一点与线段两端点相连，形成基本构图，并熟练运用角分线性质及模型．
（1）已知：如图3-1，中，，延长BC到点D，使，延长CA到点E，使；连接AD，BE．求证：．

（2）如图3-2，已知中，，，，的平分线交BC，CA于P，Q．求证：．

图3-1 图3-2
（1）证明：如图，取AE的中点F，连接BF，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴．
（2）延长AB到点D，使，连接PD，
则
∵AP平分，
∴，
∵，
∴，∴，
又，
∴，
∴．
模块二
全等综合
在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，试证明：= 1 \* GB3①；= 2 \* GB3②；= 3 \* GB3③；= 4 \* GB3④AM是的中线．

正方形ABDE和ACFG，，，，
，即，
在和中，，
，．
设BG、CE相交于点N，，，
，
．
过点E作的延长线于P，过点G作于Q，
，，
，，
在和中，
，．
，同理可得，
，，
在和中，
，，是的中线．
已知四边形ABCD，于A，于C，，，，现将绕B点旋转，它的两边分别交直线AD，CD于E，F．
（1）当绕B点旋转到时（如图5-1），求证：；
（2）当绕B点旋转到时；
= 1 \* GB3①在图5-2情况下，请探究AE、CF、EF之间满足怎样的数量关系，并说明理由；
= 2 \* GB3②在图5-3情况下，探究AE、CF、EF之间又满足怎样的数量关系，直接写出结论．

图5-1 图5-2 图5-3
（1），，，，
在和中，
，
，；
，，
．
（2）①延长DC至点K，使，连接BK，
在和中，,
则(SAS)，，，
，，，
，，
在和中，,
(SAS)，，，即．
②AE、CF、EF的关系是．
在和均为等腰直角三角形，，，，按图6-1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF，则可以得到结论且．
（1）将图6-1中绕A点顺时针旋转，再连接CE，取CE的中点F（如图6-2），问题目中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（2）将图6-1中绕A点转动任意角度（旋转角在到之间），再连接CE，取CE的中点F（如图6-3），问题目中的结论是否仍然成立？证明你的结论．

图6-1 图6-2 图6-3
（1）仍然成立．证明：如图2，延长DF交BC于点G，
∵，∴DE//BC，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，∴，
又∵
∴且．
（2）仍然成立．证明：如图3，延长BF至点G，使，联结DB、DG，GE，
∵，，∴，
∴，，∴EG//CB，
∵，，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴且．
【教师备课提示】这道题主要考查倍长中线的旋转型全等．
复习巩固
模块一
基本辅助线复习
（1）如图1-1，在中，AD平分交BC于点D，且，若，，则BC的长为______．
（2）如图1-2，在中，，，M是BC的中点，AD平分，且MF//AD，则FC的长等于________.
（3）如图1-3，的内角和外角的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG//BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，以下几个结论：①；②；③；④；
其中正确的结论有_____________（只填序号）．

图1-1 图1-2 图1-3
（1）6；
（2），过点B作AD的平行线，交CA的延长线于点E，
可证出，
则．
（3）①③④．
在中，E为BC边的中点，于E点，交AC于D点，求证：．

解法一：连结BD，易得，．
而，
于是，故．
解法二：连接，易得，
则．
如图，在中，的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作于N，于点M，求证：．

证明：连接PB，PC，
∵AP是的平分线，，，
∴，，
∵P在BC的垂直平分线上，
∴，
在和中，
∴，
∴．
模块二
全等综合
如图，在中，，分别以BC、CD和BD为边在外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点P，试证明：
（1）= 1 \* GB3①；= 2 \* GB3②；= 3 \* GB3③；
（2）在（1）的条件下，求证：．
（1）和都是等边三角形，
，，，
，在和中，
，
，，
同理，
，，
，
，
，
，
，
同理，
即，
（2）证明：在PE上截取，连接CM，
由（1）可知，，
，
设CD与BE交于点G，在和中，
，，
，
同理，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，即．
已知两个全等的等腰直角、，其中，E为AB中点，可绕顶点E旋转，DE、EF分别交线段CA，CB（它们所在直线）于M、N．
（1）如图5-l，当线段EF经过的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：；
（2）如图5-2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由；
（3）如图5-3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由．

图5-1 图5-2 图5-3
（1）∵，E为AB中点，
∴，，
∴，∴，∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2），理由如下：
在AM截取AH，使得，连接EH，
由（1）知，，
∵在与中：，
∴，
∴，，
∴
，
∴，
∵在与中：
，
∴，
∴，
∴；
即；
（3）猜得：，理由如下：
在CB上截取，连接EH，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．