初一数学.春.直升班.教师版.第9讲 中位线和斜边中线

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第九讲
中位线和斜边中线
模块一 三角形中位线
模块二 直角三角形斜边中线
模块三 中点辅助线综合
模块一：三角形中位线
模块二：直角三角形斜边中线
模块三：中点辅助线综合
模块一
三角形中位线
（1）如图1-1，在中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若的周长为20cm，则的周长为__________．
（2）如图1-2，在中，，，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为__________．

图1-1 图1-2
（3）如图1-3，中，，，AE平分交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则的周长是__________．
（4）如图1-4，在四边形中，E、F分别为AB、CD的中点．求证：．

图1-3 图1-4
（1）10cm．
（2）1．
（3）10．
（4）证明：取AD的中点M，连结EM和FM．
∵E、F是AB、CD中点，
∴，．
又∵，∴．
【教师备课提示】考察中位线产生的线段长度关系．第（4）题利用中位线构造出长为，的线段并将线段集中；也可以求证，方法是取AC或BD的中点．
（1）如图2-1，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，，，则的度数是__________度．
（2）如图2-2，已知四边形ABCD的对角线，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF分别交AC、BD于M、N，求证：．
（3）已知，如图2-3四边形ABCD中，，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长线分别交于M、N两点．求证：．

图2-1 图2-2 图2-3
（1）18．
（2）设AB的中点为G，连结GE、GF，容易证得：
GE//BD，，GF//AC，，
从而，，
∴．
（构造中位线来利用对角线相等的条件，也可以取或的中点．）
（3）连接AC，取AC中点H，连接FH、EH．
∵，，
∴FH//AD，，
同理，，EH//BC，
∵，∴，
∴，
∵FH//AM，EH//BC，
∴，，
∴．
【教师备课提示】考察中位线的性质，学会通过构造中位线去利用已知的条件．
如图，在中，D、G分别为AB、AC上的点，且，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：．

连DG，找DG的中点E，连ME、NE，∵M、N分别是BG与CD的中点．
∴ME//AB，，NE//AC，．
∴，．∵，∴，
∴，∴，∴．
【教师备课提示】还可以取中点．总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线，学会构造出中位线去利用题目中给出的等量关系．
模块二
直角三角形斜边中线
已知：在中，，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM、DM．
（1）如图4-1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及与所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图4-2，若点E在BA延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．
图4-1 图4-2
（1），；
（2）结论不变，由题意知，
∴，，两式相减，得．
如图，，中，，，，在上滑动，求的最大值．

取AB的中点D，连结OD、DC，则，，
可得，即OC的最大值为（O、D、C三点共线时）．
模块三
中点辅助线综合
在中，，，、、分别是、、的中点，是的中点，求证：．

连结DF、EG，可证，，，
则，得证．
如图，在五边形ABCDE中，，，F为CD的中点．求证：．
方法一：如图1，取AC中点M，取AD中点N，连BM，MF，NF，EN．
∵，
，
∴，∴，
方法二：如图2，延长CB到M，使得，
延长DE到N，使得，
连接AM，AN，MD，CN．
由，
，是等腰三角形，F是CD中点，
则BF//MD，，EF//CN，，
，，∴，
此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：
复习巩固
模块一
三角形中位线
（1）如图1-1，在中，点D是BC中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，延长BE交AC于F．若AB=10厘米，AC=16厘米，则DE的长度为__________．
（2）如图1-2，已知，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，，．求度数．

图1-1 图1-2
（1）3厘米；
（2）∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M、N分别是AB、CD的中点，
∴NP，PM分别是与的中位线，
∴，，PN//BC，PM//AD，
∴，，
∴；
∴，
∵；
∴，故是等腰三角形．
∵，
∴．
（1）如图2-1,中，过点A分别作、的外角平分线的垂线AD、AE，垂足为D、E．求证：①；②．
（2）（四川省中考题）如图2-2,已知：AD是的中线，AE是的中线，且，求证：．

图2-1 图2-2
（1）①分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G，
∵BD⊥AD，且BD为的角平分线
∴，且（等腰三角形的三线合一）
同理可得，，
∴DE为的中位线，
∴EDBC，且．
②由（1）知，
且，，
∴．
（2）取AC的中点F，连结DF，易得DF//AB，，，
而，故．
再证，
∴，∴．
模块二
直角三角形斜边中线
（1）如图3-1，四边形ABCD中，，取AC中点O，BC中点E，连接OD、OE、DE，，则__________．
（2）如图3-2所示，中，于H，点E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，，则ED的长度是__________．

图3-1 图3-2
（1）．（2）10cm．
模块三
中点辅助线综合
（1）如图4-1，在中，，M是BC中点，于D．求证：．
（2）如图4-2，已知：和都是直角三角形，且，．连接DE，设M为DE的中点．求证：．

（1）法一：取中点，连结、，
则，．则．
而
，
由于，所以．∴．
法二：同理可以取AC的中点N，连接DN，MN．
（2）如图，分别取AD、AE的中点P、Q，连接PB、PM、QC、QM，
由P、M、Q分别是AD、DE、AE的中点，
∴PM//AE，，
QM//AD，，
∵、是直角三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，∴，
由AD//QM，AE//PM，∴，
∴，∴，∴．1．定义：
连接三角形两边中点的线段．
2．定理：
三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
若DE为的中位线，则DE//BC，且．
3．三角形中位线里隐含重要性质：
①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
EF、GE、GF是的三条中位线，则有：①
②，
②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一．
定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
若AD为斜边上的中线，则．
相关结论：
（1）；
（2），为等腰三角形
（3），
拓展：
在由两个直角三角形组成的图中，M为中点．
相关结论：
（1）；
（2）．