初二数学.春.直升班.教师版.第1讲 二次函数的图像、性质和解析式

这是一份初二数学.春.直升班.教师版.第1讲 二次函数的图像、性质和解析式，共20页。

二次函数的图象、
性质和解析式
模块一 二次函数的定义
模块二 二次函数的图象和性质
模块三 二次函数的解析式
模块一：二次函数的定义
1．定义：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
注意：二次函数的二次项系数，而b、c可以为零．
模块二：二次函数的图象和性质
1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．
2．二次函数的性质：
（1）函数的图象与a的符号关系．
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；
= 3 \* GB3 ③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．
（2）抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴）．
3．二次函数的性质：
4．二次函数()的性质：
5．二次函数的性质：
配方：二次函数
注意：二次函数与坐标轴的交点：
（1）与y轴的交点：；
（2）与x轴的交点：使方程成立的x值．
模块三：二次函数的解析式
1．一般式：
已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式．
2．顶点式：
已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式．
3．交点式：
已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．
4．对称式：
已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式．
注意：
（1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；
（2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
模块一 二次函数的定义
0
（1）在函数①；②；③（、b、c是常数）；④（k为常数）；⑤中，y关于x的二次函数是________．（填写序号）
（2）当________时，函数是二次函数．
（3）下列函数关系中，可以看作二次函数模型的是（ ）
A．圆的周长与半径之间的关系
B．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
C．矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系
D．我国人口的自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
（1）①④；（2）3；（3）C．
【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的定义，判断是否是二次函数满足以下三点：
（1）函数解析式在等号两边都是整式；
（2）含有一个自变量，且自变量的最高次数时2；
（3）二次项系数不等于零．
模块二 二次函数的图象和性质
0
（1）若二次函数（a，b为常数）的图象如图2-1，则a的值为___________．
（2）如图2-2，抛物线①②③④对应的解析式为，，，，将、、、从小到大排列为______．

图2-1 图2-2
（1）；（2）．
【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数中a的作用：
（1）a的正负性决定抛物线的开口方向；，开口向上；，开口向下．
（2）决定抛物线的开口大小：越大，开口越小；越小，开口越大．
（1）抛物线的对称轴是直线，则b的值为________，顶点坐标为________．
（2）抛物线的对称轴是直线_______，与x轴的交点为_______和_______．
（3）二次函数的顶点在y轴上，则______，若顶点在x轴上，则_______．
（1）8，；
（2），，；
（3），1或．
【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称轴和顶点的求解：
（1）对称轴，顶点（，），记住套用；
（2）配方求解．
（1）若点，，三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
（3）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___．
（1）C；（2）A；（3）．
【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的增减性，增减性和抛物线的对称轴、开口方向有关．
（1）已知抛物线经过点，，，，则________．
（2）已知抛物线经过点，，则__________．
（3）已知点，是函数上两点，则当和________时的函数值相等．
（1）1；（2）9；（3）0．
【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称性，纵坐标相同的点关于对称轴对称．
（1）已知二次函数．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）对于二次函数，有下列说法：
= 1 \* GB3 ①如果，则y有最小值；
②如果当时，y随x的增大而减小，则；
③如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为3．
其中正确的说法是________________．（把你认为正确的结论的序号都填上）
（3）在同一直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（ ）
A B C D
（1）B；（2）①③；（3）D．
【教师备课提示】这道题主要是二次函数的综合考查，相对综合，锻炼孩子们的综合能力．
模块三 二次函数的解析式
0
（1）已知一个二次函数的图象经过、、三点，求此二次函数的解析式．
（2）已知一个二次函数的图象经过、、三点，求此二次函数的解析式并把二次函数转化成顶点式．
（1）设二次函数的解析式为，
则由题意得，，解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）设二次函数的解析式为，
则由题意得，，解得，
∴二次函数的解析式为．．
【教师备课提示】这道题主要考查利用一般式求解析式．
（1）已知二次函数过点，且顶点为，求二次函数的解析式．
（2）已知二次函数的顶点坐标为，且其图象经过点，求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与x轴的交点坐标．
（1）设二次函数的解析式为：，
∵二次函数过点，∴，即：．∴．
∴二次函数的解析式为．
（2）设二次函数的解析式为：，
则由题意得，，解得，∴二次函数的解析式为．
令，则，解得，，
∴与x轴的交点坐标为和．
【教师备课提示】这道题主要考查利用顶点式求二次函数的解析式．
（1）若抛物线过，，且与y轴交点为，求二次函数的解析式．
（2）已知二次函数的对称轴为，且经过点、，求二次函数的解析式．
（1）设二次函数的解析式为：，
由题意得，，解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）∵二次函数的对称轴为，且经过点，
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标是，
设二次函数的解析式为：，
又∵图象经过点，∴，∴．
∴二次函数的解析式为．
【教师备课提示】这道题主要考查利用交点式求二次函数的解析式．
（1）已知二次函数图象经过点、、三点，求此二次函数解析式．
（2）已知函数的图象与x轴交于相异两点A、B，另一抛物线过A、B，顶点为P，且是等腰直角三角形，求a、b、c．
（1）解法一：设对称点式
∵抛物线经过、，
∴设抛物线的解析式为：．
将代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为，化为一般式得．
解法二：设顶点式
∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为．
设抛物线的解析式为：，
将、代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为，化为一般式为：．
解法三：设一般式
设此二次函数解析式为：，
由已知得：，解得
∴此二次函数的解析式为．
（2）由已知得、，故设另一抛物线为．
又是等腰直角三角形，则点坐标为或，
∴或
复习巩固
模块一 二次函数的定义
0
（1）下列函数：①；②；③（b、c是常数）；④（a为常数）；⑤，其中是二次函数的是___________．（填序号）
（2）当________时，函数是关于x的二次函数．
（3）已知函数是二次函数，则函数为______________．
（1）②③④；（2）1；（3）．
模块二 二次函数的图象和性质
0
（1）如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①，②，③的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是________．（填序号）
（2）抛物线的顶点坐标是________．
（3）抛物线的对称轴是_________，顶点坐标为_________，当 _____时，y有最______值是________．
（4）已知抛物线经过点，则抛物线与x轴交点的坐标为_________和_________．
（1）①③②；（2）；（3），，，小，；（4），．
（1）已知二次函数的对称轴为直线，则________．
（2）已知抛物线的顶点在x轴上，则k的值是________．
（3）抛物经与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p，则该抛物线的顶点的坐标是_____________．
（1）；（2）或3；（3）．
（1）已知点，，在函数上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____________．
（1）B；（2）．
（1）已知，当x取不同的值，时函数值相等，则当时的值（ ）
A．与的函数相等 B．与的函数相等
C．与的函数相等 D．与的函数相等
（2）已知抛物线经过点，，则________．
（3）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A B C D
（1）B；（2）9；（3）C．
模块三 二次函数的解析式
0
（1）已知二次函数的图像经过、、，求二次函数的解析式．
（2）已知抛物线经过点，且顶点坐标为，求这条抛物线的解析式．
（3）已知二次函数的对称轴是直线，且图像过点和，求此函数的解析式．
（4）设二次函数，当时取得最大值为10，并且它的图象在x轴上截得的线段长为4．求二次函数的解析式．
（1）；（2）；（3）．
（4）因为对称轴为，且在x轴上截得的线段长为4，
则图象可知，与x轴的交点的横坐标为1、5，
可设，
∴，解得．∴．
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性
向上
(0, 0)
y轴
时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值0．
向下
(0, 0)
y轴
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值0．
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性
向上
(0, c)
y轴
时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值c．
向下
(0, c)
y轴
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c．
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性
向上
（h，k）
x=h
时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k．
向下
（h，k）
x=h
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k．
a的
符号
开口
方向
顶点坐标
对称轴
增减性
向上
（，）
时，y随x的增大而增大；
时，y随x的增大而减小；
时，y有最小值．
向下
（，）
时，y随x的增大而减小；
时，y随x的增大而增大；
时，y有最大值．