初二数学.春.直升班.教师版.第4讲 二次函数和方程、不等式综合

这是一份初二数学.春.直升班.教师版.第4讲 二次函数和方程、不等式综合，共20页。

二次函数和方程、
不等式综合
模块一 二次函数和方程综合
模块二 二次函数和不等式综合
模块一：二次函数和方程综合
1．函数和二次函数的交点
（1）交点求解，联立方程组，并代入求解．
（2）交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式（）．
（3）交点关系，联立方程组，看判别式（），再用韦达定理．
2．一元二次方程的解也可以看成函数和二次函数的交点的横坐标．
模块二：二次函数和不等式综合
1．数形结合，可以通过二次函数和其它函数的图象解不等式．
2．根的分布：
一元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点）问题，因此，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．
（1）0分布或k分布




（2）区间分布


模块一 二次函数和方程综合
0
已知二次函数．
（1）若点、在二次函数的图象上，求此二次函数的最小值；
（2）若、关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE与抛物线的交点个数，并说明理由．
（1）由题意得，解得，
∴，
∴二次函数的最小值是．
（2）∵点D、E关于原点成中心对称，
∴、，设直线DE为，
则有，解得 ∴直线为．
则，得．即．
①当时，∴时，方程有相同的实数根，
即当时，直线与抛物线有1个交点．
②当时，∴时，方程有两个不同实数根，
即当时，直线与抛物线有两个不同的交点．
③当时，∴时，方程没有实数根，
即当时，直线与抛物线没有交点．
【教师备课提示】这道题主要考查判断图像交点的情况．
（1）抛物线与一次函数有交点，则a的取值范围_______．
（2）已知函数（m是常数），若一次函数的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，则交点坐标为________________．
（1），且，
（2）①当时，函数为一次函数，
令：，解得，∴交点为；
②当时，函数为二次函数．若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，令，即，由，得，此时交点为．
【教师备课提示】这道题主要讲解已知交点的情况，求参数的值或交点．
已知二次函数及一次函数．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时m的值．

（1）二次函数图象的顶点坐标为，与x轴的交点坐标为，；
（2）①当直线位于时，此时过点，∴，即．
②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点．
∴方程有一根，∴，即
当时，满足，由①②知，或．
【教师备课提示】这道题是二次函数翻折后，和直线交点的情况．
（1）抛物线与x轴两交点间距离的最大值为________．
（2）设二次函数经过点、，且其图象在x轴上所截得的线段长为．求这个二次函数的解析式．
（1）；
（2）由题意得，即因此．
设图象与x轴的交点坐标为，，则
和是方程的两根，
由韦达定理，，，
∴，
整理得，则或．
∴，或．
【教师备课提示】这道题主要考查二次函数和轴交点关系，转化为方程的韦达定理，当然也可以给孩子们总结．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且当时，y取得最小值1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点，试探索是否存在满足下列条件的直线l；= 1 \* GB3①直线l过点；= 2 \* GB3②直线l交抛物线于E、F两点且C点恰好是线段EF的中点.若存在，请求出直线l的函数解析式：若不存在，请说明理由．
（1）；
（2）设该直线为，，，
所以，是方程的根，∴，，
，，，，
所以直线解析式为．
【教师备课提示】这道题主要考查二次函数和直线交点关系，转化为方程的韦达定理．
（1）二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．无实数根
C．有两个同号不相等实数根
D．有两个异号实数根
（2）若方程有两个相异的实数解，则m的取值范围是________．
（1）D；
（2）或．
【教师备课提示】例1—例5主要是函数的交点问题，转化方程的根的情况或根系关系去进行计算，这道题主要讲解方程的解也可以想象成函数的交点．
模块二 二次函数和不等式综合
0
已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．
（1）求二次函数的解析式；并求图象与x轴的另一个交点的坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，．
（1），；
（2）或．
【教师备课提示】这道题主要讲解通过函数图象解不等式，数形结合．
（1）已知关于x的方程有实根，且方程的两根都大于0，则实数m的取值范围是________．
（2）已知方程的两个实根和，且，求实数a取值范围．
（1）设，
因为方程的两根都大于0，所以
解得，∴．
（2）设，由题意得，
∵方程的两个实根和，且，
∴（1）当时，由题意得，
解得，∴此时，无解；
（2）当时，由题意得，，
解得，∴．
【教师备课提示】这道题主要讲解根的分布，主要控制函数的开口，对称轴，判别式和函数端点值．
（1）已知关于x的方程的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6，则实数a的取值范围是______________．
（2）若关于x的方程的解都位于的范围中，求正整数m，n的值．
（1）设，
由题，抛物线与轴的两交点分别落在和内,
即 解得．
∴满足条件的a的取值范围是．
（2）设，
因为方程的两个解都位于中，所以m，n满足条件
由②得，符合条件的m值为1，2，3．由③得．
把m各值代入④，得，，．
把m各值代入①，得，，．
符合条件的m，n的值是，．
复习巩固
模块一 二次函数和方程综合
0
（1）二次函数的图像与x轴的交点个数________．
（2）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题：
①直线是抛物线的切线；
②直线与抛物线相切于点；
③直线与抛物线相切，则相切于点；
④直线与抛物线相切，则.
其中正确的命题是_____________．
（3）若方程有四个不相等实根，则a的取值范围是________．
（1）1个或2个；（2） = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④；
（3）．
构造和．
方程的解也即函数与图象的交点．
如图：当时，原方程有4个不同实根；
已知：抛物线与x轴交于、，与y轴交于．
（1）求抛物线顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？
（1）设抛物线解析式为，
∵C点坐标为，∴，
∴解析式为，顶点D坐标为，
（2）直线CD解析式为．
则，∴，∴直线CD解析式为，，，
若抛物线向下移m个单位，其解析式，
由，消去y，得，
∵，∴，∴向下最多可平移个单位．
若抛物线向上移m个单位，其解析式．
方法一：当时，，当时，，
要使抛物线与EF有公共点，则或，∴，
方法二：当平移后的抛物线过点时，解得，
当平移后的抛物线过点时，，
由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，
综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移个单位．
已知：y关于x的函数的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若、是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满．
①求k的值；
②当时，求y的最大值与最小值．
（1）当时，符合题意；当时，由得．故的取值范围是．
（2） = 1 \* GB3 ①∵，∴，
代入，得.
∵，∴．解得（舍去）.
= 2 \* GB3 ②当时，，
∴当；当．
模块二 二次函数和不等式综合
0
如图，一次函数和抛物线都经过点，．
（1）求一次函数和抛物线的解析式；
（2）求不等式的解集．（直接写出答案）
（1），；
（2）或．
（1）已知方程有两实根，且两根都大于5，则实数a的取值范围是_______．
（2）方程的两根、满足，求实数p的取值范围．
（1）设，对称轴，因为方程的两根都大于5，所以有即，解得．
（2）设，由题，方程的两根、满足， 解得，
解得或，∴满足条件的p的取值范围是或．