初二数学.春.直升班.教师版.第10讲 三角函数（一）

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三角函数（一）
模块一 钝角三角函数
模块二 正余弦定理
模块一：钝角三角函数
1．锐角三角函数回顾：
①定义：都是在直角三角形中定义的，正弦，余弦，正切，余切．
②特殊角的三角函数值：
③同角三角函数关系：，，．
④互余角三角函数关系：若，则，．
2．钝角三角函数：
互补角三角函数：若，则，，．
模块二：正余弦定理
1．正弦定理：（R为三角形的外接圆半径）．
证明：连接BO并延长交圆于点D，连接CD，
则，，
在中，，
∴，同理可得，，．
∴．
2．余弦定理：，．
，．
，．
证明：作于点D，设，则，
∴，解得，
∴，同理，．
模块一 钝角三角函数
0
（1）如图1-1，的顶点都在方格纸的格点上，则________．
（2）如图1-2，在△ABC中，于D，，，，E为AC的中点，则的值为________．

图1-1 图1-2
（3）若为锐角，且和是关于x的方程的两根，则m的值为________．
（4）计算：①
②
（1）；（2）；（3）；（4）①原式；②原式．
【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习，回顾锐角三角函数的基础．
根据特殊角的锐角三角函数，填写下表．
；；；；；；；；；；；．
【教师备课提示】这道题主要让孩子们熟悉特殊钝角的三角函数．
模块二 正余弦定理
0
（1）在中，，，，则__________．
（2）如图3-1，在梯形ABCD中，AD//BC，，，，．则BD的长为__________．
（3）如图3-2，在中，，，，点P是BC上一动点，于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为__________．
图3-1 图3-2
（1）由正弦定理得，，∴，
得，又，∴．
（2）在中，由正弦定理, ∴，
得，∴．
在中，由正弦定理，∴，∴．
（3）∵，∴A、E、P、D四点共圆，且AP为直径，
由正弦定理，∴,
∴当AP最小时，即时，线段DE取得最小值，
∴，．
【教师备课提示】这道题主要总结遇到一边和对角时，可以用正弦定理算边和角．
（1）在中，，，，则__________．
（2）在中，a，b，c分别是，，的对边，且，则________．
（3）在中，若，则的形状一定是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
（4）若钝角三角形的三边分别为、2、x，则x的取值范围为____________．
（1）；（2）由余弦定理得，，．
（3）C．，∴C一定是钝角，故为钝角三角形．
（4）或．设三角形的钝角为，
①若x所对的角为钝角，则，∴，则．
②若2所对的角为钝角，则，∴，则．
【教师备课提示】这道题主要总结遇到三边已知时，可以用余弦定理算角度．
（1）在中，，，，__________．
（2）在中，a，b，c分别是，，的对边，，，且，则___．
（3）如图，中，，，，D在BC上，且，则AD的长为___________．
（1）；（2）8；
（3）由余弦定理，得，
∴，
∴，
∴，∴．
【教师备课提示】这道题主要总结遇到两边和中间夹角已知时，可以用余弦定理算第三边．
已知在中，a，b，c分别是，，的对边，，，，求b、和．
由余弦定理可得：
，
得，
由正弦定理可得，∴，
∴或，∴或（舍去），
∴，．
在中，，最大边与最小边的边长分别是方程的两个根，求的外接圆半径．
∵，且显然此三角形有两边不等（即以已知方程为根的两边），
∴在中，既不是最大角也不是最小角，不防设b为最大边，c为最小边，
由韦达定理，有，，
又由余弦定理，．
∴（舍去）
又由正弦定理，有．
【教师备课提示】例题6和7主要练习下正余弦定理综合．
复习巩固
模块一 钝角三角函数
0
（1） （2）
（1）原式；（2）原式．
模块二 正余弦定理
0
（1）在中，若，则的形状一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
（2）如图，A、B、C为长方体三个顶点，则的形状是_________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
（3）已知是钝角三角形，，，，则x的取值范围是_________．
（1）D；（2）锐角；（3）或．
如图，已知，，，，则__________．
在中，由余弦定理，，
∴，∴由正弦定理得，．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A的大小；（2）如果，，求a的值．
（1）∵，即，
∴，又∵，∴；
（2）∵，，∴，
由正弦定理，得．
在中，，，，点D在线段AC上，且．
（1）求BD的长；（2）求的值．
（1）∵，，，∴，，，
又∵，∴，．由余弦定理，得
，∴．
（2）在中，由正弦定理，得，
∴，∴．
三角函数
无
无
三角函数