初二数学.春.直升班.教师版.第11讲 三角函数（二）

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三角函数（二）
模块一 面积公式拓展
模块二 和（差）角公式
模块一 面积公式拓展
0
（1）已知的三边分别为a、b、c，它们所对的角分别为A，B，C，若，，，则__________．
（2）如图，以的边AC、AB为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE，连结EG．求证：．
（1）；
（2），，
又，，∴．
【教师备课提示】这道题主要练习三角形面积公式．
（1）在中，，，的面积，则边AB的长为_________．
（2）在中，，周长为20，面积为，求三角形三边的长度．
（1）3或5．
（2）设中三个角A，B，C所对的边分别为a、b、c，
，
，又，，
，解得，
，
，或，.
综上，三边为5，7，8．
【教师备课提示】这道题主要考查三角形面积公式和正弦余弦定理结合．
（1）如图3-1，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为，，当__________时，四边形ABCD的面积最大，最大面积为_________．
（2）如图3-2，在对角线互相垂直的四边形ABCD中，，．A到CD距离为6，D到AB距离为4，则四边形ABCD面积等于_________．

图3-1 图3-2
（1），；（2）．
【教师备课提示】这道题主要考查四边形面积．
模块二 和（差）角公式
0
（1）已知，，且为锐角，则_________．
（2）如图4-1，在等腰直角三角形ABC中，，若，则的值为___．
（3）如图4-2，中，，，则_________．

图4-1 图4-2
（1）；（2）；（3）．
【教师备课提示】这道题主要练习和差角公式，当然构造直角三角形也可以．
（1）如图5-1，在中，，，AD平分，则________．
（2）（成外直升）如图5-2，设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点．求证：．

图5-1 图5-2
（1）；
（2）分析：作的平分线，将角分为与相等的两部分，设法证明或．
证：如图作的平分线AH交DC的延长线于H，则，所以．
设正方形边长为a，
在中，
，
所以．
从而，
所以，
．
从而，
所以．
【教师备课提示】这道题主要考查常见的产生，第二问还可以用三角函数倒．
已知：在中，，F为射线BA上一点，且满足，过B作于D，交AC边于E，
（1）如图6-1，证明．
（2）如图6-2，点F在线段AB上时，若，试探究线段BD与DF间的数量关系，并证明你的结论．

图6-1 图6-2
（1）如图1，作，交BD于点H，
∵，即，
∴，∴，
∵，，
∴，∴，
∵AH//DF，∴，∴，
（2）如图2，延长BC至点G，使，连接AG交BD延长线于点M，连接GE并延长交AB于点K，
在和中，
∴
∴，，
∴，
∵，即，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴FD//AM，可得，∵，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴．
【教师备课提示】这道题也可以用2倍角公式计算．
（2016成都中考）如图在中，，以CB为半径作，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BE．
（1）当时，求；
（2）在（1）的条件下，作的平分线，与BE交于点F，若，求的半径．
（1）法1：，
，
，设，
，，
，即，
法2：，，
，
由和角公式得：，
解得：，
法3：过B作交AE于点H，
，设，，
，，，，
；
（2）过F作FH⊥AE于点H，
，设，，
，，
由和角公式得：，
∴在中：，
则，，
∴在中：由（1）知：，，
∴，即，∴．
复习巩固
模块一 面积公式拓展
0
（1）已知的三边分别为a、b、c，它们所对的角分别为A，B，C，若，，，则__________．
（2）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若，，，则四边形ABCD的面积为__________．（结果保留根号）
（1）；（2）．
已知三角形两边之和是10，这两边夹角为，面积为．求证：三角形为等腰三角形．
由题意得，
，
解得，
且，，
∴，
∴三角形为等腰三角形.
模块二 和（差）角公式
0
（1）已知，，则_________．
（2）已知，且为锐角，则_____．
（3）如图，在中，，，AD平分，那么________．
（1）2；
（2）；
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）．
如图，在中，，以AC为直径的分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且．
（1）求证：直线CP是的切线；
（2）若，，求的周长.

（1）∵，且，
在中，，
∴，∴，
又C点在直径上，∴直线CP是的切线．
（2）如图，连接AN，∵AC为直径，
∴，则
∵，
，，，
又，∴，
∴的周长为20．