初二数学.春.直升班.教师版.第12讲 相似三角形的证明与计算

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相似三角形的
证明与计算
如图，射线BD是的平分线，点A、C分别是角的两边BM、BN上两点，且，E是线段BC上一点，线段EC的垂直平分线交射线BD于点F，连结AE交BD于点G，连结AF、EF、FC．
（1）求证：；
（2）若点P是线段AG上一点，连结BP，若，，，求．
（1）∵，∴．
∵，∴，∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，∴．
∵，
∴．
又∵，∴．
∵，
∴；
（2）∵，
∴，．
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【教师备课提示】这道题主要练习利用四点共圆倒角．
（2016年成都中考）如图2-1，中，，于点 H，点 D在AH上，且，连接BD．
（1）求证：；
（2）如图2-2，当是由绕点 H逆时针旋转得到时，连接AE．设射线 CF与AE相交于点 G，连接 GH．试探究线段 GH与 EF之间满足的等量关系，并说明理由．

图2-1 图2-2
（1）∵，，
；
（2）法1：
，
∴C，H，G，A四点共圆
∴
∵旋转，为等腰三角形
∴
设CG与AH交于点Q
法2：∵G、F、H、E四点共圆
由正弦定理得，
．
【教师备课提示】这道题主要练习四点共圆倒相似，也可以利用四点共圆后用正弦定理．
已知：在中，，，，CD交线段AB于点E．
（1）如图3-1，当时，求证：；
（2）当时，
= 1 \* GB3①如图3-2，猜想线段DE、CE之间的数量关系并证明你的猜想；
= 2 \* GB3②如图3-3，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于点G，求的值．

图3-1 图3-2 图3-3
（1）由．．
（2）= 1 \* GB3①过B作于F，设，则．
，．
在中：
，．
．．
= 2 \* GB3②过D作于H．，则．
易证：．，．
在中：，．
在中：．．
又，．
，
，即：．
．
．
【教师备课提示】这道题主要练习下孩子们倒比例，构造平行线，还可以利用梅涅劳斯定理．
已知：如图4-1，中，，AM是的角平分线，过点B作AM的垂线，交AM的延长线于点D，过点D作AB的垂线，垂足为E．
（1）求证：；
（2）如图4-2，作的平分线交AC于F，连接FD交BC于G，若，，求线段DE的长．

图4-1 图4-2
（1）证明：如图1，延长AC、BD交于点K．∵，∴．
∵AD平分，∴，∴，∴，即．
∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：如图2，过F作于N，过D作于T．
∵，，，∴，
∵，∴．∵，，∴DT//BC，
∴，设，则．
∵中，，DT//BC，∴，∴，．
∵，，∴．
∵，，，∴，∴．
∵，，∴，
∴，即，
∴，∴或（舍去），
∴，由（1）得．
∵，∴，∴，即，∴．
∵中，，∴，∴，∴．
【教师备课提示】这道题主要练习和角公式,第二问还可以用和角公式．
已知：在中，，点P是BC上一点，，连接AP，作交AB于点D．连接CD，交AP于点E．
（1）如图5-1，当时，求证：；
（2）在（1）的条件下，过点C作交PA的延长线于点Q，如图5-2，连接DQ，延长CA交DQ于点K，若．求线段AK的长．

图5-1 图5-2
（1）证明：∵，，∴为等边三角形，
∴，，
设，由，得到，，
∵，且，∴，
∴，∴，即，
∴，∴，∴；
（2）解：法1：
过点D作于F点，过D作于M点，过Q作交CA延长线于N点，由（2）知：，，，，，
在中，，可得出，
∴，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，解得：，
∵，又，
∴，
∵，∴，又，
∴，即，
∴，∴，又，
∴，即，解得：，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，∴，，
∵在中，，∴，
∴，，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，即，∴，
则．
法2：∵，
又，
∴，
∵，∴，又，
∴，
即，∴，
由（2）知：，，，，
∵，由余弦定理得：，
∴，又，
∴，，即，∴，
∵，∴D、P、C、Q四点共圆
∴，
∴，
∴，解得．
【教师备课提示】这道题主要练习余弦定理．
复习巩固
如图，在中，BD，CE是AC，AB边上的高，，求证：．
在中，BD、CE是AC、AB边上的高．
∴，且E、D在BC的同侧，
∴E、B、C、D四点共圆．
，，
∴，，
在中，，
∴；
，即，
∴．
已知：在中，，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，，点M在线段DF上，．
（1）如图2-1，当时，求证：；
（2）如图2-2，当时，则线段AE、MD之间的数量关系为____________；
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使，连接CP，若，，求和的值．

图2-1 图2-2
（1）证明：如图1，连接AD．
∵，，∴．
又∵，
∴，即．
∵，，
∴．∴，
∴．
（2）．
（3）如图2，连接AD，EP．
∵，，∴是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴，，．
∵，，
∴．
∴，．
∴．
又∵，∴．
∵，∴为等边三角形，
∴，∴，∴，
在中，，，
∴．∴．
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM//PC．∴，
∴．
∴．
在中，，
在中，，
∴．
过N作，垂足为H．
在中，，，
∴，
∴．
另解：第（3）问还可以用差角公式进行求解．
如图所示，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）当是等腰三角形时，求的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，AC平分，
∴，
在和中，，
∴，∴；
（2）由（1）证得，∴，
∵GC//AB，∴，∴，
∴，∴．
= 1 \* GB3 ①若，∵DG//AB，∴，∴，
由（2）知，设，则，，，
由，得，∴，∴，
作于H，设，则，
解得，∴，∴；
②若，设，则，，
，，，
设，∴，解得，
∴，
∴．
另解：第（2）问还可以用余弦定理进行求解．