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初二数学.春.直升班.教师版.第13讲 特殊四边形的存在性问题
展开这是一份初二数学.春.直升班.教师版.第13讲 特殊四边形的存在性问题,共20页。
特殊四边形的
存在性问题
模块一 平行四边形的存在性问题
模块二 菱形的存在性问题
模块三 矩形的存在性问题
模块一:坐标系下平行四边形的存在性问题
1.已知三点求第四点构成平行四边形:
如图所示,已知,,,在平面内找一点,使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形.
2.解决方法,分两步走:
(1)找点:连接BC、CD、BD得到,以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线,另外两条边作为平行四边形的一组邻边,依次做两邻边的平行线,分别相交于A、、三点.
(2)求点定点:分类讨论,以哪条线为对角线分类讨论.
①几何中心法(适用解答大题):
在平行四边形ABCD中,连接其对角线AC、BD相交于点,
则E是BD的中点,∴E点坐标可表示为,
同理E也是AC的中点,∴E点坐标也可表示为,
∴,,由此即可求出A点坐标.
同理可以求得,、的坐标.
②公式法(填空选择题):
直接利用对角的点的横坐标的和相等,纵坐标的和相等,即,.
模块二:菱形的存在性问题
1.题型描述:已知两个定点A、B,在定直线l上有一点C,在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形.
2.解决方法,分两步走:
(1)转化:转化为等腰三角形的存在性问题.
(2)等腰三角形存在性问题:
①找点:两圆一线;
②求点:以谁为顶点分类讨论.
模块三:矩形的存在性问题
1.题型描述:已知两个定点A、B,在定直线l上有一点C,在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为矩形.
2.解决方法,分两步走:
(1)转化:转化为直角三角形的存在性问题.
(2)直角三角形存在性问题:
①找点:两线一圆;
②求点:以谁为直角分类讨论.
模块一 平行四边形的存在性问题
0
(1)在平面直角坐标系内A,B,C三点的坐标分别是,,,以A,B,C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点坐标为_________________.
(2)(嘉祥)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数的图象,直线PB是一次函数的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.若四边形PQOB的面积是5.5,且,若存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为__________.
(1),,;
(2)、、.
【教师备课提示】这道题主要考查已知三点,求另外一点的坐标.
如图,已知一次函数的图像分别交x轴,y轴于A,B两点,点,点N在x轴上,直线AB上是否存在点M,使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
由题意得,,,
设,,
= 1 \* GB3 ①当BD为对角线时,
由题意得,,解得,
∴;
②当BM为对角线时,
由题意得,,解得,∴,
③当DM为对角线时,
由题意得,,解得,∴,
综上所述,或或.
【教师备课提示】这道题主要考查已知两点,另外有一点在特殊的直线上.
如图3-1,在平面直角坐标中,直角梯形OABC的顶点A的坐标为,直线经过顶点B,与y轴交于顶点C,AB//OC.
(1)求顶点B的坐标;
(2)如图3-2,直线l经过点C,与直线AB交于点M,点为点O关于直线l的对称点,连接,并延长交直线AB于第一象限的点D,当时,求直线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P在直线l上运动,点Q在直线OD上运动,以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.
图3-1 图3-2
(1)∵,AB//OC,设点B的坐标为,
把代入中,得,
∴;
(2)过C点作于N,
∵AB//OC,∴,
由题意,
∴
∴,
∵,当时,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴
设l解析式把,代入得
,解得,
∴l的解析式;
(3)∵,BC为一边,
∴,
∴OD的解析式为,
过P作y轴垂线交直线AD于点U,过点Q作x轴平行线与y轴交于点V,
设点,
∵,,且,
∴,则,
∴,代入中,得,
∴,
如图,同理,
当为对角线时,设,,
即,
解得,
∴.
【教师备课提示】这道题主要考查已知两点,另外两点均在一般的直线上.
模块二 菱形的存在性问题
0
(1)已知如图,直线与坐标轴交于A、B两点,若点P是直线AB上的一个动点,试在坐标平面内找一点Q,使以O、B、P、Q为顶点的四边形为菱形,则Q的坐标是__________.
(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,AB//OC,,,点C的坐标为.
①求点B的坐标;
②若点P是直线上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)或或或.
(2) = 1 \* GB3 ①过点B作轴于F,
在中,∵,,∴,
∵C的坐标为,∴,
∴点B的坐标为.
= 2 \* GB3 ②结论:存在.将菱形的问题转化成等腰三角形的问题.
1)当OP为对角线,即,
则有,
∴;
∴,∴;
,∴;
2)当EP为对角线,即,
∴,∴;
3)当OE为对角线,即,
∴,∴.
综上所述,存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形;
点Q的坐标为:,,,.
【教师备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题,当然直线都是倾斜角度比较特殊的直线.
如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,,、,若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在,求F点的坐标,若不存在,请说明理由.
;;;.
【教师备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题,直线是一般的直线.
模块三 矩形的存在性问题
0
如图,平面直角坐标系xOy中,直线l的函数解析式为,点P在直线l上,已知、,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以P、A、Q、B为顶点的四边形为矩形,若存在,请求出P、Q两点的坐标,若不存在,请说明理由.
存在,将矩形的问题转化成直角三角形的问题.
由题意得,、,
∴直线AB为:.
= 1 \* GB3 ①当时,则,点P在过点A且垂直于AB的直线上,
此时直线AP的解析式为:,
由题意得,,解得,
∴,,
②当,则,点P在过点B且垂直于AB的直线上,
此时直线BP的解析式为:,
由题意得,,解得,∴,,
③当,则,设点,
由题意得,,即,
解得,,∴或,
∴或,
综上所述,,,,,
对应的点Q为,,,.
【教师备课提示】这道题主要考查矩形的问题转化为直角三角形的问题.
复习巩固
模块一 平行四边形的存在性问题
0
如图,已知直线与x轴,y轴交于M,N两点,直线与直线l交于点P.
(1)若点P在第一象限,试求出m的取值范围.
(2)当直线经过线段OM的中点B,求出两直线交点P的坐标.
(3)若点M关于原点的对称点为C,过C作x轴的垂线,点A在x轴上,与原点O关于直线对称,设点Q在直线上,点E在直线上,若以A,O,E,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点E的坐标.
(1)∵直线和直线相交点P,
∴可得:,解得,∴点P的坐标为,
∵点P在第一象限,可得,解得,
解得,∴m的取值范围为.
(2)∵直线与x轴交于M点,
把分别代入解析式中,可得:点,
∵B为OM的中点,∴点B的坐标为,∵在上,
∴得:,解得:,
∴直线的解析式为:,∴.
(3)∵,∴,∴可得直线的解析式为:,
且可得,又,设,
= 1 \* GB3 ①当OA为对角线时,由题意得,,解得,∴,
②当OE为对角线时,由题意得,,解得,∴(舍去)
③当AE为对角线时,由题意得,,解得,∴,
综上所述,或.
模块二 菱形的存在性问题
0
如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴、y轴上,线段OA、OB的长是方程的两个根,点C是线段AB的中点,点D在线段OC上,.
(1)求点C的坐标;
(2)求直线AD的解析式;
(3)P是直线AD上的点,在平面内是否存在点Q,使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)由题意得,,解得,,
∴,,∴,,∴.
(2)作轴于点F,轴于点E,
则,∴,
可得,.∴.
设直线AD的解析式为.
∴,解得,∴.
∴直线AD的解析式为.
(3)存在.如图:分为P在x轴上方和P在x轴下方两种情况,
;;;.
模块三 矩形的存在性问题
0
如图,在平面直角坐标系中,已知的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,且OA、OB的长满足,的平分线交x轴于点C过,点C作AB的垂线,垂足为点D,交y轴于点E.
(1)求线段AB的长;
(2)求直线CE的解析式;
(3)若M是射线BC上的一个动点,在坐标平面内是否存在点P,使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1);
(2);
(3)或.
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