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    初二数学.春.直升班.教师版.第13讲 特殊四边形的存在性问题

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    初二数学.春.直升班.教师版.第13讲 特殊四边形的存在性问题

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    这是一份初二数学.春.直升班.教师版.第13讲 特殊四边形的存在性问题,共20页。



    特殊四边形的
    存在性问题
    模块一 平行四边形的存在性问题
    模块二 菱形的存在性问题
    模块三 矩形的存在性问题
    模块一:坐标系下平行四边形的存在性问题
    1.已知三点求第四点构成平行四边形:
    如图所示,已知,,,在平面内找一点,使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形.
    2.解决方法,分两步走:
    (1)找点:连接BC、CD、BD得到,以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线,另外两条边作为平行四边形的一组邻边,依次做两邻边的平行线,分别相交于A、、三点.
    (2)求点定点:分类讨论,以哪条线为对角线分类讨论.
    ①几何中心法(适用解答大题):
    在平行四边形ABCD中,连接其对角线AC、BD相交于点,
    则E是BD的中点,∴E点坐标可表示为,
    同理E也是AC的中点,∴E点坐标也可表示为,
    ∴,,由此即可求出A点坐标.
    同理可以求得,、的坐标.
    ②公式法(填空选择题):
    直接利用对角的点的横坐标的和相等,纵坐标的和相等,即,.
    模块二:菱形的存在性问题
    1.题型描述:已知两个定点A、B,在定直线l上有一点C,在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形.
    2.解决方法,分两步走:
    (1)转化:转化为等腰三角形的存在性问题.
    (2)等腰三角形存在性问题:
    ①找点:两圆一线;
    ②求点:以谁为顶点分类讨论.
    模块三:矩形的存在性问题
    1.题型描述:已知两个定点A、B,在定直线l上有一点C,在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为矩形.
    2.解决方法,分两步走:
    (1)转化:转化为直角三角形的存在性问题.
    (2)直角三角形存在性问题:
    ①找点:两线一圆;
    ②求点:以谁为直角分类讨论.
    模块一 平行四边形的存在性问题
    0
    (1)在平面直角坐标系内A,B,C三点的坐标分别是,,,以A,B,C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点坐标为_________________.
    (2)(嘉祥)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数的图象,直线PB是一次函数的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.若四边形PQOB的面积是5.5,且,若存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为__________.
    (1),,;
    (2)、、.
    【教师备课提示】这道题主要考查已知三点,求另外一点的坐标.
    如图,已知一次函数的图像分别交x轴,y轴于A,B两点,点,点N在x轴上,直线AB上是否存在点M,使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
    由题意得,,,
    设,,
    = 1 \* GB3 ①当BD为对角线时,
    由题意得,,解得,
    ∴;
    ②当BM为对角线时,
    由题意得,,解得,∴,
    ③当DM为对角线时,
    由题意得,,解得,∴,
    综上所述,或或.
    【教师备课提示】这道题主要考查已知两点,另外有一点在特殊的直线上.
    如图3-1,在平面直角坐标中,直角梯形OABC的顶点A的坐标为,直线经过顶点B,与y轴交于顶点C,AB//OC.
    (1)求顶点B的坐标;
    (2)如图3-2,直线l经过点C,与直线AB交于点M,点为点O关于直线l的对称点,连接,并延长交直线AB于第一象限的点D,当时,求直线l的解析式;
    (3)在(2)的条件下,点P在直线l上运动,点Q在直线OD上运动,以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.

    图3-1 图3-2
    (1)∵,AB//OC,设点B的坐标为,
    把代入中,得,
    ∴;
    (2)过C点作于N,
    ∵AB//OC,∴,
    由题意,

    ∴,
    ∵,当时,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,

    设l解析式把,代入得
    ,解得,
    ∴l的解析式;
    (3)∵,BC为一边,
    ∴,
    ∴OD的解析式为,
    过P作y轴垂线交直线AD于点U,过点Q作x轴平行线与y轴交于点V,
    设点,
    ∵,,且,
    ∴,则,
    ∴,代入中,得,
    ∴,
    如图,同理,
    当为对角线时,设,,
    即,
    解得,
    ∴.
    【教师备课提示】这道题主要考查已知两点,另外两点均在一般的直线上.
    模块二 菱形的存在性问题
    0
    (1)已知如图,直线与坐标轴交于A、B两点,若点P是直线AB上的一个动点,试在坐标平面内找一点Q,使以O、B、P、Q为顶点的四边形为菱形,则Q的坐标是__________.
    (2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,AB//OC,,,点C的坐标为.
    ①求点B的坐标;
    ②若点P是直线上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
    (1)或或或.
    (2) = 1 \* GB3 ①过点B作轴于F,
    在中,∵,,∴,
    ∵C的坐标为,∴,
    ∴点B的坐标为.
    = 2 \* GB3 ②结论:存在.将菱形的问题转化成等腰三角形的问题.
    1)当OP为对角线,即,
    则有,
    ∴;
    ∴,∴;
    ,∴;
    2)当EP为对角线,即,
    ∴,∴;
    3)当OE为对角线,即,
    ∴,∴.
    综上所述,存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形;
    点Q的坐标为:,,,.
    【教师备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题,当然直线都是倾斜角度比较特殊的直线.
    如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,,、,若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在,求F点的坐标,若不存在,请说明理由.
    ;;;.
    【教师备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题,直线是一般的直线.
    模块三 矩形的存在性问题
    0
    如图,平面直角坐标系xOy中,直线l的函数解析式为,点P在直线l上,已知、,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以P、A、Q、B为顶点的四边形为矩形,若存在,请求出P、Q两点的坐标,若不存在,请说明理由.
    存在,将矩形的问题转化成直角三角形的问题.
    由题意得,、,
    ∴直线AB为:.
    = 1 \* GB3 ①当时,则,点P在过点A且垂直于AB的直线上,
    此时直线AP的解析式为:,
    由题意得,,解得,
    ∴,,
    ②当,则,点P在过点B且垂直于AB的直线上,
    此时直线BP的解析式为:,
    由题意得,,解得,∴,,
    ③当,则,设点,
    由题意得,,即,
    解得,,∴或,
    ∴或,
    综上所述,,,,,
    对应的点Q为,,,.
    【教师备课提示】这道题主要考查矩形的问题转化为直角三角形的问题.
    复习巩固
    模块一 平行四边形的存在性问题
    0
    如图,已知直线与x轴,y轴交于M,N两点,直线与直线l交于点P.
    (1)若点P在第一象限,试求出m的取值范围.
    (2)当直线经过线段OM的中点B,求出两直线交点P的坐标.
    (3)若点M关于原点的对称点为C,过C作x轴的垂线,点A在x轴上,与原点O关于直线对称,设点Q在直线上,点E在直线上,若以A,O,E,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点E的坐标.
    (1)∵直线和直线相交点P,
    ∴可得:,解得,∴点P的坐标为,
    ∵点P在第一象限,可得,解得,
    解得,∴m的取值范围为.
    (2)∵直线与x轴交于M点,
    把分别代入解析式中,可得:点,
    ∵B为OM的中点,∴点B的坐标为,∵在上,
    ∴得:,解得:,
    ∴直线的解析式为:,∴.
    (3)∵,∴,∴可得直线的解析式为:,
    且可得,又,设,
    = 1 \* GB3 ①当OA为对角线时,由题意得,,解得,∴,
    ②当OE为对角线时,由题意得,,解得,∴(舍去)
    ③当AE为对角线时,由题意得,,解得,∴,
    综上所述,或.
    模块二 菱形的存在性问题
    0
    如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴、y轴上,线段OA、OB的长是方程的两个根,点C是线段AB的中点,点D在线段OC上,.
    (1)求点C的坐标;
    (2)求直线AD的解析式;
    (3)P是直线AD上的点,在平面内是否存在点Q,使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    (1)由题意得,,解得,,
    ∴,,∴,,∴.
    (2)作轴于点F,轴于点E,
    则,∴,
    可得,.∴.
    设直线AD的解析式为.
    ∴,解得,∴.
    ∴直线AD的解析式为.
    (3)存在.如图:分为P在x轴上方和P在x轴下方两种情况,
    ;;;.
    模块三 矩形的存在性问题
    0
    如图,在平面直角坐标系中,已知的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,且OA、OB的长满足,的平分线交x轴于点C过,点C作AB的垂线,垂足为点D,交y轴于点E.
    (1)求线段AB的长;
    (2)求直线CE的解析式;
    (3)若M是射线BC上的一个动点,在坐标平面内是否存在点P,使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    (1);
    (2);
    (3)或.

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