初二数学.寒.直升班.教师版.第1讲 锐角三角函数

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锐角三角函数
模块一 锐角三角函数的基本概念
模块二 同角和互余角的三角函数关系
模块三 的三角函数值计算及拓展
模块一 锐角三角函数的基本概念
1．锐角三角函数的定义
①锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做的锐角三角函数．
②正弦：中，锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即．
③余弦：中，锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即．
④正切：中，锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即．
⑤余切：中，锐角A的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即．
从定义中可以看出：
= 1 \* GB3 ①正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中定义的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义．
②在直角三角形中，正弦、余弦、正切、余切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．
2．特殊角的三角函数值
3．三角函数的增减性和取值范围
在时，随着的增大而增大，；
随着的增大而减小，；
随着的增大而增大，；
随着的增大而减小，．
模块二 同角和互余角的三角函数关系
1．同角三角函数关系：
，，．
2．互余角三角函数关系：
（1）任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；
（2）任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：；
（3）任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：；
（4）任意锐角的余切值等于它的余角的正切值：．
模块三 的三角函数值计算及拓展
两角和与差的正切公式
； ．
模块一 锐角三角函数的基本概念
0
特殊地，．
（1）在中，，、、所对三角形的边分别为a、b、c．若，，则________，________，________，________，________．
（2）如图，正方形网格中，如图放置，则的值为_______．
（3）在中，，，且为锐角，则的值等于______．
（4）在中，，，分别是的对边．已知，，，则的值等于__________．
（1），，，，；（2）；（3）；（4）．
【教师备课提示】这道题主要考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中定义．
计算：（1）
（2）
（3）
（1）原式；（2）原式；（3）原式．
（1）在锐角中，若，则的度数是________．
（2）若，则锐角的角度是________．
（1）；（2）．
【教师备课提示】例2和例3主要考查特殊角的三角函数，正反都要熟悉．
（1）如果为锐角，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
（2）若锐角满足，且，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
（3）若为锐角，且，则m的取值范围是_________．
（4）已知，则的值（ ）
A． B． C． D．
（1）∵，，，且随的增大而增大，
∴．故选B；
（2）C；
（3）；
（4）∵，，
∴，故选A．
【教师备课提示】这道题主要考查锐角三角函数的增减性和取值范围．
模块二 同角和互余角的三角函数关系
0
（1）已知为锐角，且，求的度数．
（2）若为锐角，且和是关于x的方程的两根，求m和的值．
（1）∵，∴，
即. ∴.
解得：或.
∵，∴，∴．
（2）∵和是关于的方程的两根，
∴
∴，解得（舍负），
．
已知，求下列各式的值：
（1） （2）
（1）原式．
（2）由可知，
原式
．
（1）若锐角A满足，求的值．
（2）化简：．
（1）∵，，
∴.
∴.
（2）∵，
又，
∴
．
【教师备课提示】例5—例7就是主要考查同角的三角函数关系．
计算：（1）
（2）
（3）
（1）原式
．
（2）原式．
（3）原式．
【教师备课提示】这道题主要考查互余角之间的三角函数关系的计算．
模块三 的三角函数值计算及拓展
0
求角的三角函数值．
如图所示，画，使,
，，，.
延长到，使，连接，则.
在中，，，.
∵
；
∴．
依定义得：；
；
；．
【教师备课提示】通过这道题讲解15°的三角函数值的推导过程，当然也可以借此补充两角和差公式，用公式推导．
（1）已知，，且为锐角，则_________．
（2）如图10-1，中，，，则_________．
（3）如图10-2，在中，，，AD平分，则________．

图10-1 图10-2
（1）；（2）；（2）．
【教师备课提示】这道题主要考查两角和差公式和2倍角公式的简单计算．
模块一 锐角三角函数的基本概念
复习巩固
（1）直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2）在中，，，则__________，__________．
（1）D；（2）；．
计算：（1）
（2）
（3）
（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
（1）若，则锐角的角度是______．
（2）在锐角中，，则______．
（1）；（2）．
模块二 同角和互余角的三角函数关系
（1）已知：，则之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知，则=________．
（3）若锐角A满足，则=________．
（1）C；
（2）；
（3）6．
比较下列各式的大小．
（1）和；
（2）当是锐角时，和．
（1）解法一：∵，且，
∴．
解法二：∵，且，
∴．
（2）解法一：根据三角函数定义：
∵，∴，即．
解法二：，∴
∵是锐角，∴，
∴，∴，∴，
即，∴．
模块三 的三角函数值计算及拓展
求的三角函数值．
如图所示，是等腰直角三角形，
设，则，，
∵，∴，
∴，
∴，
，
，
．
（1）已知，，则_________．
（2）已知，且为锐角，则_________．
（1）2；（2）．
三角函数
0
1
1
0
0
1
无
无
1
0