初二数学.寒.直升班.教师版.第2讲 三角函数的应用

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三角函数的应用
模块一 解三角形
模块二 解三角形的应用
模块一 解三角形
1．解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系：．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：，，．
3．解直角三角形的四种基本类型
4．解一般三角形
（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．
（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．
模块二 解三角形的应用
1．相关概念
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图1．
（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图2．
（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图3．

图1 图2 图3
2．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
模块一 解三角形
0
在中，．
（1）若，，则________，________，________；
（2）若，，则________，________；
（3）若，，则________，________．
（1），3，；（2），；（3）；．
【教师备课提示】这道题主要考查解直角三角形．
（1）如图2-1，在中，，于点D，，，则____________．
（2）如图2-2，在中，，CD是AB边上的中线，若，，则的值为____________．
（3）如图2-3，等腰中，，D为BC中点，将折叠，使A点与D点重合，若EF为折痕，则的值为_______．

图2-1 图2-2 图2-3
（1）；（2）；
（3），，∵,，
∴，设，，则，，
由，得，，．
【教师备课提示】这道题主要是利用常见的模型转移角度，转移到相等的角的直角三角形中．
（1）如图，在中，，，，则AC的长为________．
（2）（七中育才周考）已知等腰三角形的周长为20，且该等腰三角形为锐角三角形，其中某一内角的余弦值为，那么该等腰三角形的腰长等于__________．
（1）（过C点作AB的垂线）；（2）6或．
【教师备课提示】这道题主要考查解一般三角形构造直角三角形，尽量不破坏已知角．
如图，已知在中，，，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且，连接AE．
（1）求线段DE的长；
（2）求的正切值．

（1）如图，连接AD，
∵，D为BC的中点，∴，∴，
∵，，∴，
∴，由勾股定理得：，∴，，
∵，∴，∴；
（2）过C作于M，则，
在中，由勾股定理得；，
∵由勾股定理得；，
∴，
解得：，∴，
∴的正切值是．
如图，在中，CD是AB边上的中线，已知，，，
（1）求面积；（2）求CD的长；（3）求的值．

（1）作于H，在中，
∵，，∴，
设，，根据勾股定理得，
∴，∴，，
在中，，∴，
∴，∴；
（2）作于F，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴；
（3）作于E，∵，∴，
∴，∴．
【教师备课提示】例4和例5主要考查利用三角函数和特殊角构造直角三角形，然后解三角形．
（石室联中改编）如图，等腰中，，，，点D在边AC上，且BD平分．
（1）求证：；
（2）求的值．

（1）∵等腰中，，，∴，
∵BD平分，∴，
∵，，∴；
（2）∵，∴，
∵，∴，设，则有，
∵，∴，即，整理得：，
解得：，（负值，舍去），则；
过B作，交AC于点E，
∵，∴E为CD中点，即，
在中，，
在中，，
则．
【教师备课提示】这道题主要考查三角函数和相似综合，一样构造直角三角形进行求解．
模块二 解三角形的应用
0
（七中嘉祥周考）如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三个点A（A为楼底）、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为，在E处测得商场大楼楼顶B的仰角为，米．已知，广告牌的高度米，求这座商场大楼的高度AB（，，小红的身高不计，结果保留整数）．
设AB为x米．
依题意，在中，
∴，
∴，．
在中，，
∴
∴，
∴，
解得，∴．
“五•一”期间，小亮与家人到某旅游风景区登山，他们沿着坡度为的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，乘坐缆车到达山顶C处，已知点A、B、C、D在同一平面内，从山脚A处看山顶C处的仰角为，缆车行驶路线BC与水平面的夹角为，求山高CD．（结果精确到0.1米，，）（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

过B作于E，于F，
则，，，
所以四边形BFDE是矩形，所以，，
∵沿着坡度为的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，
∴米，米，
∵，∴，
∵在中，，∴，
∴，解得：米，
∴米，
∴米≈789.2米．
【教师备课提示】例7—例8主要考查解三角形的应用，主要考查最基本的概念．
复习巩固
模块一 解三角形
（1）如图1-1，在菱形ABCD中，，，，则BD的长为______，的值为_______．
（2）如图1-2，在梯形ABCD中，，，，，则_______．

图1-1 图1-2
（1），；（2）．
（1）如图2-1，在等腰中，，，D是AC边上一点，若，则AD的长为____________．
（2）如图2-2，是等腰直角三角形，，过BC的中点D作，垂足为E，连接CE，则的值为____________．

图2-1 图2-2
（1）作于点E，则，且，
又可得，从而．
（2）过点E作，F为垂足．，也是等腰直角三角形．
设，则，∴，，．

如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，沿BE折叠为，点F落在AD上，
（1）求证：；
（2）若，求的值．
（1）略；
（2）由，得，
故．
模块二 解三角形的应用
（七中高新半期）某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动．如图，她在山坡坡脚A出测得这座楼房的楼顶B点的仰角为，沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为．已知，此山坡的坡比，且O、A、D在同一条直线上．求：（1）楼房OB的高度；（2）小红在山坡上走过的距离AC．（计算过程和结果均不取近似值）
（1）在中，，．
∵，∴．
（2）如图，过点C作于E，于H．
则，．
根据题意，知，可设，.
在中，，
∴，即．
∴．解得．
在中，
∵，∴．
∴．
答：高楼OB的高度为，小红在山坡上走过的距离AC为m.
如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
（参考数据：，，）

（1）如图，过点E作，垂足为M．设AB为x．
中，，
∴，
∴，
在中，，
，
，则，解得：．
即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得．
在中，．∴，
即A、E之间的距离约为48m．
已知条件
解法类型
一条边和
一个锐角
斜边c和锐角
，，
直角边a和锐角
，，
两条边
两条直角边a和b
，，
斜边c和直角边a
，，