初二数学.寒.直升班.教师版.第6讲 圆（四）

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圆（四）
模块一 圆和圆的位置关系
模块二 圆幂定理
模块一 圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定．
设、的半径分别为r、R（其中），两圆圆心距为d，则有：
两圆外离；两圆外切；两圆相交；
两圆内切；两圆内含
说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
模块二 圆幂定理
1．相交弦定理
相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．
如图，弦AB和CD交于内一点P，则．
2．切割线定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
如图，PT是的切线，PAB为的割线，则．
3．割线定理
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
如图，PAB和PCD为的两条割线，则．
模块一 圆和圆的位置关系
0
（1）若两圆的直径分别是2和6，两圆的圆心距是4，则两圆的位置关系是（ ）．
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
（2）两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（ ）．
A．相交B．外离 C．内含D．外切
（3）若两个圆相切于A点，它们的直径分别为10cm、4cm，则这两个圆的圆心距为__________．
（4）已知与两圆内含，，的半径为5，那么的半径r的取值范围是__________．
（1）B；（2）A；（3）7cm或3cm；（4）或．
【教师备课提示】这道题主要考查圆和圆的位置关系．
如图，与相交于A、B两点，在的圆周上，的弦AC交于D点，求证：线段与BC垂直．

连、、AB，则
在中，．
在中，，
于是有，
即是的平分线．
又，则是等腰三角形，
且是顶角，所以．
【教师备课提示】这道题主要考查两圆的公共弦，常作为两圆的圆周角中间的联系.
（1）如图3-1，已知与外切，外公切线AB与、分别相切于A、B两点，AB与的夹角，若，求两圆的半径及外公切线长．
（2）如图3-2，与外离，AB，CD是内公切线交于P点，是圆心距，若，且的半径为2cm，的半径为3cm，求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数．

图3-1 图3-2
（1）连接、，作于C，
则四边形是矩形，∴，，，
在中，∵，，．
∴，
即外公切线长为．
设、的半径分别为R、r，
则，，∴，，
即两圆半径分别为和．
（2）连接，，过点作交的延长线与点E，
则四边形是矩形，
∴，，∴．
在中，．
即两圆的内公切线长为
在中，，
∴，
∴两条内公切线夹角为．
【教师备课提示】这道题主要考查公切线的求法，外公切线和内公切线的求法.
（1）如图4-1，矩形内放置8个半径为1cm的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的边相切，则该矩形的面积为__________．
（2）如图4-2，PQ、、分别是以、、为圆心的半圆、、的直径，圆内切于半圆及外切于半圆、．若，圆的面积为__________．

图4-1 图4-2
（1）；
（2）连结、，设的半径为r，
∵，∴，，∴，，
根据圆的对称性，，∴，解得，
∴．
【教师备课提示】这道题主要考查多圆相切问题，连接圆心距．
模块二 圆幂定理
0
（1）如图5-1，已知的弦AB、CD相交于点P，，，，则__________．
（2）如图5-2，在中，弦AB与半径OC相交于点M，且，，，则OC的长为__________．
（3）如图5-3，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作，PC交于C，且的半径为3．若，，则OP的长为________．

图5-1 图5-2 图5-3
（1）；
（2）（延长CO交于点N即可）；
（3）（延长CP交于点Q即可）．
【教师备课提示】这道题主要考查基础的相交弦定理的应用.
（1）如图6-1，一圆周上有三点A，B，C，∠A的平分线交边BC于D，交圆于E，已知，，，则__________．
（2）如图6-2，已知AB为的直径，C为上一点，于D，，，以C为圆心，CD为半径的圆与相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则__________．

图6-1 图6-2
（1）∵AD平分 ∴
又∵ ∴，，
由相交弦定理，得；
（2）延长DC交于M，延长CD交于N．
∵，，， ∴．
在、中，由相交弦定理可知，，
设，则，．
则，解得．
所以，，，．所以．
【教师备课提示】这道题主要考查相交弦定理，相对来说比较综合.
如图，已知的弦AB，CD相交于点P，，，，EA切于点A，AE与CD的延长线交于点E，，求PE的长．
∵弦AB，CD交于点P，
∴由相交弦定理得，
∵，，，
∴，
∵EA为切线，由切割线定理得：
．
∵，
∴，（舍去），
∴．
如图，已知AB是的直径，C是圆上一点，延长BC至D，使，连接AD，过C作于E，BE交于F．求证：．

连接OC、AC，∵，，∴，
∵，∴，∴CE是的切线．
∴，∵AB是的直径，
∴，
∵，∴，
∴，
∴．
【教师备课提示】这道题主要考查切割线定理和射影模型的结合，考察综合.
（1）如图9-1，过点P作的两条割线分别交于点A、B和点C、D，已知，，则PD的长是____________．
（2）如图9-2，AB是的直径，弦，垂足为E，P是BA延长线上的点，连接PC交于F，如果，，且，则CD的长是______________．
（3）如图9-3，BC是半圆的直径，于点F，．已知点A在CE的延长线上，AB与半圆交于D，且，，则AD的长为_________．

图9-1 图9-2 图9-3
（1）；（2）；
（3）连结BE，∵BC是的直径，
∴，
∵，由射影定理得，
∴，
在中，，
∴．
由割线定理得，
∴．
【教师备课提示】这道题主要是割线定理的基础应用.
如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆O，且，DA、CB的延长线相交于P点．
于E，，已知，求DE的长．

连接AO，AC．设半径为r．
∵，∴．∴．
设，则．∴．
由割线定理有：，即．
∴，∴．∴．
∵，，
∴．∴
又∵，∴．
模块一 圆和圆的位置关系
复习巩固
（1）图中包含的两圆之间不同的位置关系有_____________________．
（2）平面直角坐标系中，的圆心在原点，半径为3，的圆心A的坐标为，半径为1，那么与的位置关系是____________．
（3）已知两圆相切，两圆半径分别为6cm和3cm，则圆心距为__________．
（1）内含、内切、相交、外切、外离；
（2）内切；（3）4.5cm或1.5cm．
如图，和都经过A，B两点，经过点A的直线CD与交于点C，与交于点D，经过B的直线EF与交于点E，与交于点F．
（1）求证：．
（2）在图中，CD与EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时，过点E作直线，试判断直线MN与的位置关系，并证明你的结论．

（1）在中连接AB，如图所示．
∵ABEC是的内接四边形，
∴，
∵ADFB是的内接四边形，
∴，
∴，∴，
（2）MN与相切，
过E作的直径EH，连接AH和AB，
∵，∴．
又∵，，
∴．
∵EH为的直径，
∴，
∴，
∴．
∵EH为的直径
∴MN为的切线．
（1）如图3-1，与外切于点T，它们的半径之比为，AB是它们的外公切线，A、B是切点，且，则的值是_____________．
（2）如图3-2，和的半径为1和2，连接交于点P，，若将绕点按顺时针方向旋转，则与共相切_______次．
（3）某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5cm的钢球，测得上面一个钢球顶部高（钢管的轴截面如图3-3所示），则钢管的内直径AD长为________．

图3-1 图3-2 图3-3
（1）连结、，过作于C，
则四边形是矩形，，．
设，，
∴，，
在中，，
∴，即，解得，
∴．
（2）3（如右图所示）
（3）18cm
模块二 圆幂定理
（1）如图4-1，的弦AB与CD相交于点P，已知，，，__________．
（2）如图4-2，已知中，弦，M是AB上一点，，，则________．

图4-1 图4-2
（1）6cm；
（2）作过O、M两点的直径，分别交于C、D，
则由相交弦定理可知，
又，
∴或9cm．
（1）如图，PC是半圆的切线，且，过B的切线交PC于点D，若，则半径为__________，__________．
（2）（2014石室联中月考）点A是半径为3的圆外一点，它到圆的最近点的距离为5，则过点A的切线长为__________．
（3）如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若，，则____________．
（1）；；
（2）；
（3）∵AB是两圆的公切线，∴，，
∴，∴，解得．
【教师备课提示】这道题主要考查切割线定理的基础应用.
如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P．延长AP交BC于点N，求的值．
连结BP并延长交AD于E，连结CP并延长交AB于M，交DA延长线于F．
易知，由弦图的基本模型可知，，
又由切割线定理可知，，
∴，即M是AB中点，∴，
由此可知，∴，
∵，∴，，
∴，
∴，，∴．