数学九年级下册第24章 圆24.5 三角形的内切圆精品同步训练题

这是一份数学九年级下册第24章 圆24.5 三角形的内切圆精品同步训练题，共10页。试卷主要包含了5　三角形的内切圆，5 D等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1.已知P是三角形的两条角平分线的交点,则这个点( )


A. 是这个三角形的外心B .是这个三角形的内心


C. 到各边中点距离相等D. 与顶点的连线垂直于该顶点的对边


2.已知点I是△ABC的内心,若∠BAC=60°,则∠BIC的度数为( )


A. 60° B. 80° C .100° D. 120°


3.如图1,等边三角形的内切圆半径为1,那么这个等边三角形的边长为( )


A .2 B. 3 C. 3 D. 23


图1 图2


4.如图2圆I是三角形ABC的内切圆,D,E,F为3个切点,若∠DEF=52°,则∠A的度数为( )


A .68° B. 52° C .76° D .38°


5.如图3,☉I为△ABC的内切圆,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE为☉I的切线.若△ABC的周长为21,BC边的长为6,则△ADE的周长为( )


A. 15 B. 9 C. 7.5 D. 7


图3 图4


6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“如图4,今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”( )


A .3步 B .5步 C .6步 D. 8步


7.(2019·芜湖一模)如图5，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，CA相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为( )


A．16 B．14 C．12 D．10


如图5 如图6


8.（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）


A．h＝R+rB．R＝2rC．r=34aD．R=33a


9.（2020•济宁）如图7，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（ ）


A．43B．23C．2D．4


如图7 如图8


10.（2020•金华）如图8，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（ ）


A．65°B．60°C．58°D．50°


二、填空题


11.[2018·湖州] 如图9,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是 .


图9 图10


12. 如图10,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥BC,与AB,AC分别交于点E,F,则线段EF,BE,CF三者间的数量关系是 .


13.如图11,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(3,0),(0,4),则Rt△ABO的内心的坐标是 .


图11 图12


14.[2018·益阳] 如图12,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC= .


三、解答题


15.(教材P44习题T3变式)如图13，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，AB＝AC＝13，BC＝10.求⊙O的半径．


如图13

















16.如图14,有三条两两相交的公路a,b,c,现要在公路旁修一加油站P,使P到三条公路的距离相等,你认为应修于何处?请用尺规确定所有符合条件的位置.


图14














17.[2019·孝感] 如图15,点I是△ABC的内心,BI的延长线与△ABC的外接圆☉O交于点D,与AC交于点E,延长CD,BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G,连接AI.


(1)求证:DG∥CA;


(2)求证:AD=ID;


(3)若DE=4,BE=5,求BI的长.


图15























答案解析


1.[解析] B ∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等,


∴两条角平分线的交点到三角形的三边的距离相等.


故选B.


2.[解析] D ∠BIC=90°+12∠BAC=90°+12×60°=120°,故选D.


3.[答案] D


4.[解析] C ∵圆I是三角形ABC的内切圆,∴ID⊥AB,IF⊥AC,∴∠IDA=∠IFA=90°,∴∠A+∠DIF=180°.∵∠DIF=2∠DEF=2×52°=104°,∴∠A=180°-104°=76°.


5.[解析] B ∵△ABC的周长为21,BC=6,


∴AC+AB=21-6=15.


设☉I与△ABC的三边AB,BC,AC的切点分别为M,N,Q,DE与☉I的切点为P,如图.


∵DM=DP,BN=BM,CN=CQ,EQ=EP,


∴BM+CQ=BN+CN=BC=6,


∴△ADE的周长=AD+DE+AE


=AD+AE+DP+PE


=AD+DM+AE+EQ


=AB-BM+AC-CQ


=AC+AB-(BM+CQ)


=15-6=9.


故选B.





6.[解析] C 根据勾股定理,得斜边长为82+152=17,


则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r=8+15-172=3(步),即直径为6步,故选C.


7. .[解析] B


8.【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，


∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，


设OE＝r，AO＝R，AD＝h，


∴h＝R+r，故A正确；


∵AD⊥BC，


∴∠DAC=12∠BAC=12×60°＝30°，


在Rt△AOE中，


∴R＝2r，故B正确；


∵OD＝OE＝r，


∵AB＝AC＝BC＝a，


∴AE=12AC=12a，


∴（12a）2+r2＝（2r）2，（12a）2+（12R）2＝R2，


∴r=3a6，R=33a，故C错误，D正确；


故选：C．





9.【解析】过点B作BH⊥CD于点H．


∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，


∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A），


∴∠BDC＝90°+12∠A＝90°+12×60°＝120°，


则∠BDH＝60°，


∵BD＝4，


∴DH＝2，BH＝23，


∵CD＝2，


∴△DBC的面积=12CD•BH=12×2×23=23，


故选：B．





10. 【解析】如图，连接OE，OF．





∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，


∴OE⊥AB，OF⊥BC，


∴∠OEB＝∠OFB＝90°，


∵△ABC是等边三角形，


∴∠B＝60°，


∴∠EOF＝120°，


∴∠EPF=12∠EOF＝60°，


故选：B．


11.[答案] 70°


12.[答案] EF=BE+CF


[解析] 如图,连接OB,OC.


∵点O是△ABC的内心,


∴BO,CO分别是∠ABC和∠BCA的平分线,


∴∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO.


又∵EF∥BC,


∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,


∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,


∴OE=BE,OF=CF,


∴EF=BE+CF.





13.[答案] (1,1)


[解析] 由题意得AB=5,则△ABO内如图的半径=12×(3+4-5)=1,故其内心的坐标是(1,1).


14.[答案] 2


[解析] ∵AB=5,AC=4,BC=3,


∴AC2+BC2=42+32=25=AB2,


∴△ABC是直角三角形,


由作法可知AO,BO分别是∠BAC,∠ABC的平分线,


∴点O是△ABC内切圆的圆心,其内切圆半径为3+4-52=1,由勾股定理得OC=12+12=2.


15. 解：连接AF.


∵⊙O是△ABC的内切圆，


∴AD＝AE，BD＝BF，CF＝CE.


∵AB＝AC，∴BD＝CE.


∴BF＝CF.


∴BF＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×10＝5，AF⊥BC.


∴AF＝eq \r(AB2－BF2)＝eq \r(132－52)＝12.


∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AF＝eq \f(1,2)×10×12＝60.


设⊙O的半径是r，则eq \f(1,2)×(13＋13＋10)·r＝60，


解得r＝eq \f(10,3).


∴⊙O的半径为eq \f(10,3).


16.解:有四个符合条件的位置,即三条公路围成三角形的内心(1个)以及三角形外角平分线的交点(3个).作图略.


17..解:(1)证明:如图所示,∵点I是△ABC的内心,


∴∠2=∠7.


∵DG平分∠ADF,


∴∠1=12∠ADF.


∵∠ADF=∠ABC,


∴∠1=∠2.


∵∠3=∠2,


∴∠1=∠3,


∴DG∥CA.


(2)证明:∵点I是△ABC的内心,


∴∠5=∠6.


由(1)知∠3=∠7.


∴∠4=∠7+∠5=∠3+∠6,


即∠4=∠DAI,


∴AD=ID.


(3)∵∠3=∠7,∠ADE=∠BDA,


∴△DAE∽△DBA,


∴AD∶DB=DE∶DA.


∵BD=DE+BE=9,DE=4,


∴AD∶9=4∶AD,


∴AD=6,∴DI=6,


∴BI=BD-DI=9-6=3.