数学华师大版第19章 矩形、菱形与正方形综合与测试当堂检测题

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第19章单元达标检测试卷


[时间：90分钟 分值：150分]


一、选择题(每题3分，共30分)





1．下列命题，其中是真命题的为( )


A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形


B．对角线互相垂直的四边形是菱形


C．对角线相等的四边形是矩形


D．一组邻边相等的矩形是正方形





2．若一个正方形的对角线长是2 cm，则它的面积是( )


A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2











3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为( )


A．52 B．48 C．40 D．20





4．如图，若矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为( )





A．16 B．12 C．24 D．20


5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2eq \r(3)，DE＝2，则四边形OCED的面积为( )





A．2eq \r(3) B．4 C．4eq \r(3) D．8





[来源:]


6．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上一点，ED平分∠AEC，则CE的长为( )





A．1 B．2 C．3 D．4


7．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E为AC上一点，连结EB、ED.当∠BED＝126°时，∠EDA的度数为( )[来源:Z。xx。k.Cm]





A．54° B．27° C．36° D．18°


8．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处．若∠AGE＝32°，则∠GHC的度数为( )





A．112° B．110° C．108° D．106°








9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E、F两点．若AC＝2eq \r(3)，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )





A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3)


10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结AP、EF.给出下列结论：①PD＝eq \r(2)EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④EF的最小值为2eq \r(2).其中正确结论的序号为( )





A．①③④ B．①④


C．②③④ D．①②④











二、填空题(每题4分，共20分)


11．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ．





12．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝ .











13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BFC＝ °.














14．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E、A、B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是 ．











15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，点E是边AD的中点，动点P从A点出发，以1 cm/s的速度沿A→D→C→B运动，最终到达点 B. 若点P运动的时间为x s，那么当x＝ 时，以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5 cm2.

















三、解答题(共70分)


16．(8分)如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF是正方形．

















17．(8分)如图，AC是▱ABCD的对角线，延长BA至点E，使AE＝AB，连结DE.


(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；


(2)连结EC交AD于点O，若∠EOD＝2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．


























18．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.


(1)求证：四边形ABCF是矩形；


(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
































19．(10分)如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.


(1)求证：AB＝BC；


(2)若AB＝2，AC＝2eq \r(3)，求▱ABCD的面积．






































20．(10分)如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．


(1)求证：四边形ABCD是菱形；


(2)若∠AED＝2∠EAD，AB＝2eq \r(5)，求四边形ABCD的面积．


























21．(12分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF.


(1)求证：AD＝AF；


(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．





22．(12分)如图1，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M.已知点A(－3，4)．


(1)求AO的长；


(2)求直线AC的解析式和点M的坐标；


(3)如图2，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A－B－C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S.


①求S与t的函数关系式；


②求S的最大值．


,图1) ,图2)


























参考答案


一、


1．D


2．A


3．A


【解析】在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AO＝CO＝eq \f(1,2)AC＝5，BO＝DO＝eq \f(1,2)BD＝12.根据勾股定理可知AB＝eq \r(AO2＋BO2)＝eq \r(52＋122)＝13，所以菱形ABCD的周长C＝4AB＝4×13＝52.


4．B


5．A


6．B


7．D


8．D


【解析】根据折叠前后角相等可知∠DGH＝∠EGH.∵∠AGE＝32°，∴∠EGH＝74°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AGH＝∠GHC＝∠EGH＋∠AGE，∴∠GHC＝106°.


9．A


【解析】∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，


∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°.


∵四边形ABCD是矩形，


∴∠BFO＝60°，∠OBF＝∠OCF＝30°，


∴∠FOC＝60°－30°＝30°，


∴OF＝CF.


又∵Rt△BOF中，BO＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(3)，


∴OF＝1，∴CF＝1.


10．D


【解析】∵PE⊥BC，PF⊥CD，


∴∠PEC＝∠PFC＝90°.


又∵∠C＝90°，


∴四边形PECF是矩形，∴EC＝PF.


∵四边形ABCD是正方形，∴∠PDF＝45°，


∴△PDF是等腰直角三角形，


∴PD＝eq \r(2)PF＝eq \r(2)EC，①正确；


∵△BPE是等腰直角三角形，∴PE＝BE，


∴PE＋PF＝BE＋EC＝BC＝4，


四边形PECF的周长为2(PE＋PF)＝8，②正确；


∵P点在BD上运动，


∴△APD不一定是等腰三角形，③错误；


矩形PECF中，EF＝CP，


∴当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小，


此时△BPC是等腰直角三角形，


斜边为BC＝4，则CP＝eq \f(\r(2),2)BC＝2eq \r(2)，


∴EF的最小值为2eq \r(2)，④正确．











二、


11．2eq \r(3)


【解析】∵菱形ABEO的边长为2，∴AB＝AO＝2.


∵O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，


∴∠ABC＝90°，AC＝2AO＝4，


∴BC＝eq \r(AC2－AB2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).


12．75.


13．60.


【解析】∵四边形ABCD是正方形，


∴DC＝BC，∠DCF＝∠BCF＝45°.


又∵CF＝CF，


∴△DCF≌△BCF(SAS)，∴∠CDF＝∠CBF.


∵△ABE是等边三角形，


∴AE＝AB，∠BAE＝60°.


又∵AB＝AD，∴AD＝AE，


且∠DAE＝90°＋60°＝150°，


∴∠ADE＝(180°－150°)÷2＝15°.


∴∠CDF＝90°－15°＝75°＝∠CBF，


∴∠BFC＝180°－∠FCB－∠CBF＝180°－45°－75°＝60°.


14．8


【解析】∵四边形ACDF是正方形，∴AC＝AF，∠CAF＝90°.又∵∠CEA是直角，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，∠CAE＋∠ACE＝90°，∴∠EAC＝∠BFA.[来源:]


在△ACE和△FAB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AEC＝∠ABF，,∠EAC＝∠BFA，,AC＝AF，))


∴△ACE≌△FAB(AAS)，∴CE＝AB＝4，


∴S阴影＝eq \f(1,2)AB·CE＝eq \f(1,2)×4×4＝8.


15．eq \f(23,3)或6


【解析】①当P在AD上运动时，


△BPE的面积小于5；


②当P在DC上时，如答图1.


∵△BPE的面积等于5，


∴S矩形ABCD－S△ABE－S△DEP－S△BCP＝5，


∴3×4－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×2×(x－4)－eq \f(1,2)×4×(7－x)＝5，x＝6；


答图1 答图2





③当P在BC上时，如答图2.


∵△BPE的面积等于5，


∴S矩形ABCD－S△ABE－S梯形DEPC＝5，


∴3×4－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×3×(x－7＋2)＝5，x＝eq \f(23,3).


综上当x＝eq \f(23,3)s或6s时，以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5 cm2.


三、


16．


证明：∵BF∥CE，CF∥BE，


∴四边形BECF是平行四边形．


又∵在矩形ABCD中，


BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，


∴∠EBC＝∠ECB＝45°，


∴∠BEC＝90°，BE＝CE，


∴四边形BECF是正方形．


17．


证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB＝CD，AB∥CD，


∵AE＝AB，∴AE＝CD，且AB∥CD，


∴四边形ACDE是平行四边形．


(2)∵四边形ABCD是平行四边形，


∴∠B＝∠ADC.


∵∠EOD＝2∠B，∴∠EOD＝2∠ADC，


且∠EOD＝∠ADC＋∠OCD，


∴∠ADC＝∠OCD，∴OC＝OD.


∵四边形ACDE是平行四边形，


∴AO＝DO，EO＝CO，且OC＝OD，∴AD＝CE，


∴四边形ACDE是矩形．


18．


证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，


∴四边形ABCF是平行四边形．


∵∠B＝90°，


∴四边形ABCF是矩形．


(2)由(1)可得，∠AFC＝90°，


∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.


∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.


∴∠DAF＝∠CGF.


∵∠EGA＝∠CGF，∴∠EAG＝∠EGA，


∴EA＝EG.


19．





(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.


∵∠BAC＝∠DAC，


∴∠BAC＝∠BCA，


∴AB＝BC.


(2)解：连结BD，交AC于点O，如答图所示．


∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，


∴四边形ABCD是菱形，


∴AC⊥BD，OA＝OC＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(3)，


OB＝OD＝eq \f(1,2)BD，


∴OB＝eq \r(AB2－OA2)＝eq \r(22－（\r(3)）2)＝1，


∴BD＝2OB＝2，


∴菱形ABCD的面积为eq \f(1,2)AC×BD＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2＝2eq \r(3).


20．


(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AO＝OC.


∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即 BD⊥AC，


∴四边形ABCD是菱形．


(2)解：∵△ACE是等边三角形，


∴∠EAC＝60°.


由(1)知，EO⊥AC，AO＝OC，


∴∠AEO＝∠CEO＝30°，△AOE是直角三角形，


∴∠EAO＝60°.


∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，


∴∠DAO＝∠EAO－∠EAD＝45°.


∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，


∴菱形ABCD是正方形，


∴四边形ABCD的面积S＝AB2＝(2eq \r(5))2＝20.


21．


(1)证明：∵AF∥BC，


∴∠EAF＝∠EDB.


∵E是AD的中点，


∴AE＝DE.


在△AEF和△DEB中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EAF＝∠EDB，,AE＝DE，,∠AEF＝∠DEB，))


∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF＝BD.


∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，


∴AD＝BD＝DC＝eq \f(1,2)BC，∴AD＝AF.


(2)解：四边形ADCF是正方形．证明如下：


∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，


∴四边形ADCF是平行四边形．


∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.


又∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．














22．


解：(1)∵A(－3，4)，


∴AH＝3，OH＝4，


由勾股定理得AO＝eq \r(AH2＋OH2)＝5.


(2)∵四边形OABC是菱形，


∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，


∴B(2，4)、C(5，0)．


设直线AC的解析式是y＝kx＋b(k≠0)，


把A(－3，4)、C(5，0)代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝－3k＋b，,0＝5k＋b，))


解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝\f(5,2)，))


∴直线AC的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)，


当x＝0时，y＝2.5，


∴M(0，2.5)．











(3)①如答图，过点M作MN⊥BC于点N.


,答图)


∵四边形OABC是菱形，


∴∠BCA＝∠OCA.


∵MO⊥CO，MN⊥BC，


∴OM＝MN.


当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH＝4－2.5＝eq \f(3,2)，


S＝eq \f(1,2)×BP×MH＝eq \f(1,2)×(5－2t)×eq \f(3,2)＝－eq \f(3,2)t＋eq \f(15,4)；


当t＝2.5时，P与B重合，△PMB不存在；


当2.5＜t≤5时，P在BC上，S＝eq \f(1,2)×PB×MN＝eq \f(1,2)×(2t－5)×eq \f(5,2)＝eq \f(5,2)t－eq \f(25,4).


综上所述，S与t的函数关系式是


S＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)t＋\f(15,4)（0≤t＜2.5），,\f(5,2)t－\f(25,4)（2.5＜t≤5）.))


②当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是eq \f(1,2)×5×eq \f(3,2)＝eq \f(15,4)；


同理在BC上时，P与C重合时，S最大是eq \f(1,2)×5×eq \f(5,2)＝eq \f(25,4)，


综上所述，S的最大值是eq \f(25,4).











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