华师大版九年级下册26.1 二次函数精品教案

这是一份华师大版九年级下册26.1 二次函数精品教案，共8页。教案主要包含了必记概念，必记性质和规律，考点典型例题，部分中考试题，中考试题预测等内容，欢迎下载使用。

一、必记概念：


1、二次函数：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数。


2、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。


3、抛物线的顶点式：（）；交点式：（、是抛物线与轴的交点坐标的横坐标）。


二、必记性质和规律：


4、二次函数（）的性质：（1）当时，图象开口向上，顶点是最低点，在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大，当时，有最小值；（2）当时，图象开口向下，顶点是最高点，在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小，当时，有最大值.


三、考点典型例题：


考点1：二次函数的定义：（一般考点）


1、已知函数是二次函数，求的值.


2、下列函数是二次函数的是（ ）


. . . .


归纳：（1）定义：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中、、分别为二次项系数、一次项系数、常数项。注意：，当、可以为.故、、都是二次函数；（2）图象：二次函数的图象形如抛掷物体时所经过的路线，因此称为抛物线，它是一个轴对称图形，对称轴与抛物线的交点就是抛物线的顶点，抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点纵坐标是二次函数的最大值或最小值，对称轴可以用直线表示，是顶点横坐标。


考点2：二次函数的图象与性质：（重点考点）


1、试比较与的开口大小.


规律小结：（1）的正负决定开口方向：，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.决定开口大小，因为越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大.（2）性质：①抛物线的顶点是原点（，），对称轴为轴.②当时，在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大，当时，有最小值等于.③当时，在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小，当时，有最大值等于.（3）研究二次函数的性质要结合函数图象。


考点3：二次函数图形的平移：（一般考点）


1、将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位得抛物线，则，.


归纳：（1）设，，将抛物线向右平移个单位得，向左平移个单位得，向上平移个单位得，向下平移个单位得.（2）抛物线关于轴对称的抛物线为；关于轴对称的抛物线为；关于原点对称的抛物线为.


考点4：二次函数的性质：（重点考点）


A


图 1


x


y


B


OA


C


1、如图1，抛物线与轴交于、两点，且，则的值为（ ）


、 、


、或 、


规律小结：二次函数的图象是一条抛物线，其顶点坐标为（，），其对称轴为直线，当时，取得最值为.


考点5：求二次函数的解析式：（重点考点）


1、如图1，函数抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，，求该抛物线的解析式。


归纳小结：


1、二次函数的解析式：（1）一般式：（、、是常数，）；（2）顶点式：（）；（3）交点式：（、是抛物线与轴的交点坐标的横坐标）。


2、抛物线解析式的求法：（1）已知抛物线上的三点，可用一般式列三元一次方程组求解；（2）若已知抛物线的顶点或对称轴、最大（小）值，可设顶点式；（3）若已知抛物线与轴的两个交点，可设交点式或一般式。


3、求二次函数解析式应根据所给条件，灵活地选择函数关系式，应用待定系数法求出未知系数。


考点6：抛物线与、、、的关系：（拓展考点）


1、二次函数的图象如图2所示，则下列结论正确的是（ ）


、，， 、，，


、，， 、，，


2、二次函数的图象如图3所示，则点（，）在（ ）


、第一象限 、第二象限 、第三象限 、第四象限


图 2


x


y


OA


图 3


x


y


OA

















归纳：


考点7：二次函数与一次函数、反比例函数：（学科内综合考点）


1、在同一坐标系中，函数与（）的图象可能是下图中的（ ）


D


A


B


C


x


y


OA


x


y


OA


x


y


OA


x


y


OA














归纳：二次函数的图象与一次函数、反比例函数及其他知识的结合，运用二次函数性质进行说明。


考点8：二次函数的实际中的应用：（实际应用考点）


1、如图4，要在底边，高的铁皮余料上截取一个矩形，使点在上，点在上，点、在上，交于点，.


（1）设矩形的长，宽，确定与的函数关系式；


（2）当为何值时，矩形的面积最大？


（3）以面积最大的矩形为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由（注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备）。


E


F


图 4


M


G


HA


D


A


B


C














归纳：


1、二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值问题；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值问题。


2、解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等。


考点9：利用二次函数图象求一元二次方程和一元二次不等式的近似值：（创新考点）


1、画出函数的图象，根据图象回答下列问题：


（1）图象与轴交点的坐标是什么：


（2）不等式，的解集是什么？


归纳：


1、二次函数与一元二次方程的关系：


（1）一元二次方程就是使二次函数的值为.


（2）二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、只有一个交点、没有交点，当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根。


（3）当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根。


2、二次函数与一元二次不等式的关系：对于


（1）当取何值时，，即求方程的解；


（2）当取何值时，，即求不等式的解集；


（3）当取何值时，，即求不等式的解集.


3、设抛物线（）与轴交于（，）、（，）两点（），则不等式的解集为或，不等式的解集为.


4、运用图象法求一元二次方程与一元二次不等式的近似解，应准确画出函数图象，结合图象进行分析、总结。


四、部分中考试题：


题型一：选择题


-1


5


x


y


图 5


-2


1、（2018年陕西）二次函数的图象与轴两个交点坐标分别是（ ）


、（，）、（，） 、（，）、（，）


、（，）、（，） 、（，）、（，）


2、（2018年武汉）二次函数（）的图象如图5所示，则下列结论：①、同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，的值只能取.其中正确的个数是（ ）


、个 、个 、个 、个


y


O


OA


OA


x


OA


A


C


x


y


B


x


y


D


x


y


3、（2018年武汉）二次函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）











题型二：填空题


1、（2018年乐山）若二次函数的图象满足下列条件：①当时，随的增大而增大；②当时，随的增大而减小.这样的二次函数解析式可以是 .


1


1


A


B


O


x


y


图 6


O


x


y


图 7


2、（2018年宁夏）如图6，抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是（，），则的坐标是 .

















3、（2018年丽水）已知二次函数的图象经过点（，），则.


4、（2018年贵阳）已知二次函数（）的顶点坐标为（，），及部分图象（如图7），由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和.


5、（2018年常州）已知抛物线的对称轴为直线，满足的的取值范围是 ，将抛物线向 平移 个单位，则得到抛物线.


题型三：解答题


1、（2018年山西）已知抛物线与轴的交点为、（在后面），与轴的交点为.


（1）写出时与抛物线有关的三个正确结论；


（2）当点在原点的右边，点在原点的下方时，是否存在为等腰三角形的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；


（3）请你提出一个对任意的值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分略有差异）。


2、（2018年济南）如图8，正方形是边长为，点是边上不与点、重合的任意一点，连结，过点作交于点，设的长度为，的长为.


（1）求点在上运动的过程中的最大值；


（2）当时，求的值。


A


P


C


BA


D


图 8


Q


3、(2018年山西)矩形在平面直角坐标系中的位置如图9所示，、两点的坐标分别为（，），（，），直线与边相交于点.


（1）求点的坐标；


（2）若抛物线经过、两点，试确定此抛物线的表达式；


（3）为轴上方（2）中抛物线上一点，求面积最大值；


（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线交于点.点为对称轴上一动点，以、、为顶点的三角形与相似，求符合条件的点坐标。


D


图 9


O


A


B


C


x


y


图 10


O


A


B


C


x


y


D











4、(2018年北京)已知抛物线.


（1）求证此抛物线与轴有两个不同的交点；


（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；


（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为.若为坐标轴上的一点，且，求点的坐标。


5、(2018年齐齐哈尔)如图10，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，线段、的长（）是方程的两个根，点是线段的中点，点在线段上，.


（1）求点的坐标；


（2）求直线的解析式；


（3）是直线上的一点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由。


五、中考试题预测：


1、求抛物线关于轴对称的抛物线解析式。


2、将抛物线绕顶点旋转后，求所得抛物线的解析式。


3、已知抛物线的顶点在轴上，求的值.


4、已知抛物线的顶点在轴上，求的值。


5、二次函数，当满足什么条件时，随的增大而减小。


6、根据下列条件，求二次函数的解析式：


（1）经过（，），（，），（，）；


（2）顶点为（，），且经过（，）；


（3）与轴有两个交点，横坐标为，，且经过（，）.


7、如果二次函数的图象过点（，）.


（1）求这个二次函数的解析式，并写出该函数图象的对称轴；


（2）图象的对称轴是轴的二次函数有无数个，试写出两个不同的二次函数解析式，使这两个函数图象的对称轴都是轴。


8、二次函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）


y


O


OA


OA


x


OA


A


C


x


y


B


x


y


D


x


y











9、如图11，已知正方形的边长为，、、、分别是各边上的点，且


E


F


D


HA


图 11


G


A


B


C


-1


x


y


OA


A


1


x


y


OA


B


1


1


x


y


OA


C


1


x


y


OA


D


1


，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（ ）














10、已知抛物线的部分图象如图12所示，若，则的取值范围是（ ）


、 、 、或 、或


-1


1


x


y


图 12


O


-3


-1


1


x


y


图 13


O

















11、已知二次函数（）的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是（ ）


、①③ 、②③ 、①④ 、②③④


12、二次函数的图象如图14所示，根据图象可知得、、与零的大小关系是（ ）


、，， 、，，


、，， 、，，


x


y


O


图 14


O


A


B


C


x


y


图 15


C


A


BA


D


O


x


y


图 16


E




















13、某农场为防风治水在一山坡上种植一片树苗，并安装了自动喷灌设备.一瞬间，喷水头喷出的水流呈抛物线.如图15所示，建立直角坐标系，已知喷水头高出地面米，喷水管与山坡所成的夹角约为，水流最高点的坐标为（，）.


（1）求此水流抛物线的解析式；


（2）求山坡所在的直线的解析式（解析式中的系数精确到）；


（3）计算水喷出后落在山坡桑的最远距离（精确到米）。


14、如图16，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，顶点到坐标原点的距离为.


（1）求此抛物线的解析式；


（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车能否通过隧道？通过计算说明你的结论。


、、的代数式
作用
说明
1.的正负决定抛物线的开口方向和增减性；


2.决定抛物线开口大小.
开口向上
开口向下
确定抛物线与轴交点的位置，交点坐标（，）
交点在上方
交点在原点
交点在下方
决定对称轴位置，对称轴为直线
、同号
对称轴在轴左侧
对称轴在轴
、异号
对称轴在轴右侧
决定抛物线与轴的交点个数
抛物线与轴相交，2个交点
抛物线与轴相切，1个交点
抛物线与轴相离，无交点
（，）
决定顶点位置
顶点纵坐标就是二次函数的最值.
（，0）（，0）
抛物线与轴交点坐标



，


所以
抛物线与轴两交点间的距