北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试单元测试练习题

这是一份北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试单元测试练习题，共18页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分100分；时间：90分钟）


一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）


1. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（ ）


A.sinA=abB.csB=acC.tanB=bcD.tanC=cb





2. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinA=34，AB=5，则边AC的长是（ ）


A.3B.574C.154D.4





3. 如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60∘，则铁塔AB的高为（ ）





A.3米B.63米C.33米D.23米





4. 已知在Rt△ABC中，∠C=90∘,tanA=2，则csA 的值是( )


A.12B.33C.255D.55





5. 若A为锐角，且sinA=45，则tanA的值为（ ）


A.34B.43C.35D.53





6. 如图，小明为测量学校旗杆的高度AB，在操场上选了一点P，测得点P到旗杆底端B的水平距离为10米，∠APB=α度，则旗杆的高度为（ ）


A.10tanα米B.10sinα米C.10csα米D.10tanα米





7. 如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1:2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）





A.5mB.25mC.45mD.103m





8. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，csB=12，则sinA的值为（ ）


A.12B.22C.32D.3





9. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37∘方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（ ）


A.40海里B.40tan37∘海里C.40cs37∘海里D.40sin37∘海里





10. 如图，某数学活动小组在吉林广播电视塔周边做数学测算活动、在C处测得最高点A的仰角为α，在D处测得最高点A的仰角为β，点C，B，D在同一条水平直线上，且吉林广播电视塔的高度AB为h(m)，则CD之间的距离为（ ）





A.h⋅(tanα+tanβ)mB.htanα+tanβm


C.htanα⋅tanβmD.h⋅(tanα+tanβ)tanα⋅tanβm





二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）


11. Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=5，tanA=512，则AC=________．





12. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，点D是AB的中点，如果BC＝3，CD＝2，那么cs∠DCB＝________．





13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AM是BC边上的中线，cs∠CAM=45，则tan∠B的值为________．





14. 如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1.5m，太阳光线与底面的夹角∠ACD=60∘，则AB的长为________m．


15. 如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37∘角，则木杆折断之前高度约为________m.（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）





16. 如图，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD=________．


17. 如图，一束光线照在坡度为1:3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．





18. 小明从A处出发，要到北偏东60∘方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B处，再沿北偏东30∘方向走恰能到达目的地C处．则B、C两地的距离为________





19. 一艘船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的北偏东60∘，距离为60海里的A处；上午9时到达C处，看到灯塔在它的正北方向．则这艘船航行的速度为________海里/时．


20. 如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度，已知在离地面1500米高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60∘和45∘，则隧道AB的长为________米（结果保留根号）．


三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，共计60分 ， ）


21. 计算下列各题．


（1）sin230∘+cs245∘+2sin60∘⋅tan45∘；








（2）cs230∘+cs260∘tan60∘⋅ct30∘+tan60∘；











（3）tan2∘tan4∘⋅tan6∘∘．











22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=221，sin∠A=25，求BC的长和tan∠B的值．




















23. 峨眉河是峨眉的一个风景点．如图，河的两岸PQ平行于MN，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，小华在河岸MN的A处测得∠DAN=21∘，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN=45∘，求这条河的宽度（参考数据：sin21∘≈925，tan21∘≈38）．














24. 如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60∘和30∘．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30∘，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．





25. 某学校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动，如图，她在山坡脚A处测得这座楼房顶B点的仰角为60∘，沿山坡向上走到C处再测得B点的仰角为45∘，已知OA=200m，山坡的坡度i=13，且O、A、D在同一条直线上．求：


（1）楼房OB的高度；


（2）小红在山坡上走过的距离AC（结果保留根号）





参考答案


一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）


1.


【答案】


B


【解答】


在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，


则sinA=ac，A错误；


csB=ac，B正确；


tanB=ba，C错误；


tanC不存在，D错误；


2.


【答案】


B


【解答】


解：∵ sinA=BCAB=34，


∴ 设BC=3x，AB=4x，


∴ AC=AB2-BC2=7x，


∵ 4x=5，


∴ x=54，


∴ AC=574．


故选B．


3.


【答案】


B


【解答】


设直线AB与CD的交点为点O．


∴ BOAB=DOCD．


∴ AB=BO×CDDO．


∵ ∠ACD＝60∘．


∴ ∠BDO＝60∘．


在Rt△BDO中，tan60∘=BODO．


∵ CD＝6．


∴ AB=BODO×CD=63．


4.


【答案】


D


【解答】


解：在Rt△ABC中，tanA=BCAC=2，





设BC=2x，AC=x，由勾股定理得：AB=5x，


csA=ACAB=x5x=55.


故选D.


5.


【答案】


B


【解答】


解：∵ sinA=45，且sin2A+cs2A=1，


∴ csA=35．


∴ tanA=sinAcsA=4535=43．


故选B．


6.


【答案】


D


【解答】


解：∵ PB=10米，∠APB=α度，


∴ 在Rt△ABP中，AB=10tanα米．


答：旗杆AB的高度为10tanα米．


故选D．


7.


【答案】


B


【解答】


∵ AB＝10米，tanA=BCAC=12．


∴ 设BC＝x，AC＝2x，


由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即100＝x2+4x2，解得x＝25，


∴ AC＝45，BC＝25米．


8.


【答案】


A


【解答】


在Rt△ABC中，∠C＝90∘，csB=12，


则sinA＝csB=12，


9.


【答案】


D


【解答】


解：∵ 一艘海轮位于灯塔P的南偏东37∘方向，


∴ ∠BAP=37∘，


∵ AP=40海里，


∴ BP=AP⋅sin37∘=40sin37∘海里；


故选D．


10.


【答案】


D


【解答】


在直角△ABC中，BC=ABtanα=htanα，


在直角△ABC中，BD=ABtanβ=htanβ，


则CD＝BD+BC=htanα+htanβ=h⋅(tanα+tanβ)tanα⋅tanβm


即CD之间的距离为h⋅(tanα+tanβ)tanα⋅tanβm，


二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）


11.


【答案】


12


【解答】


解：∵ ∠C=90∘，


∴ tanA=BCAC，


∵ BC=5，tanA=512，


∴ 5AC=512，


解得：AC=12．


故答案为12．


12.


【答案】


34


【解答】


如图，


∵ ∠BCA＝90∘，BC＝3，CD＝2，


∴ BD＝AD＝4，


∵ BD＝CD，


∴ ∠DCB＝∠DBC，


∴ cs∠DCB＝cs∠DBC=BCAB=34．


13.


【答案】


23


【解答】


解：在Rt△ACM中，cs∠CAM=ACAM=45，


设AC=4x，则AM=5x，


则CM=AM2-AC2=3x，


而AM是BC边上的中线，


所以BC=2CM=6x，


在Rt△ABC中，tan∠B=ACBC=4x6x=23．


故答案为23．


14.


【答案】


332


【解答】


解：作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．


∵ CD=1.5m，∠ACD=60∘，


∴ DE=BF=334．


在Rt△AFB中∠A=30∘，BF=12AB，


∴ AB=2BF=332m．


故答案是：332．


15.


【答案】


8


【解答】


解：如图：





AC=3m，∠B=37∘，


∴ AB= AC sin37∘≈30.6=5(m)，


∴ 木杆折断之前高度=AC+AB=3+5=8(m)．


故答案为：8．


16.


【答案】


asinαcsα


【解答】


解：∵ ∠BAC=90∘，BC=a，∠B=α，


∴ sinα=ACBC，


∴ AC=asinα，


∵ AD⊥BC，∴ ∠BAD+∠B=90∘，


∴ ∠CAD=∠B，


∴ cs∠CAD=ADAC，


∴ AD=ACcsα=asinαcsα，


故答案为asinαcsα．


17.


【答案】


30


【解答】


解：坡度=1:3=33，所以坡角为30∘．


平面镜反射成与地面平行的光线，所以∠α=30∘．


故答案为：30．


18.


【答案】


200米


【解答】


根据图形可得：∠ABC=90∘+30∘=120∘，∠BAC=90∘-60∘=30∘，


则∠ACB=180∘-∠ABC-∠BAC=180∘-120∘-30∘=30∘，


即∠ACB=∠BAC，


则BC=AB=200米．


19.


【答案】


303


【解答】


解：易得∠ABC=30∘，AB=60．


∴ BC=AB×cs∠ABC=303（海里）．


∴ 这艘船航行的速度为303÷(9-8)=303（海里/时）．


20.


【答案】


(1500-5003)


【解答】


解：由题意得∠CAO=60∘，∠CBO=45∘，


∵ OA=1500×tan30∘=1500×33=5003，OB=OC=1500，


∴ AB=1500-5003(m)．


答：隧道AB的长约为(1500-5003)m．


故答案为：(1500-5003)．


三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）


21.


【答案】


解：(1)原式=(12)2+(22)2+2×32×1，


=14+12+62，


=34+62.


(2)原式=(32)2+(12)23×3+3，


=13+3.


(3)原式=tan2∘⋅tan4∘⋅tan6∘⋅ct6∘⋅ct4∘⋅ct2∘，


=(tan2∘⋅ct2∘)(tan4∘⋅ct4∘)⋅(tan6∘⋅ct6∘)，


=1.


【解答】


解：(1)原式=(12)2+(22)2+2×32×1，


=14+12+62，


=34+62.


(2)原式=(32)2+(12)23×3+3，


=13+3.


(3)原式=tan2∘⋅tan4∘⋅tan6∘⋅ct6∘⋅ct4∘⋅ct2∘，


=(tan2∘⋅ct2∘)(tan4∘⋅ct4∘)⋅(tan6∘⋅ct6∘)，


=1.


22.


【答案】


解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=221，sin∠A=25，sinA=BCAB，


∴ 设BC=2a，则AB=5a，


∴ (2a)2+(221)2=(5a)2，


解得，a=2或a=-2（舍去），


∴ BC=2a=4，


∴ tan∠B=ACBC=2214=212.


【解答】


解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=221，sin∠A=25，sinA=BCAB，


∴ 设BC=2a，则AB=5a，


∴ (2a)2+(221)2=(5a)2，


解得，a=2或a=-2（舍去），


∴ BC=2a=4，


∴ tan∠B=ACBC=2214=212.


23.


【答案】


峨眉河的宽度约为75米．


【解答】


解：设河的宽度为d米，


过D作DF⊥MN于F，过C作CH⊥MN于G，


在Rt△ADF中，tan21∘=DFAF=dAF，


∴ AF=dtan21∘，


在Rt△BCG中，tan45∘=CGBG=dBG，即BG=d，


又∵ AB=200，tan21∘≈38，两树的间隔为50米，


∴ AF=AG-50=AB+BG-50，


∴ 83d=175+d-50，


解得：d=75．





24.


【答案】


解：∵ 飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60∘和30∘，


到B处时，往后测得山头C的俯角为30∘，


∴ ∠BAC=60∘，∠ABC=30∘，∠BAD=30∘，


∴ ∠ACB=180∘-∠ABC-∠BAC=180∘-30∘-60∘=90∘，即△ABC为直角三角形，


∵ AB=6千米，


∴ BC=AB⋅cs30∘=6×32=33千米．


Rt△ABD中，BD=AB⋅tan30∘=6×33=23千米，


作CE⊥BD于E点，


∵ AB⊥BD，∠ABC=30∘，∴ ∠CBE=60∘，


则BE=BC⋅cs60∘=323，DE=BD-BE=32，CE=BC⋅sin60∘=92，


∴ CD=DE2+CE2=(32)2+(92)2=21千米．


∴ 山头C、D之间的距离21千米．


【解答】


解：∵ 飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60∘和30∘，


到B处时，往后测得山头C的俯角为30∘，


∴ ∠BAC=60∘，∠ABC=30∘，∠BAD=30∘，


∴ ∠ACB=180∘-∠ABC-∠BAC=180∘-30∘-60∘=90∘，即△ABC为直角三角形，


∵ AB=6千米，


∴ BC=AB⋅cs30∘=6×32=33千米．


Rt△ABD中，BD=AB⋅tan30∘=6×33=23千米，


作CE⊥BD于E点，


∵ AB⊥BD，∠ABC=30∘，∴ ∠CBE=60∘，


则BE=BC⋅cs60∘=323，DE=BD-BE=32，CE=BC⋅sin60∘=92，


∴ CD=DE2+CE2=(32)2+(92)2=21千米．


∴ 山头C、D之间的距离21千米．


25.


【答案】


高楼OB的高度为2003m，小玲在山坡上走过的距离AC为200(25-15)m．


【解答】


解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO=60∘，OA=200m．


∵ tan60∘=OBOA，


即OBOA=3，


∴ OB=3OA=2003(m)．


（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．


则OE=CH，EC=OH．


根据题意，知i=CHAH=13，


可设CH=x，AH=3x．


在Rt△BEC中，∠BCE=45∘，


∴ BE=CE，


即OB-OE=OA+AH．


∴ 2003-x=200+3x．


解得x=200(2-3)．


在Rt△ACH中，


∵ AC2=AH2+CH2，


∴ AC2=(2x)2+x2=5x2．


∴ AC=5x=5×200(2-3)=200(25-15)(m)．


答：高楼OB的高度为2003m，小玲在山坡上走过的距离AC为200(25-15)m．