数学湘教版2.3 垂径定理背景图课件ppt

这是一份数学湘教版2.3 垂径定理背景图课件ppt，共19页。PPT课件主要包含了思考与探究，①圆是轴对称图形吗，②它的对称轴是什么，圆是轴对称图形，无数条，线段APBP，证一证，ADBD，ACBC，∴APBP等内容，欢迎下载使用。
③你能找到多少条对称轴？
其对称轴是直径所在的直线
④你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？
弧: AC=BC, AD=BD
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP，
从而∠AOD=∠BOD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵ CD是直径， CD⊥AB，
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
例1 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CD⊥AB于E， DE＝2cm，求☉O的直径CD的长.
解：连接OA，∵ CD⊥AB于E，
设OA=xcm，则OE=x-2,根据勾股定理，得
∴CD=2x=10(cm).
x2=(x-2)2+42，
例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
已知：如图，⊙O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD.
证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD. 则AM＝BM， CM＝DM AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
逆命题：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
举反例：若弦是直径时，如图，AB、CD都是圆的直径时，AB与CD是互相平分，但它们不垂直
要使逆命题：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 是真命题，需满足什么条件
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是真命题
∵ CD是直径，CD⊥AB，
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
③平分弦(弦不是直径）
垂径定理的推论①③ ②
解决求赵州桥主桥拱半径的问题
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求出赵州桥主桥拱的半径
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作OC⊥弦AB于D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.连结OA
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m， OD=OC-CD=R-7.23.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
例3 如图，在⊙O中，点C是AB的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2．求的⊙O半径．
解：连接AO，∵点C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，∴OC⊥AB，∵AB=12，∴AD=BD=6，设⊙O的半径为R，∵CD=2，∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO2=OD2+AD2，即：R2=（R-2）2+62，∴R=10即，⊙O的半径为10．
1.如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
2. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______．
3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
4、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
∴四边形ADOE为矩形，
∴ 四边形ADOE为正方形.
解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝ AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.
5、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB 上的一个动点，求OP的长度范围．
解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．
方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．
6、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB)，点O是这段弧的圆心，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是____m.
解：∵OC⊥AB，AB＝300m， 由垂径定理得， AD＝150m. 设半径为Rm， 根据勾股定理可列方程 R2＝(R－50)2＋1502， 解得R＝250. 故答案为250.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.