初中数学5.4 二次函数与一元二次方程优秀同步练习题

这是一份初中数学5.4 二次函数与一元二次方程优秀同步练习题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第4节 二次函数与一元二次方程





一、单选题（共8小题）


1.已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）


A．图象的开口向上


B．图象的顶点坐标是（1，3）


C．当x＜1时，y随x的增大而增大


D．图象与x轴有唯一交点


【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，


∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，


令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，


∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，


∴抛物线与x轴有两个交点．


故选：C．


【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质


2.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣3的图象，下列说法正确的是（ ）


A．开口向上B．对称轴是x＝﹣1


C．顶点坐标是（1，﹣3）D．与x轴只有一个交点


【解答】解：A．a＝﹣1，故抛物线开口向下，原答案错误，不符合题意；


B．函数的对称轴为：x＝1，原答案错误，不符合题意；


C．顶点坐标是（1，﹣3），正确，符合题意；


D．△＝b2﹣4ac＞0，故二次函数与x轴有两个交点，原答案错误，不符合题意；


故选：C．


【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质


3.在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（ ）


A．a＝bB．a＝b﹣1C．a＝b或a＝b+1D．a＝b或a＝b﹣1


【解答】解：∵函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，


∴（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，


∴a＝2；


∵函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，


∴当mn＝0时，该函数为y＝（m+n）x+1与x轴有一个交点，


∴b＝1；


当mn≠0时，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，


∴b＝2；


由上可得，a＝b+1或a＝b，


故选：C．


【知识点】抛物线与x轴的交点


4.已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（ ）





A．﹣1，0B．﹣1，1C．1，3D．﹣1，3


【解答】解：由图象可知，


该函数的对称轴是直线x＝1，与x的轴的一个交点是（3，0），


则该函数与x轴的另一个交点是（﹣1，0），


即当y＝0时，0＝﹣x2+2x+m时x1＝3，x2＝﹣1，


故关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝3，x2＝﹣1，


故选：D．


【知识点】抛物线与x轴的交点


5.若点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，则当y≥0时，x的取值范围是（ ）


A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1或x＞3C．﹣1≤x≤3D．x≤﹣1或x≥3


【解答】解：∵点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，


∴0＝﹣3（﹣1﹣1）2+c，得c＝12，


∴y＝﹣3（x﹣1）2+12，


当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，


∴当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3，


故选：C．


【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征


6.已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）





A．a＜0


B．ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝3


C．x＜1时，y随x的增大而减小


D．x＞﹣2时，y随x的增大而增大


【解答】解：∵抛物线开口向上，


∴a＞0，所以A选项错误；


∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），


∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），


∴ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝4，所以B选项错误；


∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1


∴当x＜1时，y随x的增大而减小，所以C选项正确；


当x＞1时，y随x的增大而增大，所以D选项错误．


故选：C．


【知识点】二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点


7.已知二次函数y＝x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（ ）


A．mB．mC．mD．m


【解答】解：b2﹣4ac＝1﹣4m＜0，


解得：m＞．


故选：D．


【知识点】抛物线与x轴的交点


8.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（﹣，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④＝﹣3；其中正确的有（ ）





A．4个B．3个C．2个D．1个


【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，


∴﹣＝1，


∴b＝﹣2a，


∵经过点（﹣1，0），


∴a﹣b+c＝0，


∴c＝﹣3a，


∴y＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣3），


由图象可知，a＜0；


①将点（﹣，y1）和（2，y2）分别代入抛物线解析式可得y1＝﹣a，y2＝﹣3a，


∴y1＜y2；


②由图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，


∴△＝b2﹣4ac＞0；


③由图象可知，当x＝1时，函数有最大值1，


∴对任意m，则有m（am+b）＜a+b；


②＝＝﹣3；


∴①②③④正确，


故选：A．


【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系


二、填空题（共5小题）


9.抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数为 个．


【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，


所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），


所以抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴只有一个交点．


故答案是：1．


【知识点】抛物线与x轴的交点


10.抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，2），（5，2）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤2的解集为 ．


【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，2），（5，2）两点，


∴大致图象如图所示：


∴y＝a（x﹣h﹣1）2+k（a＞0）经过（0，2），（6，2）两点


则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤2的解集为：0≤x≤6．


故答案为：0≤x≤6．





【知识点】二次函数与不等式（组）


11.已知抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是x＝1，若关于x的方程ax2+bx﹣7＝0的一个根是4，那么该方程的另一个根是 ﹣ ．


【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是x＝1，


即﹣＝1，


∴抛物线y＝ax2+bx﹣7的对称轴是x＝1，


∵关于x的方程ax2+bx﹣7＝0的一个根是4，


即抛物线y＝ax2+bx﹣7与x轴的一个交点坐标为（4，0），


∴抛物线y＝ax2+bx﹣7与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），


即关于x的方程ax2+bx﹣7＝0的另一个根为﹣2．


故答案为﹣2．


【知识点】根与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质


12.如图，已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将抛物线沿x轴向左（或向右）平移|b|个单位长度，使得平移后的抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形的面积为6，则|b|的值是 ﹣ ．





【解答】解：当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），


∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，


当抛物线沿x轴向左（或向右）平移|b|个单位长度时，抛物线与x轴的两交点的距离不变，为4，


当抛物线沿x轴向右平移|b|个单位长度时，抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣|b|）2﹣4，


令x＝0时，y＝（x﹣1﹣|b|）2﹣4＝（1+|b|）2﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，（1+|b|）2﹣4）


若（1+|b|）2﹣4＞0，则×4×[（1+|b|）2﹣4]＝6，解得|b|＝﹣1；


若（1+|b|）2﹣4＜0，则×4×[4﹣（1+|b|）2]＝6，解得|b|＝0；


当抛物线沿x轴向左平移|b|个单位长度时，抛物线解析式为y＝（x﹣1+|b|）2﹣4，


令y＝0时，y＝（x﹣1+|b|）2﹣4＝（|b|﹣1）2﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，（|b|﹣1）2﹣4）


若（|b|﹣1）2﹣4＞0，则×4×[（|b|﹣1）2﹣4]＝6，解得|b|＝+1；


若（|b|﹣1）2﹣4＜0，则×4×[4﹣（|b|﹣1）2]＝6，解得|b|＝2；


综上所述，|b|的值为0，2，﹣1，+1．


故答案为0，2，﹣1，+1．


【知识点】二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点


13.如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．


①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点时（﹣4，0）；


④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a﹣b+c＜4m+n；


⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．


上述六个结论中，其中正确的结论是 ．（填写序号即可）





【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，


∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；


∵抛物线开口向上，


∴a＞0，


∴b＝﹣2a＜0，


∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，


∴c＜0，


∴abc＞0，所以②正确；


∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），


∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误；


∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），


∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，


∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；


∵x＝﹣1时，y1＜0，即a﹣b+c＜0，


而x＝4时，y2＝0，即4m+n＝0，


∴a﹣b+c＜4m+n；所以⑤正确；


∵当1＜x＜4时，y2＞y1，


∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．所以⑥正确．


故答案为①⑤⑥．





【知识点】二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、根的判别式








三、解答题（共6小题）


14.已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+6．


（1）用配方法求出函数的顶点坐标；


（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．


【解答】解：（1）y＝﹣2（x+1）2+8，


∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，8）；


（2）当y＝0时，﹣2（x+1）2+8＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0），


所以将抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，


平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）．


【知识点】二次函数的三种形式、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征


15.已知二次函数y＝x2+2（m﹣1）x﹣2m（m为常数）．


（1）求证无论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；


（2）若点A（x1，﹣1）、B（x2，﹣1）在该函数图象上，将图象沿直线AB翻折，顶点恰好落在x轴上，求m的值．


【解答】解：（1）证明：当y＝0时，


x2+2（m﹣1）x﹣2m＝0，


a＝1，b＝2（m﹣1），c＝﹣2m，


∴b2﹣4ac＝4m2+4，


∵m2≥0，


∴4m2+4＞0，


∴方程有两个不相等的实数根，


∴无论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点．





（2）∵y＝x2+2（m﹣1）x﹣2m，


∴y＝（x+m﹣1）2﹣m2﹣1．


∴顶点坐标为（1﹣m，﹣m2﹣1）．


∵沿AB折叠，顶点恰好落在x轴上，


∴m2＝1．


∴m＝±1．


【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征


16.已知二次函数y＝ax2+4ax+4a+3（a≠0）．


（1）求二次函数图象的顶点坐标；


（2）若a＝﹣，求二次函数图象与x轴的交点坐标．


【解答】解：（1）y＝ax2+4ax+4a+3（a≠0）


＝a（x2+4x+4）+3


＝a（x+2）2+3


答：二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，3）．


（2）若a＝﹣，则y＝﹣（x+2）2+3，图象开口向下，


当y＝0时，﹣（x+2）2+3＝0


解得x1＝1，x2＝﹣5，


答：二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（﹣5，0）．


【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点


17.已知：二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2


（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；


（2）若图象经过原点，求二次函数的解析式．


【解答】（1）证明：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0


∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点，


（2）解：把（0，0）代入y＝x2﹣mx+m﹣2得m﹣2＝0，解得m＝2，


所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x．


【知识点】二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点


18.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，顶点为D，交y轴于C．


（1）求该抛物线的解析式．


（2）在抛物线的对称轴上是否存在着一点M使得MA+MC的值最小，若存在求出M点的坐标．





【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3），


即y＝﹣x2﹣2x+3；


（2）存在．


∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，


∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，


当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则C（0，3），


连接BC交直线x＝﹣1于M，如图，


∵点A与点B关于直线x＝﹣1对称，


∴MA＝MB，


∴MA+MC＝MB+MC＝BC，


∴此时MA+MC的值最小，


易得直线BC的解析式为y＝x+3，


当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，


∴满足条件的M点的坐标为（﹣1，2）．





【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短路线问题


19.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，﹣3）．


（1）求该抛物线的解析式；


（2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集；


（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△PAB＝8，请求出此时P点的坐标．





【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：


，


解得：，


故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；





（2）当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，


则（x﹣3）（x+1）＝0，


解得：x1＝﹣1，x2＝3，


故B（3，0），


则不等式x2+bx+c＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3；





（3）设P的纵坐标为|yP|，


∵S△PAB＝8，


∴AB•|yP|＝8，


∵AB＝3+1＝4，


∴|yP|＝4，


∴yP＝±4，


当点P在x轴上方时，∴yP＝4，


把yP＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3，


解得，x＝1±2，


∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）．


当点P在x轴下方时，∴yP＝﹣4，


把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3，


解得，x＝1，


∴点P在该抛物线上滑动到（1，﹣4），


综上所述：P点坐标为：（1+2，4）或（1，﹣4）或（1﹣2，4）．


【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式