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中考总复习:特殊的四边形--巩固练习(提高)
展开一、选择题
1. 如图,E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR的值是( ). A. B. C. D.
2.如图,在梯形ABCD中, AB∥CD, 中位线MN = 7,对角线AC⊥BD,∠BDC = 30°,则梯形的高为( ).A. B. C. D.
3. 四边形ABCD的对角线AC=BD,且AC⊥BD,分别过A、B、C、D作对角线的平行线,得到四边形EFGH,则它是( ).A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.任意四边形
4如图,矩形ABCD中,其长为a,宽为b,如果,则的值为( ).
A. B. C. D.
5.如图,在菱形ABCD中,,的垂直平分线FE交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF.则等于( ). A. B. C. D.
6.(2014•海南模拟)如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A、B重合),对角线AC、BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线,分别交AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N.下列结论:①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2;④△POF∽△BNF;
其中正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题
7. 如图,点E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH=AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为___________.
8. 如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O.下面结论正确的是_________.
①AC=BD;②∠DAO=∠DBC;③S△BOC=S梯形ABCD;④△AOB≌△DOC.
9.(2015春•伊春校级期末)如图,圆柱形玻璃杯,高为8cm,底面周长为12cm,在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是 .
10.(2012•湖州)如图,将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形,若=,则△ABC的边长是_________.
11.(2012•咸宁)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BE平分∠ABC且交CD于E,E为CD的中点,EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G,当AD=2,BC=12时,四边形BGEF的周长为_________.
12.如图,以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1,再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2,…,如此下去,得到四边形A2011B2011C2011D2011,若ABCD对角线长分别为a和b,请用含a、b的代数式表示四边形A2011B2011C2011D2011的周长_________________.
三、解答题
13.(2015·邯郸校级月考)已知,如图,正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD边AB,CD,DA上,AH=2,连接CF.
(1)当DG=2时,求△FCG的面积;
(2)设DG=,用含的代数式表示△FCG的面积;
(3)判断△FCG的面积能否等于1,并说明理由.
14.在图1到图3中,点O是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,∠MPN=90°.正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上,且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.
(1)如图1,当点P与点O重合时,OE与OF的数量关系为______;
(2)如图2,当P在线段OC上时,猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系?并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,OE与OF的数量关系为_______;位置关系为_________.
15.如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,顺次连接E、F、G、H.
(1)猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由;
(2)当点P在线段AB的上方时,如图2,在△APB的外部作△APC和△BPD,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)如果(2)中,∠APC=∠BPD=90°,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
16.如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),∠OBA=90°,BC∥OA,OB=8,点E从点B出发,以每秒1个单位长度沿BC向点C运动,点F从点O出发,以每秒2个单位长度沿OB向点B运动.现点E、F同时出发,当点F到达点B时,E、F两点同时停止运动.
(1)求梯形OABC的高BG的长;
(2)连接E、F并延长交OA于点D,当E点运动到几秒时,四边形ABED是等腰梯形;
(3)动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上?如果会,请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值;如果不会,请说明理由.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A.
2.【答案】B.
3.【答案】A.
4.【答案】A.
【解析】由题意,,.
5.【答案】D.
6.【答案】B.
【解析】在正方形ABCD中,∠PAE=∠MAE=45°,
在△APE和△AME中,,
∴△APE≌△AME(ASA),故①正确;
∴AP=AM,
∴△APM是等腰直角三角形,
∴PM=AP,
同理可得PN=PB,
∴PM+PN=AB,
又∵AC=AB,
∴PM+PN=AC,故②正确;
∵PM⊥AC,PN⊥BD,AC⊥BD,
∴四边形PEOF是矩形,
∴PF=OE,
在Rt△POE中,PE2+OE2=PO2,
∴PE2+PF2=PO2,故③正确;
∵矩形PEOF不一定是正方形,
∴△POF是不一定等腰直角三角形,
∵∠OBC=45°,BF⊥FN,
∴△BNF是等腰直角三角形,
∴△POF与△BNF相似不一定成立,故④错误;
综上所述,正确的结论有①②③共3个.故选B.
二.填空题
7.【答案】.
【解析】 把△APD旋转到△DCM,把△ABF旋转到△BCN, 则多边形PFBNMD的面积被分成10份,阴影部分占4份.
8.【答案】①②④.
9.【答案】10cm.
【解析】如图:将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,
连接A′C,则A′C即为最短距离,
由题意可得出:A′D=6cm,CD=8cm,
A′C==10(cm).
10.【答案】12.
【解析】设正△ABC的边长为x,则高为x,S△ABC=x•x=x2,
∵所分成的都是正三角形,∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x-,
较短的对角线为(x-)=x-1,
∴黑色菱形的面积=(x-)(x-1)=(x-2)2,
∴=,整理得,11x2-144x+144=0,
解得x1=(不符合题意,舍去),x2=12,所以,△ABC的边长是12.
11.【答案】28.
【解析】先根据EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形,再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC,由EF∥BC可知,∠EBC=∠FEB,故∠FBE=FEB,由此可判断出四边形BGEF是菱形,再根据E为CD的中点,AD=2,BC=12求出EF的长,进而可得出结论.
12.【答案】.
【解析】结合图形,脚码为奇数时,四边形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1是矩形,长为 ,宽为 ;
脚码为偶数时,四边形A2nB2nC2nD2n是菱形,边长为 ,
∴四边形A2010B2010C2010D2010是菱形,边长为 ,
周长为 ,即 .
∴四边形A2011B2011C2011D2011是矩形,长为,宽为,
∴四边形A2011B2011C2011D2011的周长为:2(+)=.故答案为:.
三.综合题
13.【解析】(1).
(2)作FM⊥DC,M为垂足,连结GE,
∵ AB∥CD,∴ ∠AEG=∠MGE,
∵ HE∥GF,∴ ∠HEG=∠FGE.
∴ ∠AEH=∠MGF.
在△AHE和△MFG中,∠A=∠M=90°,HE=FG,
∴ △AHE≌△MFG.
∴ FM=HA=2,
即无论菱形EFGH如何变化,点F的直线CD的距离始终为定值2.
因此
(3)若,由,得,此时在△DGH中,.
相应地,在△AHE中,,即点E已经不在边AB上.
故不可能有.
14.【解析】
(1)OE=OF(相等);
(2)OE=OF,OE⊥OF;
证明:连接BO,
∵在正方形ABCD中,O为AC中点,
∴BO=CO,BO⊥AC,∠BCA=∠ABO=45°,
∵PF⊥BC,∠BCO=45°,
∴∠FPC=45°,PF=FC.
∵正方形ABCD,∠ABC=90°,
∵PF⊥BC,PE⊥AB,
∴∠PEB=∠PFB=90°.
∴四边形PEBF是矩形,
∴BE=PF.
∴BE=FC.
∴△OBE≌△OCF,
∴OE=OF,∠BOE=∠COF,
∵∠COF+∠BOF=90°,
∴∠BOE+∠BOF=90°,
∴∠EOF=90°,
∴OE⊥OF.
(3)OE=OF(相等),OE⊥OF(垂直).
15.【解析】
(1)四边形EFGH是菱形.
(2)成立.理由:连接AD,BC.
∵∠APC=∠BPD,
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD.
即∠APD=∠CPB.
又∵PA=PC,PD=PB,
∴△APD≌△CPB(SAS)∴AD=CB.
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,
∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线.
∴EF=BC,FG=AD,GH=BC,EH=AD.
∴EF=FG=GH=EH.∴四边形EFGH是菱形.
(3)补全图形.
判断四边形EFGH是正方形.
理由:连接AD,BC.
∵(2)中已证△APD≌△CPB.
∴∠PAD=∠PCB.
∵∠APC=90°,
∴∠PAD+∠1=90°.
又∵∠1=∠2.
∴∠PCB+∠2=90°.
∴∠3=90°.
∵(2)中已证GH,EH分别是△BCD,△ACD的中位线,
∴GH∥BC,EH∥AD.
∴∠EHG=90°.
又∵(2)中已证四边形EFGH是菱形,
∴菱形EFGH是正方形.
16.【解析】(1)根据题意,AB==6,
∵2S△AOB=AB•OB=AO•BG,∴BG===4.8;
(2)设当E点运动到x秒时,四边形ABED是等腰梯形,则BE=x,OF=2x,
∵BC∥OA,
∴=,即=,解得OD=,
过E作EH⊥OA于H,
∵四边形ABED是等腰梯形,
∴DH=AG=,HG=BE=x,
∴DH=10--x-3.6=3.6,解得x=;
(3)会同时在某个反比例函数的图象上.
根据题意,OG=AO-AG=10-3.6=6.4,
∴点E(6.4-t,4.8),
∵OF=2t,
∴2tcs∠AOB=2t×=t,2tsin∠AOB=2t×=t,
∴点F的坐标为(t,t)
假设能在同一反比例函数图象上,则t×t=(6.4-t)×4.8,
整理得:2t2+5t-32=0,
△=25-4×2×(-32)=281>0,
∴方程有解,即E、F会同时在某一反比例函数图象上,此时,t=,
因此E、F会同时在某个反比例函数的图象上,t=.
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