2021年九年级中考数学一轮复习分层训练： 矩形、菱形、正方形

矩形、菱形、正方形

 【基础练习】

1．(2020·南通中考)下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是(　　)

A．AC＝BD    B．AB⊥BC

C.AD＝BD    D．AC⊥BD

2．(2020·绵阳中考)如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有(　　)

A.2条    B．4条    C．6条    D．8条

3．(2020·贵阳中考)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是(　　)

A.5    B．20    C．24    D．32

4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　)

A.2.2 cm    B．2.3 cm

C.2.4 cm    D．2.5 cm

5．(2020·襄阳中考)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是(　　)

A.OA＝OC，OB＝OD

B.当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形

C.当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形

D.当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

6．(2020·武威中考)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节A，E间的距离．若A，E间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则∠DAB的度数是(　　)

A.90°    B．100°

C.120°    D．150°

7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝48，则OH的长为(　　)

A.3    B．8    C．    D．6

8．如图，正方形ABCD中，点E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为(　　)

A.60°    B．67.5°    C．75°    D．54°

9．如图，在▱ABCD中，点M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(　　)

A.OM＝AC    B．MB＝MO

C.BD⊥AC    D．∠AMB＝∠CND

10．如图所示的长方形ABCD沿EF折叠至D1，C1位置，若∠CFC1＝130°，则∠AED1＝____°.

11．(2020·陕西中考)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为____．

12．(2020·连云港中考)如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为(3，9)，(12，9)，则顶点A的坐标为____．

13．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为____.

14．(2020·桂林中考)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．

(1)求证：△ABE≌△ADF；

(2)若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．

【能力提升】

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝，点E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是____.

16．(2019·百色适应性演练)边长为1的正方形ABCD中，点O，E分别是AC，AD的中点，点M是对角线AC(含端点)上一动点，过点M作MP⊥AB，垂足为点P，有如下4个结论：

①存在点M使得△APM≌△AEO；

②不论点M在何处，都有△APM∽△ADC；

③存在点M使得△APM的面积等于；

④线段MB的长的最小值是；

以上4个结论中，其中正确的是____(填序号).

17．如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，若∠BEF＝∠EBC，AB＝3AE，则下列结论：

①DF＝FC；

②AE＋DF＝EF；

③∠BFE＝∠BFC；

④∠ABE＋∠CBF＝45°；

⑤∠DEF＋∠CBF＝∠BFC；

⑥DF∶DE∶EF＝3∶4∶5.

其中结论正确的序号有____．

18．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.

(1)求证：BD＝CD；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果矩形AFBD是正方形，确定△ABC的形状并说明理由．

答案

矩形、菱形、正方形

 【基础练习】

1．(2020·南通中考)下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是(　D　)

A．AC＝BD    B．AB⊥BC

C.AD＝BD    D．AC⊥BD

2．(2020·绵阳中考)如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有(　B　)

A.2条    B．4条    C．6条    D．8条

3．(2020·贵阳中考)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是(　B　)

A.5    B．20    C．24    D．32

4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　D　)

A.2.2 cm    B．2.3 cm

C.2.4 cm    D．2.5 cm

5．(2020·襄阳中考)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是(　B　)

A.OA＝OC，OB＝OD

B.当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形

C.当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形

D.当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

6．(2020·武威中考)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节A，E间的距离．若A，E间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则∠DAB的度数是(　C　)

A.90°    B．100°

C.120°    D．150°

7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝48，则OH的长为(　A　)

A.3    B．8    C．    D．6

8．如图，正方形ABCD中，点E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为(　A　)

A.60°    B．67.5°    C．75°    D．54°

9．如图，在▱ABCD中，点M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(　A　)

A.OM＝AC    B．MB＝MO

C.BD⊥AC    D．∠AMB＝∠CND

10．如图所示的长方形ABCD沿EF折叠至D1，C1位置，若∠CFC1＝130°，则∠AED1＝__50__°.

11．(2020·陕西中考)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为__2__．

12．(2020·连云港中考)如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为(3，9)，(12，9)，则顶点A的坐标为__(15，3)__．

13．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为____.

14．(2020·桂林中考)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．

(1)求证：△ABE≌△ADF；

(2)若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．

(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.

∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AE＝AF.

又∵∠A＝∠A，

∴△ABE≌△ADF(SAS)；

(2)解：连接BD.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°.

∴△ABD是等边三角形．

∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD.

∴∠ABE＝30°.∴AE＝BE·tan ∠ABE＝×＝1，AB＝2AE＝2.∴AD＝AB＝2.

∴S菱形ABCD＝AD·BE＝2×＝2.

【能力提升】

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝，点E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是____.

16．(2019·百色适应性演练)边长为1的正方形ABCD中，点O，E分别是AC，AD的中点，点M是对角线AC(含端点)上一动点，过点M作MP⊥AB，垂足为点P，有如下4个结论：

①存在点M使得△APM≌△AEO；

②不论点M在何处，都有△APM∽△ADC；

③存在点M使得△APM的面积等于；

④线段MB的长的最小值是；

以上4个结论中，其中正确的是__①③④__(填序号).

17．如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，若∠BEF＝∠EBC，AB＝3AE，则下列结论：

①DF＝FC；

②AE＋DF＝EF；

③∠BFE＝∠BFC；

④∠ABE＋∠CBF＝45°；

⑤∠DEF＋∠CBF＝∠BFC；

⑥DF∶DE∶EF＝3∶4∶5.

其中结论正确的序号有__①②③④⑤⑥__．

18．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.

(1)求证：BD＝CD；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果矩形AFBD是正方形，确定△ABC的形状并说明理由．

(1)证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE.

∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.

∵∠AEF＝∠DEC，

∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF＝CD.

∵AF＝BD，

∴BD＝CD；

(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．

理由：∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.

∴四边形AFBD是矩形；

(3)△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°.

理由：∵矩形AFBD是正方形，∴AD＝BD.

∵∠ADB＝90°，∴AD⊥BC.

∵AB＝AC，∴AD＝BD＝CD＝BC.

∴∠BAC＝90°，即△ABC是等腰直角三角形．