精品解析：黑龙江省哈尔滨市松北区2020-2021学年七年级上学期期末数学试题（解析版）

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1. 下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元一次方程的定义即方程只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程来求解，即可求出答案．
【详解】A选项不是方程，故不符合题意；
B选项符合一元一次方程定义，故是一元一次方程；
C选项不是方程，故不符合题意；
D选项不是方程，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程，属于基础题型．
2. 下列各组图形可以通过平移互相得到是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题解析：观察图形可知图案C通过平移后可以得到．
故选C．
点睛：图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、B、D．
3. 下列各数，2，，3．14，，，，其中无理数共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】无限不循环小数称为无理数，根据无理数的定义判断即可．
【详解】，
∴无理数有：，，共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的知识，解题关键是掌握无理数的三种形式．
4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】所在的象限为第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．
5. 下列等式的变形正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等式的性质，两边都加或减同一个数或同一个整式，结果不变，可判断A，根据等式的性质，两边都乘或除以同一个不为零的数或同一个整式，结果不变，可判断B、C、D．
【详解】Ａ选项等式的左边加2，右边减2，故不符合题意；
B选项等式的左边乘以3，右边除以3，故不符合题意；
C选项等式的两边都乘以-1，故C正确；
D选项，当a=0时，0不能作除数，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟记并掌握等式两边都加或减同一个数或同一个整式，结果不变；等式两边都乘或除以同一个不为零的数或同一个整式，结果不变，是解题的关键．
6. 七年级学生人数为x，其中男生占52%，女生有150人，下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据总人数×女生所占百分比=女生人数列方程即可求解．
【详解】解：由题意列方程得．
故选：D
【点睛】本题考查了根据题意列方程，理解题意是解题关键．
7. 点在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
x轴上点的纵坐标是0，由此列得t+2=0，求出t代回即可得到点P的坐标．
【详解】∵点在直角坐标系的x轴上，
∴t+2=0，
解得t=-2，
∴点P的坐标为（1,0），
故选：D．
【点睛】此题考查坐标轴上点的坐标特点：x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标是0．
8. 一个长方形的周长为26cm，若这个长方形的长减少3cm，就可成为一个正方形，设这个长方形的长为，可列方程（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设这个长方形的长为，则正方形的边长为（x-3）cm，则长方形的宽是（13-x）cm，依据正方形的边长相等列得方程．
【详解】设这个长方形的长为，则正方形的边长为（x-3）cm，则长方形的宽是（13-x）cm，
则x-3=13-x
故选：A．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正方形的性质，正确理解题中长方形和正方形的边长关系是解题的关键．
9. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A. 30°B. 25°
C. 20°D. 15°
【答案】B
【解析】
根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
10. 甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第二个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是（ ）
A. 8天B. 7天C. 6天D. 5天
【答案】B
【解析】
【分析】
设甲计划完成此项工作的天数为x，根据甲先干一天后甲乙合作完成比甲单独完成提前3天，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲计划完成此项工作的天数为x，
根据题意得：，
解得：x=7，
所以，甲计划完成此项工作的天数是7天．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题
11. 的相反数是______________.
【答案】2-
【解析】
【分析】
根据相反数的定义解答即可．
【详解】的相反数是-（）=2- ；
故答案为2-.
【点睛】此题考查相反数的定义，解题关键在于掌握其定义.
12. 已知是方程的解，那么a的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
将代入方程计算即可．
【详解】将代入方程，得1+2a=-1，
解得a=-1，
故答案为：-1．
【点睛】此题考查一元一次方程的解求未知数，解一元一次方，正确理解方程的解是解题的关键．
13. 比较大小：2____4
【答案】＜
【解析】
【分析】
首先把括号外的数移到括号内，再比较被开方数的大小可得答案．
【详解】2=，4=，
∵28＜32，
∴＜，
∴2＜4．
故答案为＜．
【点睛】此题主要考查了实数的比较大小，根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
14. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式是__________________.
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
15. 当_________时，点在x轴上．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据在x轴上的点的纵坐标为0得到关于m的方程即可求解．
【详解】解：∵点在x轴上，
∴3m-12=0，
∴m=4．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中x轴上的点的坐标特点，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0．
16. 某商品进价为100元，按进价提高50%后标价，实际销售时给顾客打了八折，卖出这件商品的利润是_________．
【答案】20元
【解析】
【分析】
根据利润=售价-成本价，要先求售价，再求利润．
【详解】解：实际售价为：（1+50%）×100×80%=120（元），
利润为120-100=20元．
故答案为：20元．
【点睛】此题考查有理混合运算的应用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
17. 轮船沿江从 A 港顺流行驶到 B 港，比从 B 港返回 A 港少用 3 小时，若船速为 26 千米/小时，水速为 2 千米/时，则 A 港和 B 港相距_____千米．
【答案】
【解析】
【分析】
轮船航行问题中的基本关系为：（1）船的顺水速度=船的静水速度+水流速度；（2）船的逆水速度=船的静水速度一水流速度．若设A港和B港相距x千米，则从A港顺流行驶到B港所用时间为小时，从B港返回A港用小时，根据题意列方程求解．
【详解】解：设A港和B港相距x千米，
根据题意，得+3=，
解之得x=504．
故答案为：504．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，考验学生对顺水速度，逆水速度的理解，注意：船的顺水速度、逆水速度、静水速度、水流速度之间的关系．
18. 如图所示，点、B(-1，1)、，则的面积是_________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】
作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠ADB=∠AEC=，根据点、B(-1，1)、，得到BD=1，CE=2，OA=1，OD=1，OE=2，求得AD=2，AE=1，根据代入数值计算即可．
【详解】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠ADB=∠AEC=，
∵点、B(-1，1)、，
∴BD=1，CE=2，OA=1，OD=1，OE=2，
∴AD=2，AE=1，
∴
=
=2.5，
故答案为：2.5．
．
【点睛】此题考查直角坐标系中图形面积计算，点到坐标轴的距离，理解点到坐标轴的距离得到线段长度由此利用公式计算面积是解题的关键．
19. 已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值为_________．
【答案】或8
【解析】
【分析】
根据点P到两坐标轴的距离相等，得到，计算即可．
【详解】∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴2-a=6或2-a=-6，
解得a=-4或a=8，
故答案为：-4或8．
【点睛】此题考查点到坐标轴的距离：点到x轴距离是点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点横坐标的绝对值．
20. 如图，已知AB∥CD，∠l：∠2：∠3=1：2：3，则∠EBA度数为____________．
【答案】72°
【解析】
∵∠1:∠2:∠3=1:2:3，
∴设∠1=x°,∠2=2x°,∠3=3x°，∵AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，
∴2x+3x=180，∴x=36，即∠1=36°,∠2=72°,∠3=108°，
∴∠EBA=180°−∠1−∠2=180°−36°−72°=72°，故答案为72°.
三、解答题
21. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先进行开方运算，然后进行加减运算即可；
（2）先化简绝对值，然后合并即可．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
22. 按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 ；
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）△A1B1C1的面积为 ．
【答案】（1）（﹣4，2）；（2）见解析；（3）5.5．
【解析】
【分析】
（1）直接利用平面直角坐标系得出A点坐标；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用△A1B1C1所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】（1）如图所示：点A坐标为（﹣4，2）；
故答案为：（﹣4，2）；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（3）△A1B1C1的面积为：3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4=5.5．
故答案为：5.5．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形－平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
23. 解下列一元一次方程
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【详解】解：（1）
去括号，可得：8﹣4x﹣3x﹣3＝6，
移项，合并同类项，可得：7x＝﹣1，
系数化为1，可得：x＝；
（2）
去分母，可得：2（x+3）＝12﹣3（3﹣2x），
去括号，可得：2x+6＝12﹣9+6x，
移项，合并同类项，可得：4x＝3，
系数化为1，可得：x＝．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
24. 完成下面的证明：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接BE交DF于点G，求证：∠EGF+∠AEG＝180°．
证明：∵DE∥AB（已知），
∴∠A＝∠CED（ ）
又∵∠BFD＝∠CED（已知），
∴∠A＝∠BFD（ ）
∴DF∥AE（ ）
∴∠EGF+∠AEG＝180°（ ）
【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【解析】
【分析】
依据两直线平行, 同位角相等以及等量代换, 即可得到∠A=∠BFD, 再根据同位角相等, 两直线平行, 即可得出DF//AF, 进而得出∠EGF+∠AEG=180°.
【详解】证明：∵DE∥AB（已知），
∴∠A=∠CED（两直线平行，同位角相等）
又∵∠BFD=∠CED（已知），
∴∠A=∠BFD（等量代换）
∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）
∴∠EGF+∠AEG=180°（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质.
25. 某中学开学初到商场购买A．B两种品牌的额温枪，购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少花20元．
（1）如果购买一个A种品牌的额温枪a元，则购买一个B种品牌额温枪__________元（用含a的式了表示）．
（2）求购买一个A种品牌的额温枪和一个B种品牌的额温枪各需多少元；
（3）由于疫情比预计的时间要长，学校决定第二次购买A、B两种品牌额温枪共50个．正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌额温枪售价比第一次购买时提高了8%，B种品牌额温枪按第一次购买时售价的九折出售．如果学校第二次购买A、B两种品牌额温枪的总费用是第一次购买额温枪总费用的70%，求学校第二次购买A种品牌的额温枪多少个．
【答案】（1）；（2）50元，80元；（3）25个
【解析】
【分析】
（1）根据购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少花20元即可得到结果；
（2）设购买一个A种品牌的额温枪x元，根据等量关系：“购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，共花费4500元”，列出方程求解即可．
（3）设学校第二次购买A种品牌的额温枪y个，根据等量关系：“学校第二次购买A、B两种品牌额温枪的总费用是第一次购买额温枪总费用的70%”列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少花20元．
∴如果购买一个A种品牌的额温枪a元，则购买一个B种品牌额温枪元；
故答案为：．
（2）设购买一个A种品牌的额温枪x元
解方程得：；
答：购买一个A种品牌的额温枪和一个B种品牌的额温枪各需50元，80元．
（3）设学校第二次购买A种品牌的额温枪y个
解得
答：学校第二次购买A种品牌的额温枪25个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，设相应的未知数，根据等量关系列出方程是解题的关键．
26. 如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【答案】（1）40°；（2）∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）60°
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB＝∠AOC，计算即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB＝∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC＝2∠OBC，从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE＝∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°；
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．
【点睛】考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
27. 如图①，在平面直角坐标系中，A(a，0)，C(b，2)，且满足(a+2)2+=0，过C作CB⊥x轴于B．
(1)求三角形ABC的面积；
(2)如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4；(2)∠AED=45°；(3)P(0，-1)或(0，3).
【解析】
【分析】
（1）先依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A、点B和点C的坐标，接下来，依据三角形的面积公式求解即可；
（2）如图甲所示：过E作EF∥AC．首先依据平行线的性质可知∠ODB=∠6，∠CAB=∠5，接下来，依据平行公理的推理可得到BD∥AC∥EF，然后，依据平行线的性质可得到∠1=∠3，∠2=∠4，然后，依据角平分线的性质可得到∠3= ∠CAB，∠4=∠ODB，最后，依据∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4求解即可；
（3）①当P在y轴正半轴上时，设点P（0，t），分别过点P，A，B作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，交于点M，N，然后，用含t的式子表示出AN，CM的长，然后依据S三角形ACP=S梯形MNAC-S三角形ANP-S三角形CMP列出关于t的方程求解即可；②当P在y轴负半轴上时，如图丙分别过点P，A，B作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，交于点M，N，设点P（0，t），然后用含t的式子表示出AN、CM的长，最后，依据S三角形ACP=S梯形MNAC-S三角形ANP-S三角形CMP列方程求解即可．
【详解】解：(1)∵(a+2)2+=0，
∴a+2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB，
∴A(-2，0)，B(2，0)，C(2，2)，
∴△ABC的面积=×2×4=4；
(2)∵CB//y轴，BD//AC，
∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，
过E作EF//AC，如图①
∵BD//AC，
∴BD//AC//EF，
∵AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，
∴∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=(∠CAB+∠ODB)=45°
(3)①当P在y轴正半轴上时，如图②，
设P(0，t)，过P作MN//x轴，AN//y轴，BM//y轴，
∵S△APC=S梯形MNAC-S△CMP-S△ANP=4，
∴-t-(t-2)=4，
解得：t=3，
②当P在y轴负半轴上时，如图③，设P(0，t)，过P作MN//x轴，AN//y轴，BM//y轴，
∵S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4，
∴ +t-(2-t)=4,
解得：t= -1,
∴P(0，-1)或(0，3).
故答案为(1)4；(2)∠AED=45°；(3)P(0，-1)或(0，3).
【点睛】本题考查坐标与图形，角平分线的定义，三角形的面积公式，平行线的性质，非负数的性质，熟记性质并运用分情况讨论思想是解题的关键．