专题01 平行线情景应用-2020-2021学年七年级数学下册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

专题01   平行线情景应用

【专题背景】

在学习完平行线的性质后,常常会遇到含“三角板”“长方形纸条”“折叠”等字眼的题目，解题过程中，不要忘记题中暗含的条件.

一、三角板与直尺

暗含条件：①三角板的三个角度分别为90°，45°，45°或90°，30°，60°；

②直尺的两边所在的直线是平行线

【例1】如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C（∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠1=62°，则∠2的度数等于_____.

【答案】28°

【解析】∵直尺的两边平行，∠1=62°，
∴∠1=∠3=62°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-∠3=90°-62°=28°.

同步练习1：如图，把一块含有45“角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，若∠2=25°，则∠1的度数为______.

【答案】20°

【解析】由图可得，
AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵∠2=25°，∠3+∠1=45°，
∴∠3=25°，
∴∠1=20°.

变式训练1：将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上．若∠α=137°，则∠β=_____.

【答案】77°

【解析】由已知可得，
AB∥CD，∠α=137°，
方法一：则∠α+∠1=180°，
∴∠1=43°，
∵∠2=60°，∠1+∠2+∠β=180°，
∴∠β=77°.

方法二：∵AB∥CD，

∴∠α=∠2+∠β，

又∠2=60°，

∴∠β=∠α-∠2=137°-60°=77°.

二、折叠

暗含条件：折叠而成的角度相等（折痕为角平分线）

【例2】如图，将一张长方形纸条折叠成如图所示的形状，若∠1=40°，则∠2的度数是_____.

【答案】40°

【解析】如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠2，
由折叠的性质可得∠3=∠1，
∴∠1=∠3=∠2=40°，

变式训练2：将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若∠1=64°，则∠2=____.

【答案】52°

【解析】由折叠的性质可得∠3=∠1=64°，
∴∠4=180°-2×64°=52°，
∵长方形的对边平行，
∴∠2=∠4=52°．

变式训练3: 如图将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是____.

【答案】55°

【解析】∵AD∥BC，∠2=70°，
∴∠2=∠CFB'=70°，
∴∠BFB′=110°，
由折叠知，∠1=∠EFB'=∠BFB'=55°.

【专题过关】

1. 如图，将三角板的直角顶点落在直尺的一边上，若∠1=34°，则∠2的度数为____.

【答案】56°

【解析】如图，
∵∠1+∠3+90=180°，∠1=34°，
∴∠3=56°，
∵直尺的两边平行，
∴∠2=∠3=56°．

2. 如图，一块三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=28°，那么∠2的度数是_____.

【答案】28°

【解析】如图：
∵AC∥EF，∠1=28°，
∴∠3=28°，
∵BD∥CE，
∴∠1=28°．

3. 一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为_____.

【答案】15°

【解析】由图可知，
∠1=45°，∠2=30°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠1=45°，
∴∠CAE=∠BAE-∠2=45°-30°=15°.

4. 如图，折叠一张长方形纸片．若∠2=55°，则∠1的度数是____.

【答案】70°

【解析】如图，

根据折叠的性质，
∠EFG=∠2=55°，
∴∠EFC=110°，
∵AB∥DC，
∴∠BEF=180°-∠EFC=70°，
∴∠1=70°．

5. 如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC=25°，则∠ACD的度数为_____.

【答案】130°

【解析】延长DC到点E，如图：

∵AB∥CD，
∴∠BCE=∠ABC=25°，
由折叠可得：∠ACB=∠BCE=25°，
∠ACD=180°-∠ACE=180°-2∠ACB=130°.

6. 将一副三角板按如图摆放，已知直线l∥直线k，则∠α的度数为_____.

【答案】15°

【解析】∵l∥k，

∴∠3=∠2+∠1=45°+30°=75°.

∠α=180°-∠3-90°=15°.

【专题提升】

7. 已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC=30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=22°，则∠2的度数是______.

【答案】38°

【解析】如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．

8. 如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，在∠α与∠β的数量关系中，若用∠α的代数式表示∠β，则∠β=_________.

【答案】180°-2∠α

【解析】∵AB∥CD，
∴∠α=∠3，∠1=∠β，
由折叠可得∠3=∠2，
∵∠2+∠3+∠1=180°，
∴∠β+2∠α=180°，
∴∠β=180°-2∠α，

9. 如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG=18°，则∠HFD为_____.

【答案】33°

【解析】过点G作AB平行线交EF于P，

由题意易知，AB∥GP∥CD，
∴∠EGP=∠AEG=18°，
∴∠PGF=72°，
∴∠GFC=∠PGF=72°，
∴∠HFD=180°-∠GFC-∠GFP-∠EFH=33°．

10. 如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒3°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第_____秒时，边BC恰好与边DE平行．

【答案】35   95

【解析】解题的关键在于能否还原两条线平行的时的图.

解：如图1所示：当B′C′∥DE时，
由题意可得：∠B′=∠DFA=60°，∠D=45°，
则∠FAD=75°，
故∠CAF=15°，则∠BAF=105°，
故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为：=35（秒），
如图2，当B″C″∥DE时，
由（1）同理可得：∠BAB″=75°，
则BA绕点A顺时针旋转了360°-75°=285°，
则在旋转的过程中：第=95（秒）时，边BC恰好与边DE平行．
综上所述：在第35或95秒时，边BC恰好与边DE平行．
故答案为：35或95．