初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教案及反思

17.2 勾股定理的逆定理（教案）

【教学目标】

1.知识与技能

（1）理解勾股定理的逆定理。

（2）了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。

2.过程与方法

经历“观察－测量－猜想－论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。

【教学重点】

探索并证明勾股定理的逆定理。

【教学难点】

应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、导入新课

【过渡】我们大家都认识直角三角形吧。我们知道，直角三角形是有一个角为直角的。根据直角三角形的定义呢，我们能够简单的判断一个三角形是否为直角三角形。

（学生回答如何判断）

【过渡】根据定义，主要就是看这个三角形有没有一个角满足90°，有90°的角则为直角三角形。但是如果遇到没办法准确判断角的大小的时候，我们又该通过什么样的方法来判断呢？能否结合勾股定理的知识，从边长的角度入手呢？今天我们就来探究一下，如果将勾股定理反过来使用，是否同样成立呢？

二、新知详解

1．勾股定理的逆定理

【过渡】  　据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。你认为结论正确吗？

【过渡】由实际问题转化，这个问题就变为如果三角形的三边长为3、4、5，它们满足32+42=52，那么这个三角形就是直角三角形。那么这个结论到底正确不正确呢？我们来自己动手，画出三边长为以下两组数据的三角形吧。

2.5，6，6.5；     6，8，10。

【过渡】首先看这两组数据，大家思考一下，这两组数据都满足a2+b2=c2吗？

（学生回答）

【过渡】计算表明，这两组数据均是满足这样一个等式的。现在，大家就将其作为三角形的三边成，来画一下三角形吧。

（学生动手）

【过渡】我看大家都已经画完了，大家用眼睛看过去，这两个三角形像是直角三角形吗？当然，在数学上，我们需要保持严谨的态度。大家再动手，用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数。

【过渡】从动手结果上来看，这两个三角形同样是直角三角形。因此，我们就有如下一个猜想：

命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。

【过渡】大家能够证明这个结论吗？

课件展示证明过程。

【过渡】通过刚刚的证明，我们知道这个结论是正确的，因此，我们把它称之为勾股定理的逆定理。我们通常用这个定律作为直角三角形的判定定理。

【巩固训练】判断下列数据中能否作为直角三角形的三边长？

A．1、1、  ；B．5、12、13  ；C．3、5、7  ；D．6、8、10

在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断。

【过渡】从刚刚的命题中，我们能够看出，这个命题与勾股定理是完全相反的，在数学中，我们就称这样的两个命题为互逆命题。

如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

【过渡】那么我们怎样得到一个命题的逆命题？我们以勾股定理为例。不难发现，勾股定理的题设是直角三角形，结论是a2+b2=c2，而其逆定理却刚好相反，它的题设是a2+b2=c2，结论则为直角三角形。因此，我们可以得到这样一种方法：

把一个命题的题设和结论交换一下，即可得到它的逆命题。

【练习】说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题是真命题吗？

（1）如果a>b，那么a2>b2；

（2）如果a2=b2，那么a=b；

（3）等腰三角形的两底角相等两端点的距离相等。

【过渡】勾股定理的逆定理主要用来判定是否为直角三角形，我们通过例题来感受一下吧。

课件展示课本例1、2.

【典题突破】1、已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长

解：（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，∴AB2+AC2=25，

∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，

∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，

∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC，

即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，

解得k=2或-5（舍去负数）

（2）∵△ABC是等腰三角形；

∴当AB=AC时，△=b2-4ac=0，

∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0，解得k不存在；

当AB=BC时，即AB=5，

∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，

解得k=3或4，

∴AC=4或6

∴△ABC的周长为14或16。

2、若ABC三边长a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断ABC的形状。

解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，

得：a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0

即：(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0

解得：a=5，b=12，c=13

∵52+122=132

∴ a2+b2=c2

∴ ∠ C=90°，ABC是直角三角形

【巩固训练】1、有四个三角形，分别满足下列条件，其中直角三角形有（C　）

（1）一个内角等于另外两个内角之差：

（2）三个内角度数之比为3：4：5；

（3）三边长度之比为5：12：13；        

（4）三边长分别为7、24、25．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（　C　）

A．400m B．525m C．575m D．625m

3、如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中点，AD=2，求△ABC的面积

解：延长AD至E，使ED=AD=2，连接BE，如图所示：

则AE=4，

∵D是BC的中点，∴BD=CD，

在△BED和△ACD中，

BD＝CD；∠BDE＝∠CDA；ED＝AD  ，

∴△BED≌△ACD（SAS），∴BE=AC=3，

∵AE=4，AB=5，BE=3，∴AE2+BE2=AB2，

∴△ABE是直角三角形，

∴△ABC的面积=△ABE的面积=×3×4=6．

【拓展提升】1、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=90°．

（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？

（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

解：（1）在Rt△ABC中，

∵AB=3m，BC=4m，∠B=90°，AB2+CB2=AC2

∴AC=5cm，

在△ACD中，AC=5cm CD=12m，DA=13m，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；

（2）∵S△ABC=×3×4=6，S△ACD=×5×12=30，

∴S四边形ABCD=6+30=36，费用=36×100=3600（元）．

【板书设计】

1、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。

【教学反思】

采用了体验探究的教学方式。在课堂教学中，我首先创设情境，提出问题；再让学生通过画图、测量、判断、找规律，猜想出一般的结论；然后由学生想、画、剪、叠，去验证结论......使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的生成过程，品尝到成功的乐趣。这不仅使学生学到获取知识的思想和方法，同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气。