人教版八年级下册18.2.3 正方形教案

18.2.5 正方形（教案）

【教学目标】

1.知识与技能

掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算。

2.过程与方法

进一步发展合情推理、演绎推理的能力，增强几何直观和几何符号意识。

3.情感态度和价值观

通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力。

【教学重点】

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。

【教学难点】

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、导入新课

【过渡】在前几天的学习中，我们学习了两种特殊的平行四边形，分别是矩形和菱形。我们将几种不同的四边形进行一个范围的规整。如图所示，我们知道，矩形和菱形都属于平行四边形，又各自具有不同的特征。现在，我想请大家回忆一下，矩形和菱形都是如何从平行四边形得到的？

（学生回答）

【过渡】从矩形和菱形的定义，我们可以知道，有一个角为直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边形是菱形。那么有没有一种图形，又能够同时满足三者的特点呢？今天我们就来探究一下，能够同时满足矩形、菱形的特点的图形——正方形。

二、新知详解

1．正方形的定义

【过渡】我们先从矩形来看，如何从一个矩形得到一个正方形。大家可以拿一张长方形的纸，将其折叠，使短边与长边重合，得到的这个图形，就是正方形，根据矩形的性质，大家能得到什么结论呢？

（学生回答）

【过渡】我们可以发现，得到的图形的四边是相等的。也就是说，矩形与正方形的关系就是边长的改变。大家来看一下课件的动画。

两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD，慢慢的移动其中一条，然后到与短边相等的地方，就得到了正方形。

邻边相等的矩形是正方形。正方形是特殊的矩形。

【过渡】知道了矩形与正方形的关系，那么菱形又与正方形有什么关系呢？观察菱形与正方形的图形，我们发现。

有一个角是直角的菱形是正方形。正方形是特殊的菱形。

【过渡】既然正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，那么就应该具有两者的性质。大家总结一下，正方形都具有哪些性质吧。

（学生回答）

课件展示正方形的性质。

【过渡】从矩形和菱形的学习中，我们知道，从性质可以推断出其判定定理。那么正方形的判定又是什么呢？是否是和矩形、菱形一致呢？

课件展示判定定理。

【过渡】分别从平行四边形、矩形和菱形的角度得到的正方形的判定定理。在正方形中，两条对角线分成的四个三角形又有什么特点呢？大家来看一下例5

课件讲解例5。

【过渡】由刚刚的学习，我们可以总结出平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系图。

课件展示。

【要点解析】

1、在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作EF⊥AC交BC于F，

求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE。

解：（1）连接AF

在Rt△AEF和Rt△ABF中，

∵AF=AF，AE=AB，

∴Rt△AEF≌Rt△ABF，

∴BF=EF；

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ACB=∠BCD=45°，

在Rt△CEF中，

∵∠ACB=45°，

∴∠CFE=45°，

∴∠ACB=∠CFE，

∴EC=EF，

∴BF=CE

2、证明：

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）对角线垂直的矩形是正方形。

解：（1）如图1所示：

已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°；

求证：四边形ABCD是正方形；

证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，

∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∴四边形ABCD是正方形；

（2）如图2所示：

已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD；

求证：四边形ABCD是正方形；

证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，

∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，

∴四边形ABCD是正方形．

3、已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

（1）四边形AEDF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？

（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？

（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB

∴四边形AEDF是平行四边形；

（2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形，

∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；

（3）∵菱形对角线互相垂直，

∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形；

（4）∵正方形既是菱形又是矩形，

∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．

【达标检测】

1、如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　C　）

A．50 B．55 C．70 D．75

2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（　A　）

A．-4+4B．4 +4 C．8-4 D． +1   

3、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　B　）

A．75° B．60° C．54° D．67.5°       

4、已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF。

解：如图，

∵BE=BF，∴∠BFE=45°

∵∠CAB=45°，

∴FH⊥AC，

又CB⊥AF，

∴E是△ACF的垂心，

因此AG⊥CF。

5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形。

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠AED=90°，∠AFD=90°

∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形

在△BDE和△CDF中

∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠DEB=∠DFC

又∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF

∴DE=DF∴□AEDF是正方形

【板书设计】

1、正方形的性质：

具有矩形和菱形的性质。

2、正方形的判定。

【教学反思】

结合矩形和菱形的条件得到正方形的定义，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形。在分析定义时，强调了正方形定义和前面两类特殊平行四边形的异同。通过归纳矩形和菱形的性质得到正方形的性质，有前面学习的基础，学生掌握的比较轻松。在学习判定方法时，能够引导学生对判定方法进行在证明，引导学生从边角对角线等角度去思考，避免了学生思维混乱，无从下手的局面。