初中数学人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式教学设计

19.2.3 一次函数与方程、不等式（教案）

【教学目标】

1、理解一次函数与方程、不等式的关系；

2、会根据一次函数的图象解决问题；

3、通过探索，初步掌握用函数的观点看待方程的方法。

【教学重点】

一次函数与方程、不等式的关系。

【教学难点】

利用图象解决方程、不等式的问题。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、导入新课

【过渡】上节课我们学习了一次函数的相关性质。现在，我有一个问题，想要考一下大家。

（1）解方程5x+10=0。

（2）当自变量x为何值时，函数y=5x+10的值为0？

【过渡】这两个问题其实都特别简单，大家观察这两个问题，有什么发现吗？这两个问题有什么联系呢？

（学生回答）

【过渡】其实，这两个问题在本质上是一样的问题，这就展示了方程与函数的关系，今天我们就来探究一下函数与方程及不等式之间的关系。

二、新知详解

1．一次函数与方程

【过渡】经过刚刚的问题，我们再来看一下课本P96的思考题。仔细观察这三个方程，你能发现什么？

这三个方程等号左边都是2x+1，等号右边分别是3、0、-1。

【过渡】结合我们之前学习的一次函数，你能发现这两者之间有什么联系吗？

（学生回答）

【过渡】通过对比，我们发现，这三个方程可以看做是一次函数y=2x+1函数值分别为3，0，-1的情况，即当y分别等于3、0、-1时，x的取值。而这三个方程的解则分别对应着此时自变量的值，即图象上A，B，C三点的横坐标。

因此，我们做出函数图象，能够得到与方程的解相同的数，即是方程的解。这也就是一次函数与一元一次方程的关系。

【过渡】对于任何的一元一次方程来说，一元一次方程都可以转化为kx+b=c的形式。求解方程的解时，也就是求y=kx+b，当y=c时，自变量x的值。对于任意一个一元一次方程ax+b=0(a≠0)，它有唯一解，我们可以把这个方程的解看成函数y=ax+b的函数值为0时，与之对应的自变量的值，也就是函数与x轴的交点。因此，从不同的角度，我们可以总结一元一次方程与一次函数的关系：

从数的角度看： 求ax+b=c的解，就是求x为何值时，y=ax+b的值

从图象的角度看：方程的解是函数图象与x轴交点的横坐标。

【过渡】学习了一次函数与方程的关系之后，我们再来看一次函数与不等式之间的联系。

讲解课本思考内容。

【过渡】我们同样发现，不等式的求解，同样可以与一次函数相联系：

对于任意一个一元一次不等式ax+b>0(a≠0)，我们可以把这个不等式的解集看成函数y=ax+b当y>0时自变量x的取值范围．

从数的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0的解,也就是,x为何值时，函数y=ax+b的值大于或小于0;

从图象的角度看: 求ax+b＞0就是自变量x为何值时直线y=ax+b的图象在x轴上方; 求ax+b＜0就是自变量x为何值时直线y=ax+b的图象在x轴下方。

【过渡】这种一元一次方程可以通过一次函数的关系求解，那么对于二元一次方程来说，是否有同样的练习呢？

【过渡】我们先来看课本的问题3。

【过渡】通过题意，我们能够知道气球上升的时间在0与60min之间，即x的取值范围，两个气球的关系式都能够很轻易的写出。

对于第二个问题，对于到达同一高度，我们能够很简单的想到，两个函数解析式的函数值相等就是达到同一高度。我们需要同时求出x和y的值。大家第一时间想到的是什么方法呢？

（学生回答）

【过渡】二元一次方程组就是解决这个问题的方法，我们将两个函数解析式当做二元一次方程组，然后求解，就能够得到我们需要的答案。

【过渡】刚刚的一元一次方程，我们采用了函数图象的解决方法，那么这里我们能用函数图象去解决问题吗？

【过渡】我们在同一个直角坐标系中作出两个函数的图象，根据题意，两个图象的交点就是我们所求的值。

每个二元一次方程都可以改写为y=kx+b的形式，于是一个二元一次方程组也对应两条直线。

从数的角度看：解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；

从形的角度看：解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

【要点强化】

1、直线y=2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b=0的解是（　A　）

A．x=2 B．x=4 C．x=8 D．x=10

2、直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是  (-1,0) ，不等式-3x-3＞0的解集是  x＜-1   。

3、当x   ＞2     时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方。

4、画出函数y= x+ 的图象，给合图象回答问题．

（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？

（2）当x取何值时，y＞0，y=0，y＜0？

（3）当y≤ 时，求x的取值范围。

解：如图所示：

（1）根据图象可得随着自变量x的增大，函数值y增大，它的图象从左到右呈上升趋势；

（2）根据图象可得x＞-3时y＞0；

x=-3时y=0，

x＜-3时，y＜0；

（3）根据图象可得y≤ 时x≤0．

5、如图所示的是函数y1=kx+b与y2=mx+n的图象，

（1）方程的解是    ；

（2）y1中变量y1随x的增大而     减小     ；

（3）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移1个单位，恰好在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的关系式．y=x

6、某单位计划国庆组织员工到泰山旅游，人数估计在10~25人之间，甲、乙两个旅行团服务质量相同，且组到泰山的价格都是每人200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去1人费用，其余人8折优惠 。

 （1）分别写出选择甲、乙旅行社所需费用y（元）与人数x（人）之间的函数关系

 （2）设y表示选择乙旅行社比甲旅行社多付费用，写出y与x的函数关系式

解：（1）设人数为x,甲旅行社费用为，乙旅行社费用，并且有10≤x≤25。 

=0.75×200x ， =0.8×200（x-1） 

得： =150x ， =160x-160  

（2）如果， ＞ 

则150x ＞ 160x-160 ， x ＞ 16 ；

如果， ＜ ，则150x ＜ 160x-160 ， x ＜ 16 ；

如果， = ，则150x=160x-160 ， x=16 ；

因为10≤x≤25

所以  当x=16甲乙两家的旅游总费用一样； 

当10≤x＜16甲家比乙家便宜； 

当 16＜x ≤25乙家比甲家便宜．

【典题突破】

1、一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　C　）

A. x＜0   B. x＞0

C. x＜2   D. x＞2

2、如果实数k，b满足kb＜0且不等式kx＜b的解集是x＞"b" /"k" ，那么函数y=kx+b的图象只可能是（　A　）

A．      B．   C．       D．

3、设一次函数y=-x+3，当0≤x≤3时，函数y的最小值是    0   ．

4、已知一次函数y=（4m+1）x-（m+1）． 

（1）m为何值时，y随x的增大而减小？

（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？

（3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？

解：（1）一次函数y=（4m+1）x-（m+1），

∵y随x的增大而减小，

∴4m+1＜0，

解得：m＜- ，

答：当m＜- 时，y随x的增大而减小．

（2）一次函数y=（4m+1）x-（m+1），

∵直线与y轴的交点在x轴下方，

∴-（m+1）＜0，

解得：m＞-1，且m≠- ，

答：当m＞-1且m≠- 时，直线与y轴的交点在x轴下方．

（3）一次函数y=（4m+1）x-（m+1），

∵直线位于第二、三、四象限，

∴4m+1＜0且-（m+1）＜0，

解得：-1＜m＜- ，

答：当：-1＜m＜- 时，直线位于第二、三、四象限。

5、在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（-1，-3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（-2，a）．

（1）求a的值；

（2）（-2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？

（3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？

解：（1）∵直线l1经过（2，3）和（-1，-3），

∴

解得：k＝2；b＝−1，

∴直线l1的解析式为：y=2x-1，

把P（-2，a）代入y=2x-1得：a=2×（-2）-1=-5；

（2）设L2的解析式为y=kx，

把P（-2，-5）代入得-5=-2k，解得k=，

所以L2的解析式为y=x，

所以点（-2，-5）可以看作是解二元一次方程组所得；

（3）对于y=2x-1，令x=0，解得y=-1，

则A点坐标为（0，-1），

所以S△APO=×2×1=1．

【板书设计】

1、一次函数与方程：

2、一次函数与不等式。

【教学反思】

通过两个问题提问，学生看出一次函数与一元一次方程的关系，创设情境，引出一次函数与方程有一定的关系，使学生主动投入到一次函数与方程、不等式关系的探索活动中；紧接着，用一连串的问题引导学生自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识它们的关系，使学生真正掌握本节课的重点知识。在探究过程中，我把学生分为一个函数组一个方程组，使学生能身临其境感受知识，并及时的进行团结合作教育，把德育教育渗透在我的教学中。在探究中，我把握自己是组织者、引导者和合作者的身份，及时对学生进行知识探究。但在实际操作过程中还是把握的不够好，没有很好的起到引导者的作用，缺乏情感性的鼓励，没有使大多数学生能完全积极融入到的知识的探讨与学习中。