人教版八年级下册19.2.1 正比例函数教案及反思

19.2.1 正比例函数（教案）

【教学目标】

1、掌握正比例函数的概念；

2、会求正比例函数的解析式；

3、掌握正比例函数的性质。

【教学重点】

正比例函数的概念及图像。

【教学难点】

正比例的性质与常数k的关系。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、导入新课

【过渡】我们学习了第一节的内容，主要是学习了函数的基本知识，如变量与常量，函数的解析式等等，现在，我们一起来回忆一下这几个基本概念吧。

函数解析式：用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式。

函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

（可以由学生回答）

【过渡】在学习基础知识的过程中，我们会看到不同种类的函数解析式，那么，这些函数解析式有没有哪些具有共同的特征呢？又有什么样的性质呢？今天，我们就来探究一种具有独特性质且简单的函数：正比例函数。

二、新知详解

1．正比例函数

【过渡】首先，我们来思考这样一个问题。

     2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米。设列车的平均速度为300千米/时。考虑以下问题：

（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？

(2) 京沪高铁列车y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？

(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时的行程后，是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？

【过渡】对于问题1，我们通过路程与速度的计算公式能够很轻易的得出：

1318÷300 = 4.4（时）

【过渡】现在我们来看看第二个问题，结合之前我们学过的函数解析式的书写，你能正确写出这个关系式吗？

（学生回答）

【过渡】同样的根据路程、速度与时间的关系，我们知道，路程=速度×时间。但在实际问题中，我们需要考虑取值范围，刚刚我们计算全程的时间为4.4小时，因此，这个关系式即为：

y=300t   （0≤x≤4.4）.

【过渡】第三个问题大家来计算一下吧。

当t=2.5时，y=300×2.5=750 （km），这时列车尚未到达距始发站1100千米的南京南站。

【过渡】刚刚我们利用函数关系式解决了第三个问题，尽管与实际会有不同，但整体的对应规律是一致的。现在，我们来看一下课本的几个思考题。

课本P86思考内容。

【过渡】这几个问题的函数关系式很容易就能得到，大家观察这四个关系式，这几个关系式有什么共同点呢？

（学生回答）

列表更清晰直观。

【过渡】根据大家的观察，这些函数有什么共同点？

这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！

【过渡】在数学中，我们将这样的函数称为正比例函数。

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

【过渡】大家来练习一下吧。

【练习】1、下列式子中，哪些表示是的正比例函数？并说出正比例函数的比例系数是多少？

（1）y=-0.1x；（2）y= x；（3）y=2x2；（4）y2=4x

2、若y=(k-2)x+k2-4是正比例函数，则k=         ，此时的函数解析式为            。

【过渡】关于第二个问题，我们只需要牢记正比例函数的定义即可解决。

注意：使自变量的指数为1；系数不为0；常数项即k不为0。

2、正比例函数的图象

【过渡】第一节内容中，我们学习了如何画函数的图象，现在，大家自己动手画一下课本例1的几个图象吧。

（学生动手）

课件展示过程。

【过渡】我们以（1）中的y=2x为例，按照画函数图象的步骤：列表、描点、连线，得到如图所示的图象。然后我们将第二个图象也画出来。观察这两个图象，有什么相似之处呢？

【过渡】通过观察，我们发现，两图象都是经过原点的直线。两图象均从左到右上升，经过第一、三象限，即：随着x的增大y也增大。

在这个时候，我们看到，k是大于0的数。如果k是小于0的，又会是什么样的情况呢？我们来比较一下（2）的两个函数。

【过渡】通过观察，我们发现，两图象都是经过原点的直线。两图象均从左到右下降，经过第二、四象限，即：随着x的增大y反而减小。

【过渡】通过刚刚的比较，我们发现，不管k的取值如何，正比例函数的图象均是通过原点的直线，不同的地方在于直线的方向。

正比例函数的图象及性质：

（1）正比例函数的图象都是经过坐标原点的直线。

（2）当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即：随着x的增大y也增大；

当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即：随着x的增大y反而减小。

【过渡】经过原点与（１，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？

 【过渡】结合正比例函数的性质，经过原点与（１，k）的直线是正比例函数y=kx (k是常数，)的图象，由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时，我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可。

【过渡】既然我们能够简单的画出正比例函数的图象，那么，我想问大家另外一个问题。正比例函数的图象与x轴的夹角与k值有什么关系？

由学生根据自己的实例，进行总结。

当图象经过一、三象限时，直线与x轴正方向的夹角越大，k值就越大；

当图象经过二、四象限时，直线与x轴负方向的夹角越大，k值就越小；

总结：|k |越大，直线与x轴的夹角越大。

【练习】比较大小。

（1）k1       ＜     k2

（2）k3       ＜      k4

（3）比较k1、k2、k3、k4大小，并用不等号连接。

k1＜k2＜k3＜k4

【要点强化】

1、若函数y=（3-m）xm2−8是正比例函数，则m的值是（　A　）

A．-3 B．3 C．±3 D．-1

2、写出下列各题中x与y之间的关系式，并判定y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．

（1）每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y（元）与铅笔支数x（支）之间的关系；

（2）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y（千米）与行驶时间x（时）的关系；

（3）一个长方形的面积是16cm2，它的一边长y（cm）与邻边长x（cm）的关系。

解：（1）y=x=0.2x，y是x的正比例函数；

（2）y=120-40x，y是x的一次函数；

（3）y=，y既不是x的一次函数，也不是x的正比例函数．

3、.对于函数y＝− x，下列说法不正确的是（　D　）

A．其图象经过点（0，0）

B．其图象经过点（-1，）

C．其图象经过第二、四象限

D．y随x的增大而增大

4、正比例函数y=（2m-1）x的图象经过第一、三象限，则m的取值范围为   m＜          。

5、若正比例函数的图象经过点（2，-3），则这个图象必经过点（　D　）

A．（-3，-2） B．（2，3）

C．（3，-2） D．（-2，3）

【典题突破】

1、函数y=（2-a）x+b-1是正比例函数的条件是（　C　）

A．a≠2        B．b=1

C．a≠2且b=1 D．a，b可取任意实数

2、下列函数中，是正比例函数的是（　B　）

A．y＝   B．y＝−

C．y=3x+9 D．y=2x2．

3、已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，-3）在函数上，则y随x的增大而（　B　）

A．增大  B．减小  C．不变  D．不能确定

4、已知正比例函数y=（2m+4）x．求：

（1）m为何值时，函数图象经过一、三象限；

（2）m为何值时，y随x的增大而减小；

（3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上

解：（1）∵函数图象经过一、三象限，

∴2m+4＞0，解得m＞-2；

（2）∵y随x的增大而减小，

∴2m+4＜0，解得m＜-2；

（3）∵点（1，3）在该函数图象上，

∴2m+4=3，解得m=- 。 

【板书设计】

1、正比例函数：

形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数

2、正比例函数的性质

【教学反思】

本节课采用了我 “ 导、学、练、结，自学辅导法”的授课方式，即在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法。由于学生亲自来发现事物的特征和规律，能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自行学习的内在动机，更有利于发展学生的创造性思维能力。