数学七年级下册7.2 二元一次方程组的解法优秀导学案

第7章 一次方程组

7.2 二元一次方程组的解法

第5课时 二元一次方程组与实际问题

学习目标：1.初步掌握列二元一次方程组解应用题，学会构建实际问题中的等量关系，培养分析问题、解决问题的能力；

2.小组合作，探究算术方法与方程思想在解决应用问题中的差异与联系，大胆想象，充分质疑；

3.激情投入，培养严谨的数学思维习惯，感受学习数学的乐趣.

重点：根据等量关系列二元一次方程组解应用题.

难点：根据题意找出等量关系，列出方程组.

自主学习

一、知识链接

1.二元一次方程组的定义是什么？

2.二元一次方程组的解法有哪些？

3.列方程解决实际问题，一般有哪些步骤？

二、新知预习

1.怎样恰当的设未知数比较好？所设一定为所问吗？

2.如何从问题中找出相等关系？

3.列二元一次方程组解应用题时，应该找出几个相等关系？

三、自学自测

某公园的成人票价20元/人，儿童票价10元/人，某节假日该公园共售出780张票，得票款11400元．问这天该公园成人票和儿童票各售出多少张？

四、我的疑惑

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合作探究

一、要点探究

探究点1：列方程组解决实际问题的一般步骤

问题1：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg. 饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料16到18 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？

思考：（1）题中有哪些未知量，你如何设未知数？

（2）题中有哪些等量关系？

问题2：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人？

归纳总结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：

(1)审题：弄清题意和题目中的_________；

(2)设元：用___________表示题目中的未知数；

(3)列方程组：根据_________个等量关系列出方程组；

(4)解方程组：利用__________法或___________法解出未知数的值；

(5)检验：检验所求的解是否符合实际意义．

(6)作答.

探究点2：列方程组解应用题举例

问题：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.问小华家离学校多远？

想一想：直接设小华家离学校的距离为x m，容易列方程吗？如果不容易，你有什么好办法？写出解答过程．

典例精析

例1  某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？

例2  甲、乙两人相距4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇. 试问两人的速度各是多少？

针对训练

1.今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？题目大意：5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”. 问每头牛、每只羊各价值多少“金”？

2.某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3 km，超过3 km的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11 km，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23 km，付了35元.”请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3 km后，每千米的车费是多少元？

3. 我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时. 求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.

二、课堂小结

当堂检测

1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问有多少节车皮？多少吨货物？

2,.某班有40名同学看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元.请问甲种和乙种票各多少张？

3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只？

4.有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少？

5.甲、乙两店共有练习本200本，某月甲店售出19本，乙店售出97本后，甲、乙两店所剩的练习本数目相等，则甲店和乙店原有练习本各多少？

6.某船顺流航行36 km用3 h，逆流航行24 km用3 h，则水流速度和船在静水中的速度各是多少？

7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：隔壁听到人分银，不知人数不知银. 每人五两多六两，每人六两少五两. 多少人数多少银？

8. 甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，那么乙走小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用小时可追上甲，求两人的速度．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1. 由两个整式方程组成，且含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组．

2. 代入消元法和加减消元法．

3. 六步：审题，设元，列方程，解方程，检验，作答．

二、新知预习

1. 一般从题目条件中的等量关系入手，看哪些是未知量，设哪个未知量更便于计算就设哪一个，所设不一定为所问．

2. 需要理解题意，看题目是属于哪一类问题（如路程问题、工程问题、销售问题等等），再根据条件找寻等量关系，然后设出未知数列出等式．

3. 至少两个．

三、自学自测

解：设公园成人票售出x张，儿童票售出y张，依题意得，解得．

答：公园成人票售出360张，儿童票售出420张．

合作探究

一、要点探究

探究点1：列方程组解决实际问题的一般步骤

问题1：

思考：（1）未知量是每只大牛1天需要的饲料和每只小牛1天需要的饲料，可以分别设为x kg和y kg．

（2）等量关系有两个：①原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；②一周后有(30+12)只大牛和(15+5)只小牛，1天约用饲料940 kg．即解得故李大叔估计得不准确，每只大牛1天约需饲料20 kg，每只小牛1天约需饲料5kg.

问题2：

解：设李大叔应聘请甲种饲养员m人，乙种饲养员n人，则有解得

答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人．

归纳总结：

(1)两个等量关系；

(2)字母；

(3)两；

(4)代入消元   加减消元

探究点2：列方程组解应用题举例

问题：

想一想：直接设小华家离学校的距离为x m，不太容易列方程．可设小华家到学校的平路有x m，下坡路有y m（也可利用平路速度和用时不变，设上坡路用时x min，下坡路用时y min列方程）．解答过程如下：

解：设小华家到学校的平路有x m，下坡路有y m，则有解得300+400=700（m）．

答：小华家离学校700 m远．

典例精析

例1  某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？

解：设该队胜x场，平y场，则有解得

答：设该队胜8场，平3场．

例2  解：设甲、乙两人的速度分别是x km/h和y km/h，则有解得

答：甲、乙两人的速度分别是5 km/h和3 km/h．

针对训练

1. 解：设每头牛值“金”x两,每只羊值“金”y两，由题意得解得

答：每头牛值“金”两，每只羊值“金”两．

2. 解：设出租车的起步价是x元，超过3 km后，每千米的车费是y元，则有解得

答：出租车的起步价是5元，超过3 km后，每千米的车费是1.5元．

3.解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时.

则有解得

答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时.

二、课堂小结

字母  2

当堂检测

1. 解：设有x节车皮，y吨货物，根据题意得解得

答：有12节车皮，190吨货物．

2. 解：设甲种票有x张，乙种票有y张，则有解得

答：甲种票有25张，乙种票有15张．

3. 解：设鸡有x只，兔有y只. 则有解得

答：鸡有23只，兔有12只.

4. 解：设甲数为x，乙数为y，则有解得

答：甲数为10，乙数为.

5. 解：设甲店原有练习本x本，乙店原有练习本y本，则有解得

答：甲店原有练习本61本，乙店原有练习本139本.

6. 解：设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，则有解得

答：船在静水中的速度为10 km/h，水流速度为2 km/h.

7. 解：设有x个人，y两银，由题意得解得

答：有11个人，61两银.

8. 解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，则有解得

答：甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时.