七年级下册第7章 一次方程组7.3 三元一次方程组及其解法优秀导学案

第7章 一次方程组

7.3 三元一次方程组及其解法

学习目标：1. 熟练掌握三元一次方程组的概念及解法，提高基本运算的能力.

2. 通过独立思考，小组合作，探究解三元一次方程组的方法.

3. 激情投入，培养良好的数学思维习惯.

重点：消元法解三元一次方程组.

难点：消元法解三元一次方程组.

自主学习

一、知识链接

解二元一次方程组的基本思想是什么？基本方法有哪些？

二、新知预习

1. 什么叫三元一次方程组？它与二元一次方程组有什么区别？

2. 解三元一次方程组的基本思想是             ，基本方法是                             .

3. 解三元一次方程组的基本步骤有哪些？

三、自学自测

1. 解三元一次方程组若先消去未知数x，则得到关于     、     的二元一次方程组             ，解这个二元一次方程组，得             ，则原方程组的解是             .

2. 方程组的解是         .

四、我的疑惑

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合作探究

一、要点探究

探究点1：三元一次方程（组）的概念

问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？可以列出几个方程？

问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？

问题3：由上述方程组的特点总结三元一次方程组的定义.

练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是（    ）

A.       B.       C.       D.

[注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．

探究点2：解三元一次方程组

典例精析

例1  解方程组：

问题1：你能把上面的方程组化成二元一次方程组吗？

问题2：如何求原方程组中第三个未知数的值？

问题3：类比二元一次方程组的解法，总结解三元一次方程组的方法.

例2  已知y=ax2＋bx＋c，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值．

探究点3：三元一次方程组的应用

典例精析

例3  幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素. 现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A，B，C三种食物，下表给出的是每份（50 g）食物A，B，C分别所含的铁、钙和维生素的单位量：

（1）如果设食谱中A，B，C三种食物各为x，y，z份，请列出方程组，使得A，B，C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求；

（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，C的份数.

二、课堂小结

当堂检测

1. 解方程组得x＝      ，y＝      ，z＝      .

2. 若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．

3. 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1. 将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．

【拓展题】若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（    ）

A.2             B.3            C.4             D.5

参考答案

自主学习

一、知识链接

解二元一次方程组的基本思想是转化思想，基本方法有代入消元法和加减消元法．

二、新知预习

1. 由三个整式方程组成，且含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组．它与二元一次方程组相比，多了一个未知数，多了一个整式方程．

2. 转化思想   代入消元法和加减消元法.

3. ①选择其中两个方程，通过代入法或加减法消去一个（或两个）未知数，得到一个只含两个（或一个）未知数的二元一次方程；②再选择与①不同的两个方程，也消去相同的未知数，得到另一个二元一次方程；③联立①②所得的两个方程，解出两个未知数的值；④将所得两个未知数的值代入原方程组中的一个方程，得到第三个未知数的值．

三、自学自测

1. y   z               2.

合作探究

一、要点探究

探究点1：三元一次方程（组）的概念

问题1：

未知量有流氓兔的年龄、加菲猫的年龄和米老鼠的年龄，设它们的年龄分别为x岁，y岁，则可以列出三个方程：x+y+z=26，x-1=y和2x+z=y+18.

问题2：

三个方程都是整式方程，都含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1．

问题3：

由三个整式方程组成，且含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组．

练一练：D

探究点2：解三元一次方程组

典例精析

例1

问题1：

将①+③得3x+2y=43④，联立②和④即可．

问题2：

联立②和④解出x和y的值，再代入①或③中即可解得z的值．

问题3：

通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
例2  解：根据题意，得方程组 将②-①，得a+b=1 ④；将③-①，得4a+b=10 ⑤．联立④⑤得 解这个方程组，得 将代入①得c=-5．所以
探究点3：三元一次方程组的应用

典例精析

例3  解：（1）由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得
（2）解得

答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.

二、课堂小结

当堂检测

1. 6   8   3

2. 解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0，则有解得

3. 解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z. 由题意，得解得
答：原三位数是368.
【拓展题】D