专题05 数列-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

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2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版） 专题05 数列姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________一、 选择题1．（2019·山东任城·济宁一中高三月考）在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（    ）A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11【答案】B【解析】数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．2．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模（理））等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（    ）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式．3．（2020·宁夏惠农·石嘴山市第一中学高三其他（文））我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（    ）A．第2天 B．第3天 C．第4天 D．第5天【答案】B【解析】第一天共挖，前二天共挖，故前天挖通，故两鼠相遇在第天.4．（2020·广西七星·桂林十八中高三月考（理））已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）A．7 B．10 C．63 D．18【答案】C【解析】等差数列的首项为，公差为所以，，所以，所以，即，所以..5．（2019·安徽省太和中学高三月考（理））已知等差数列中，，公差，则与的等差中项是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】与的等差中项是.6．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知是等比数列，，则公比=（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.7．（2019·全国高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（  ）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【解析】由得，，，，所以公差大于零.又，，，8．（2020·勃利县高级中学高一期末）设是等差数列的前项和，若，则（ ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】，故选A.9．（2019·吉林长春·东北师大附中高三月考（理））已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】是等比数列，，即，也是等比数列，且，，可得：，当且仅当时取等号，的最小值为.10．（2020·安徽屯溪一中高一期中）若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（    ）A．4040 B．4041 C．4042 D．4043【答案】A【解析】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，，∴，，∴满足的最大自然数为4040．11．（2020·安徽屯溪一中高一期中）已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在上单调减，在单调减，所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，选C.12．（2020·安徽蚌埠·高一期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，∴ ，13．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（理））设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（   ）A．290 B． C． D．【答案】C【解析】由得，当时，，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和.14．（2020·全国高三其他）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由题意可得．设，，因为函数是增函数，所以当时，函数取最小值，所以．故实数的最大值为．15．（2020·河北枣强中学高一期中）已知是等差数列，若，数列满足，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知是等差数列，且，所以，解得，所以，所以，所以，所以，，16．（多选题）（2020·山东文登·高二期末）设等差数列的前项和为．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】设等差数列的公差为，则，解得，，.17．（多选题）（2019·山东薛城·枣庄八中高二期中）若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是（    ）A．可以是等差数列 B．可以是等比数列C．可以既是等差又是等比数列 D．可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD【解析】解：因为,所以或,即：或①当时,是等差数列或是等比数列.②或时,可以既不是等差又不是等比数列18．（多选题）（2020·江苏盐城·高二期末）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（    ）A．当时，取最大值 B．当时，C．当时， D．当时，【答案】BC【解析】因为，所以，解得.对选项A，因为无法确定和的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误.对选项B，，故B正确.对选项C，，故C正确.对选项D，，，因为，所以，，，故D错误.19．（多选题）（2020·海南海口·高三其他）已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；，选项B正确；，所以，选项C错误；，而，选项D正确．20．（多选题）（2020·山东泰安·高三其他）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（    ）A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是182C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为【答案】AC【解析】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，，由此可得，A正确；，B错误；C正确；是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，D错． 二、      解答题21．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【解析】（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．22．（2020·河北路北·开滦第一中学高一期末）已知等差数列和正项等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【解析】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，因为，所以因此；（2）数列的前n项和23．（2020·安徽高二期末（理））已知数列的前n项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．【解析】解：（1）因为，所以，两式作差可得，整理得，则，故，当时，满足上式，故．（2）由（1）可知，则．．24．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高一期末）已知数列的前项和为，且满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）若，数列的前项和为，求.【解析】（1），则当时，，两式相减得：，∴，即：，又时，，解得：，∴，∴，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得：，∴，又，∴，∴，设，则，两式相减可得：，∴，又，∴.25．（2020·江苏南通·高三其他）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，，成等比数列，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）若数列满足，且为整数，求m的值．【解析】（1）因为，，，成等比数列，所以即,解得：或（舍去）所以，（2）因为，所以，①②①②得：,又，所以，当时，，即，也适合，所以,由知数列是公比为2的等比数列.（3），当时，，时，，当时，由知，不是整数，所以为整数则或.