专题十七 圆锥曲线的方程-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习）

十七   圆锥曲线的方程

一、多选题

1．（2021·福建宁德市·高二期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则的面积为

B．四边形可能为矩形

C．直线的斜率为

D．若与、两点不重合，则直线和斜率之积为

2．（2021·江苏常州市·高二期末）离心率为(即黄金分割比的倒数)的双曲线称为黄金双曲线.已知黄金双曲线)的左右焦点分别为，，实轴端点分别为，(其中在左侧)，虚轴端点分别为，，过作x轴的垂线与双曲线交于P，Q两点，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C．为锐角三角形 D．是，的等比中项

3．（2021·江苏常州市·高二期末）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米，为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为，，则下列结论正确的有（    ）

A． B． C． D．

二、单选题

4．（2021·福建宁德市·高二期末）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·福建宁德市·高二期末）已知抛物线的焦点为F，过F点倾斜角为的直线l与C交于A，B两点（A在B的右侧），则（    ）

A．9 B． C． D．3

6．（2021·北京高三期末）已知双曲线（，）的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·北京高三期末）设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点．若，则（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·北京高三期末）已知双曲线的焦距等于实轴长的倍，则其渐近线的方程为（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·海原县第一中学高二期末（文））已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．9

10．（2021·海原县第一中学高二期末（文））已知椭圆的焦点在x轴上，，是椭圆短轴的两个端点，F是椭圆的一个焦点，且，则m=（　　）

A． B．6 C．12 D．16

11．（2021·海原县第一中学高二期末（文））若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

12．（2021·北京高二期末）已知双曲线的两个焦点是、，点在双曲线上．若的离心率为，且，则（     ）

A．或 B．或 C．或 D．或

13．（2021·平罗中学高三期末（文））已知为双曲线的右焦点，以点为圆心，（为双曲线半焦距）为半径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

14．（2021·柳州市第二中学高二期末（文））设双曲线：(，)的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

15．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（文））已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数m的值为（    ）

A．或3 B． C．3 D．

16．（2021·北京房山区·高二期末）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

17．（2021·北京房山区·高二期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ）

A． B． C．2 D．4

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

三、解答题

18．（2021·福建宁德市·高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，M是椭圆上的动点，的最大面积为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：过椭圆上的一点的切线方程为：；

（3）设点P是直线上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．

19．（2021·福建宁德市·高二期末）设命题p：实数a满足，命题q：方程：表示焦点在y轴上的椭圆．

（1）若，为真命题，求a的取值范围；

（2）若q是p的充分不必要条件，求实数t的取值范围．

20．（2021·河南许昌市·高二期末（理））已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线C上．

（1）求双曲线C的方程；

（2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若的面积为，求直线l的方程．

21．（2021·北京高三期末）已知椭圆.

（Ⅰ）求椭圆的离心率和长轴长；

（Ⅱ）已知直线与椭圆有两个不同的交点，为轴上一点. 是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由.

22．（2021·海原县第一中学高二期末（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，．

（1）求与双曲线C有共同渐近线且过点的双曲线标准方程；

（2）若P是双曲线C上一点，且，求的面积．

23．（2021·海原县第一中学高二期末（文））已知椭圆．

（1）若双曲线以椭圆的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，求双曲线的标准方程；

（2）求过点，焦点在轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程．

24．（2021·海原县第一中学高二期末（文））根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）焦点在轴上，离心率，求双曲线的标准方程；

（2），，焦点在轴上，求双曲线的标准方程．

25．（2021·北京高二期末）已知椭圆的一个焦点为，，，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于点．记和的面积分别为和．当时，求直线的方程．

26．（2021·北京高二期末）如图，设点在轴上，且关于原点对称．点满足，且的面积为．

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）以为焦点，且过点的椭圆记为．设是上一点，且，求的取值范围．

27．（2021·上海高三专题练习）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8.

（1）求椭圆的方程.

（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

28．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点，为椭圆上的动点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值.

29．（2021·平罗中学高三期末（文））已知椭圆的右焦点为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值.

30．（2021·柳州市第二中学高二期末（文））已知椭圆：()的左右焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的一点，，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.

31．（2021·北京高三期末）已知椭圆的离心率，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点和点，过点的动直线交椭圆于两点（在左侧），试讨论与的大小关系，并说明理由.

32．（2021·北京高三期末）已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：.

33．（2021·江苏省新海高级中学高三期末）已知椭圆：（）的离心率为，右顶点、上顶点分别为、，原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，为椭圆上两不同点，线段的中点为．

①当的坐标为时，求直线的直线方程

②当三角形面积等于时，求的取值范围．

34．（2021·江苏常州市·高二期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且，其中为椭圆的离心率.若，分别是椭圆的上顶点与右顶点，动直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，的面积分别为，，求的最小值，并求出此时的值.

四、双空题

35．（2021·北京海淀区·高三期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________.

36．（2021·北京高三期末）已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为_______；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为______.

五、填空题

37．（2021·海原县第一中学高二期末（文））以椭圆的右顶点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的标准方程为_________．

38．（2021·北京房山区·高二期末）已知曲线.给出下列四个命题：

①曲线过坐标原点；

②若，则是圆，其半径为；

③若，则是椭圆，其焦点在轴上；

④若，则是双曲线，其渐近线方程为.

其中所有真命题的序号是___．