专题十三 简单几何体的结构特征、表面积与体积-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题十三   简单几何体的结构特征、表面积与体积

一、单选题

1．（2021·天津滨海新区·高三期末）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积分别为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·安徽淮北市·高三一模（文））已知三棱锥，，，平面且，则此三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·浙江高一期末）出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由块玻璃拼组而成，塔高米，底宽米，则该金字塔的体积为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·浙江高三学业考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·全国高三专题练习（文））已知正三棱柱的各棱长均为，底面与底面的中心分别为、，是上一动点，记三棱锥与三棱锥的体积分别为、，则的最大值为（    ）

A．

B．

C．

D．

7．（2021·全国高三专题练习）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·全国高三专题练习（理））日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为，矩形的宽和正方形的边长均为.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·全国高三专题练习（文））《九章算术》中将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知某“阳马”和某“堑堵”的组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A． B． C． D．

10．（2021·江苏泰州市·高三期末）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（    ）

A． B． C． D．

11．（2020·广东高三一模）如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（    ）

A． B． C． D．

12．（2020·河北邯郸市·高三期末）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且的长分别为，又，侧面与底面成角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

13．（2020·河南周口市·高三月考（文））某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

14．（2020·全国高一课时练习）一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

15．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期末（文））已知四面体，平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

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二、解答题

16．（2020·济南大学城实验高级中学高一期中）如图1所示，平面多边形中，四边形为正方形，，，沿着将图形折成图2，其中，，为的中点.

（1）求证：平面

（2）求四棱锥的体积

17．（2020·济南大学城实验高级中学高一期中）设正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，求此正三棱锥的表面积.

18．（2021·全国高三专题练习（文））如图，已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC=BC=AA1=1，AC⊥BC，E在AB上，且BA=3BE，G在AA1上，且AA1=3GA1.

（1）求三棱锥A1­ABC1的体积；

（2）求证：AC1⊥EG.

19．（2020·全国高三专题练习（文））如图，A1B1C1D1是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB=4，BC=3，AA1=5，BB1=8，CC1=12，求该几何体的体积.

20．（2020·全国高一单元测试）如图是一个几何体的三视图及其尺寸，求该几何体的表面积和体积．

21．（2020·全国高一课时练习）如图，一个正方体木块放在水中，木块的一部分露出水面，其中有两条棱各露出棱长的，另一条棱恰好全部露出水面，求这木块的密度与水的密度的比．

三、填空题

22．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（文））沿正三角形的中线翻折，使点与点间的距离为，若该正三角形边长为2，则四面体外接球表面积为______.

23．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））沿正三角形的中线翻折，使点与点间的距离为，若该正三角形边长为，则四面体外接球表面积为____.

24．（2021·河南郑州市·高三一模（理））已知是球的内接三棱锥，则球的表面积为_______________________．

25．（2021·全国高一）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为______.

26．（2020·浙江高一期末）已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．

27．（2021·湖南株洲市·高三一模）以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则______.（注：底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥）

28．（2020·洮南市第一中学高三月考（文））长方体的棱长分别为，，，则其外接球的体积为_______.

29．（2020·全国高一课时练习）某正方体的体对角线长为，则这个正方体的表面积为____．

30．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））已知三棱锥中，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为__________.

31．（2020·浙江高一期末）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.

四、双空题

32．（2021·江苏常州市·高三期末）矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为__________.

33．（2020·四川成都市·高三一模（文））在三棱锥中，平面，，，．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为______；若点是的重心，则过点的平面截球所得截面的面积的最小值为______．