专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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一、单选题


1．（2020·浙江杭州·高一期中）函数的图像的是 （ ）


A．B．


C．D．


【答案】B


【分析】


首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，再根据的函数值，即可判断；


【详解】


解：因为，所以，解得，故函数的定义域为，故排除AC；


当时，，，所以，故排除D；


故选：B


【点睛】


函数图象的辨识可从以下方面入手：


(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．


(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；


(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；


(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.


2．（2020·浙江高一期中）已知定义在上的奇函数满足：当时，，则=（ ）


A．2B．1C．-2D．-1


【答案】C


【分析】


由为奇函数，结合已知区间的解析式即可求时的解析式，进而求即可.


【详解】


∵在上是奇函数，


∴令，则，


由题意，有，


∴，故，


故选：C


【点睛】


关键点点睛：利用函数奇偶性，求对称区间上的函数解析式，然后代入求值.


3．（2020·武邑宏达学校高一期中）函数是定义在上的偶函数且在上减函数，，则不等式的解集（ ）


A．B．


C．D．或


【答案】D


【分析】


利用偶函数的性质将所求不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可.


【详解】


因为是偶函数，所以，，


又在上是减函数，所以，解得或


故选：D


【点睛】


关键点睛：本题解题关键是利用偶函数的性质将转化为解不等式.


4．（2020·扬州大学附属中学东部分校高一期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】D


【分析】


先求出函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，最后利用幂函数和指数函数的单调性判断函数的单调性，即可解不等式.


【详解】


由定义域为，


，


所以函数为奇函数，


利用幂函数和指数函数的单调性易知：函数为上的增函数，


，


则，


故选：D.


【点睛】


关键点睛：判断函数的奇偶性和单调性是解题的关键.


5．（2020·浙江高一期中）已知“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”，现有函数：①；②；③；④，则其中有相同对称中心的一组是（ ）


A．①和③B．①和④C．②和③D．②和④


【答案】D


【分析】


根据定义依次判断即可求出.


【详解】


对于①，，则是奇函数，故函数关于对称；


对于②，是奇函数，故函数关于对称；


对于③，是奇函数，故函数关于对称；


对于④，，则是奇函数，故函数关于对称.


故有相同对称中心的一组是②和④.


故选：D.


【点睛】


关键点睛：本题考查函数对称性的判断，解题的关键是能根据解析式化简整理，正确利用对称的定义进行判断，能根据解析式整理出奇函数特征.


6．（2020·浙江高一期中）已知是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集是（ ）


A．B．


C．D．


【答案】C


【分析】


根据条件先判断出的单调性，根据单调性得到取值的特点，根据与的关系，采用分类讨论的方法解不等式，从而求解出解集.


【详解】


因为，且，都有成立，所以为上增函数，


又因为为上奇函数，所以时，；时，；时，；


当时，，此时，不符合条件；


当时，因为，所以，解得；


当时，因为，所以，解得；


所以的解集为，


故选：C.


【点睛】


结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式：


（1）已知（为函数定义域），且，都有或 成立，则为单调递增函数；


（2）已知（为函数定义域），且，都有或 成立，则为单调递增函数.


7．（2020·江西高一期中）若函数是定义在R上的奇函数且在上单调递减，又，则不等式的解集为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】A


【分析】


由奇偶性与单调性得在上的单调性，然后根据单调性分类解不等式


【详解】


∵在上递减，，而是奇函数，


∴在上是函数，．


可化为或，


∴或．


故选：A．


【点睛】


结论点睛：本题考查由函数的单调性与奇偶性解不等式．解题关键是掌握单调性与奇偶性的关系：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．


8．（2020·南昌市八一中学高二期中）德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，，其中R为实数集，Q为有理数集.则下列说法正确是（ ）


A．


B．函数是奇函数


C．，恒成立


D．函数不能用解析法表示


【答案】D


【分析】


根据函数的定义及解析式，逐项判断即可.


【详解】


对于A，对任意，当时，；当时，；所以，故A错误；


对于B，函数的定义域为R，，，所以不是奇函数，故B错误；


对于C，取，，则，，，故C错误；


对于D，或0，对每一点x，不能用x的表达式表示，即函数不能用解析法表示，故D正确；


故选：D


【点睛】


关键点睛：本题考查函数的新定义，解题的关键是清楚函数的定义，及灵活运用函数的性质，考查学生的分析能力，属于基础题.


9．（2020·南昌市八一中学高二期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）


A．与B．与


C．与D．与


【答案】C


【分析】


比较两函数的定义域和对应法则，逐项判断即可得解.


【详解】


对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数，故A错误；


对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；


对于C，函数，，两函数定义域均为，对应法则相同，是同一函数，故C正确；


对于D，函数，，两函数的对应法则不同，不是同一函数，故D错误.


故选：C.


【点睛】


方法点睛：函数的三要素是定义域，对应关系（解析式），值域，而定义域和对应关系决定值域，所以判断两个函数是否相同只需要判断两个要素：定义域，对应关系是否相同即可.


10．（2020·河南高一月考）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）





A．B．


C．D．


【答案】A


【分析】


由图象知函数的定义域排除选项选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.


【详解】


由图知的定义域为，排除选项B、D，


又因为当时，，不符合图象，所以排除C，


故选：A


【点睛】


思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.


11．（2020·江西南昌二中高一期中）已知的图象关于直线对称，则的值域为（ ）


A．B．C．D．


【答案】B


【分析】


结合函数对称性与解析式可知是零点，则也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解


【详解】


因为函数有两个零点，0，又因为其图象关于直线对称，


所以2，3也是函数的两个零点，即，所以，令，则，所以，即的值域为.


故选：B


【点睛】


关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：


（1）若函数对称轴为，则有；


（2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.


12．（2020·四川省南充高级中学高一期中）已知定义域为的奇函数，则的解集为（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【分析】


根据为奇函数求解出的值，再判断出的单调性，然后将变形为，结合单调性和定义域求解出参数范围.


【详解】


因为为定义在上的奇函数，所以，所以，所以，


此时，，所以此时为奇函数，故满足条件，


所以且在上为增函数，


因为，所以，所以，


所以，所以，所以不等式的解集为，


故选：D .


【点睛】


思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：


（1）利用奇偶性将不等式变形为；、


（2）根据单调性得到与的大小关系；


（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.


13．（2019·稷山县稷山中学高三月考（文））已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，，则( )


A．2B．0C．D．


【答案】A


【分析】


求得函数的周期为1，再利用当时，，得到，当时，，得到，即可得出结论．


【详解】


∵当时，，


∴当时，，即周期为1，


∴，


∵当时，，


∴，


∵当时，，


∴，


∴，


∴.


故选：A.


【点睛】


关键点点睛：本题考查函数求值问题，考查函数周期性和奇偶性的应用，解题关键是由题中条件得出函数的周期，然后由奇偶性和周期性进行计算，属于常考题.


14．函数的图象大致为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】C


【分析】


先求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，排除错误选项，最后利用函数值的符号进一步排除错误选项，即可得到正确结果.


【详解】


解：，


可得：，解得，


函数的定义域为，


又，


为奇函数，故排除A，D选项；


当时，，，


故，排除B选项，故C正确.


故选C.


【点睛】


方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：


(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；


(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；


(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；


(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．





二、多选题


15．（2020·儋州市第一中学高一期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）


A．的定义域为B．若，则的值是


C．D．的解集为


【答案】BD


【分析】


根据解析式判断定义域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.


【详解】


由题意知函数的定义域为，故A错误；


当时，，解得（舍去），


当时，，解得，


或（舍去），故B正确；


当时，，故C错误；


当时，，解得，


当时，，解得，


因此的解集为；故D正确.


故选：BD.


【点睛】


关键点睛：此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.


16．（2020·武邑宏达学校高一期中）定义一种运算：，设，则下面结论中正确的是（ ）


A．函数的图象关于直线对称


B．函数的值域是


C．函数的单调递减的区间是和


D．函数的图象与直线有三个公共点.


【答案】ABCD


【分析】


根据运算的定义，作出的图象，数形结合，对每个选项逐一分析即可.


【详解】


由题意，，


作出函数的图象如图所示，


由图象可知，函数的图象关于直线对称，A正确；


函数的值域是，B正确；


函数的单调递减的区间是和，C正确；


函数的图象与直线有三个公共点，D正确.


故选：ABCD





【点睛】


关键点睛：本题解题关键是化简得解析式以及作出函数的图象，考查学生数形结合思想.


17．（2020·山东省实验中学高一期中）设函数定义域，且满足：①时，；②，则下列说法正确的是（ ）


A．是奇函数B．是偶函数


C．在定义域上是减函数D．在定义域上是增函数


【答案】AC


【分析】


由条件②，令，可得，再令，即可得到，从而可得函数的奇偶性，判断选项，；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数的单调性，从而判断选项，．


【详解】


，


令，则，


所以，


令，则，


又因为，


所以为奇函数，故对，错；


任取，


所以，


因为，所以，，所以，


所以，因为，所以，


所以，


由条件①得，


所以，


所以在上单调递减，


所以在上单调递减，故对，错．


故选：AC


【点睛】


方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.


18．（2020·扬州大学附属中学东部分校高一期中）关于定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）


A．时，函数解析式为B．函数在定义域R上为增函数


C．不等式的解集为D．不等式恒成立


【答案】AC


【分析】


对于A，利用偶函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合偶函数图像关于轴对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立.


【详解】


对于A，设，，


则，


又是偶函数，


所以，


即时，函数解析式为，故A正确；


对于B，，对称轴为，


所以当时，单调递增，


由偶函数图像关于轴对称，


所以在上为减函数，故B不正确；


对于C，当时，，


解得，（舍去），


即，


所以不等式，


转化为，


又在上为偶函数，


得，


所以不等式的解集为，故C对；


对于D，当时，，


，


不恒小于；


当时，，


不恒小于0，故D错；


故选：AC.


【点睛】


方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：


（1）把不等式转化为的模型；


（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.


考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：


（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；


（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；


（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；


（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；


19．（2020·常州市北郊高级中学）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）


A．B．的值域为R


C．的解集为D．的单调减区间为


【答案】ABC


【分析】


利用分段函数的解析式计算可知正确；分段求函数值域再求并集可得正确；分段解不等式可知正确；由可知不正确.


【详解】


对于，,，即，故正确；


对于，当时，在上递减，在上递增，所以在时取得最小值，无最大值，所以，


当时，，所以，


因为，所以的值域为R，故正确；


对于，当时，化为，即，此不等式无解；


当时，化为，即，解得，即不等式的解集为，故正确；


对于，因为，且，所以在上不是单调递减函数，故不正确.


故选：ABC


【点睛】


关键点点睛：求分段函数的值域时，分段求值域再求并集是解题关键.


20．（2020·黑龙江高一月考）下列判断不正确的是（ ）


A．函数在定义域内是减函数


B．奇函数，则一定有


C．已知，且，若恒成立，则实数m取值范围是.


D．已知在上是增函数，则a的取值范围是.


【答案】AB


【分析】


A.根据减函数的定义和图象直接判断；B.根据奇函数的性质判断；C.根据基本不等式求的最小值，再求的取值范围；D.根据函数是分段函数，列不等式求的取值范围.


【详解】


A.由的图象可知，函数在定义域内并不是单调递减区间，比如，，，函数的单调递减区间是，，故A不正确；


B.是奇函数，在原点处有定义时，才有，故B不正确；


C. 若恒成立，则，


，当时等号成立，


即的最小值是4，则，解得：，故正确；


D. 在上是增函数，则，解得：


，故D正确.


故选：AB


【点睛】


易错点睛：本题考查与函数性质有关的命题判断，本题的易错点是D选项，分段函数为增函数，即两段为增函数，并且在分界点处两个函数值比较大小，这个不等式容易忽略.


21．（2020·开原市第二高级中学高三月考）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ）


A．B．


C．D．


【答案】BC


【分析】


由题知“理想函数”为定义域内是增函数，且为奇函数，再依次判断各选项即可得答案.


【详解】


解：由知：为定义域上的奇函数，


由时，知：为定义域上的增函数


对于A选项，当时，为减函数，A错误；


对于B选项，，为奇函数，根据幂函数性质可知，在定义域上单调递增，B正确；


对于C选项，为奇函数；


为增函数为减函数


为增函数，C正确；


对于D选项，当时，为减函数，D错误.


故选：BC


【点睛】


本题考查函数的单调性与奇偶性，是中档题.本题解题的关键是由新定义得“理想函数”为定义域内是增函数，且为奇函数，再根据奇偶性的定义与单调性定义判断即可.


22．（2020·河北正中实验中学高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，下列命题正确的是（ ）


A．B．


C．D．


【答案】CD


【分析】


令，可判定A、B不正确；设，其中为的整数部分，为小数部分，结合“高斯函数”，可判定C、D正确.


【详解】


对于A中，例如，，所以不正确；


对于B中，例如，所以不正确；


设，其中为的整数部分，为小数部分，即，


对于C中，，所以是正确的；


对于D中，，


若，可得，；


若，可得，，


所以D是正确的.


故选：CD.


【点睛】


对于函数的新定义试题的求解：


1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；


2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.





第II卷（非选择题）


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三、解答题


23．（2020·广西高一期中）已知函数是R上的奇函数(a为常数)，


（1）求实数a的值；


（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围.


【答案】（1）1；（2）.


【分析】


（1）为上的奇函数，由得解；


（2）由“任意，总存在，使得成立”得到等价命题是


“在上的取值集合是在上的取值集合的子集”，分别求出两个函数的值域得解.


【详解】


（1）因为为上的奇函数，


所以，即，解得


（2）因为，且在上是减函数，在上为增函数


所以在上的取值集合为.


由得是减函数，


所以在上是减函数


所以在上的取值集合为.


由“任意，总存在，使得成立”


在上的取值集合是在上的取值集合的子集，


即.


则有，且，解得：.


即实数的取值范围是.


【点睛】


探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；类似的，对于不等式，也可仿效此法．


24．（2020·浙江杭州·高一期中）已知，函数，.


（1）若，恒成立，求实数的最小值；


（2）若，求的最大值.


【答案】（1）3；（2）.


【分析】


(1) 恒成立，只需即可，故只需求出当时，分段函数的最大值即可；


(2)函数可化为，对两段中的二次函数的对称性，，分段点与区间的位置关系分类讨论，即可求出的最大值.


【详解】


(1)当时，，


当时，，所以；


当时，，所以，


所以函数在上的最大值为，


因为恒成立，所以只需即可，所以，


所以最小值为.


（2）由已知得，


因为，所以，


①当且，即时，


a.当时，，


函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，


此时函数，


所以，


b.当时，，此时，


c.当时，，


所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，所以，


d.当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，


此时，


②当且，即时，


函数在上单调递增，在上单调递减，此时，


③当，即时，函数在上单调递增，此时函数，





综上：.


【点睛】


关键点点睛：本题主要考查求含参分段函数的最值，解决本题的关键是确定分类讨论的讨论点，准确的划分讨论段.


25．（2020·浙江杭州·高一期中）已知幂函数为偶函数．


（1）求的解析式；


（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围．


【答案】（1）；（2）.


【分析】


（1）利用幂函数定义求参数a的值，再根据偶函数的性质确定a值，即得解析式；


（2）利用二次函数性质列关系，即解得参数范围.


【详解】


解：（1）由题意，解得或，


时，不是偶函数，舍去，时，是偶函数，


所以；


（2）， 的对称轴是.


若在上不是单调函数，则，


故实数的取值范围是.


26．（2020·江苏扬中市第二高级中学高一期中）已知定义域为的函数是奇函数.


（1）求的值；


（2）用定义证明在上是减函数；


（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.


【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.


【分析】


（1）由奇函数的性质可得，即可求出；


（2）任取，计算化简判断正负即可证明；


（3）利用奇函数将不等式化为，再利用单调性即可求出.


【详解】


解：（1）是上的奇函数，，；


（2），


设，





，





所以是上的减函数.


（3），


是上的奇函数，


又是上的减函数，


，即在上恒成立，


，即.


【点睛】


方法点睛：利用定义证明单调性的步骤，


（1）在定义域内任取，


（2）计算化简，


（3）判断的正负，


（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.


27．（2020·四川省冕宁中学校高一期中）已知函数.


（1）求函数的分段解析式及单调区间


（2）作图求时，函数的最大值.


【答案】（1），单调增区间是和,单调减区间为.（2）答案见解析.


【分析】


（1）对函数去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断．


（2）令（），解出，对实数的范围分类讨论求解．


【详解】


（1）， 由分段函数的图象知,





函数的单调增区间是和,单调减区间为.


（2）当时，解得，


所以当时，函数的最大值为，


当时，函数的最大值为；


当时，函数的最大值为.


【点睛】


方法点睛：（1）对于分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.


（2）求在不定区间上的最值，需分类讨论，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.


28．（2020·山东省实验中学高一期中）已知函数．


（1）解不等式；


（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．


【答案】（1）；（2）．


【分析】


（1）根据，，进行分类讨论，将求解出的结果取并集即可得到不等式解集；


（2）将问题转化为“对任意实数都成立”，根据已知条件先求解出的取值范围，然后可求解出的取值范围，则的取值范围可求.


【详解】


（1）由题意，


①时，，不等式无解；


②时，，解得；


③时，，解得；


综上不等式的解集为．


（2）①时，；


②时，，所以；


③时，；


所以


所以，因为对任意实数都成立


所以．


【点睛】


思路点睛：已知为分段函数，求解形如的不等式解集的思路：


（1）分别考虑每一段定义域下的解集，同时注意前提条件；


（2）将每一段定义域下的解集取并集即可得到不等式的解集.


29．（2020·常州市北郊高级中学）已知函数.


（1）若，，成立，求实数m的取值范围;


（2）若，，成立，求实数a的最大值;


（3）函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.


【答案】（1）（2）（3）


【分析】


（1）转化为，利用二次函数单调性求出最大值即可得解；


（2）将不等式化为恒成立，利用可解得结果；


（3）因为在区间上单调递减，设，则，即对任意的恒成立，根据可得，得即为所求.


【详解】


（1）若，在上递减，在上递增，


所以，


因为对，即成立，所以.


（2）若，，成立，


则，即，


因为，，所以，即恒成立，


因为，所以，得，所以实数a的最大值为.


（3）在区间上单调递减，


设，则


对任意的恒成立，


因为，所以，即对任意的恒成立，


因为，所以，即.


【点睛】


结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：


①若在上恒成立，则；


②若在上恒成立，则；


③若在上有解，则；


④若在上有解，则；


30．（2020·浙江高一期中）设函数.


（1）若函数为偶函数，求实数的值；


（2）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围.


【答案】（1）0；（2）.


【分析】


（1）由为偶函数有即可求的值；


（2）由绝对值不等式及函数不等式在区间有解，讨论，应用参变分离将问题转化为不等式能成立问题即可求的取值范围.


【详解】


（1）因为为偶函数，则有，即，解得.


（2）①当时，有解，即有解，


，所以当且仅当时等号成立；


②当时，有解，即有解，


，所以当时等号成立；


综上，实数的取值范围是.


【点睛】


结论点睛：本题考查不等式的有解问题，可按如下规则转化：一般地，将函数不等式转化为或在区间能成立.


（1）即在相应区间内仅需即可.


（2）即在相应区间内仅需即可.


31．（2020·浙江高一期中）已知函数，.


（1）用定义法证明函数在区间上单调递增；


（2）若，求实数的取值范围.


【答案】（1）证明见解析；（2）.


【分析】


（1）先设两个变量并给定大小关系，然后计算，并根据与的大小关系证明出的单调性；


（2）根据的解析式，将分为三类情况：，，，分别求解出的取值范围，最后取并集即可得到结果.


【详解】


（1）证明：任取且，


所以 ，


又因为，所以，所以，


所以，所以函数在区间上单调递增；


（2）因为，在上单调递减，在上单调递增：


①当时，必有，所以不合题意；


②当时，；


③当时，恒成立.


综上，实数的取值范围为.


【点睛】


思路点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：


（1）设：设两个自变量，并给定大小关系；


（2）作差：计算；


（3）变形：将的结果化简至容易判断出正负；


（4）判号：根据的化简结果并结合的大小，判断出的正负；


（5）下结论：说明的单调性.


32．（2020·河南高一月考）函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.


（1）求函数的解析式；


（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.


【答案】；（2）.


【分析】


（1）由为奇函数，则当时，，所以从而得出答案.


(2) 当时，，可得函数在上单调递减，从而可得到函数在实数集上单调递减；则即为，利用单调性可得，然后再分离参数法可求得参数范围，得出答案.


【详解】


因为当时，，所以，当时，，


又因为是定义在实数集上的奇函数，所以，，


即当时，.


所以，函数的解析式为；


（2）当时，，


所以，函数在上单调递减，且，


又因为是定义在实数集上的奇函数，


所以，函数在上单调递减，且时，，


所以，函数在实数集上单调递减；


那么，不等式，


即：，


则有，即恒成立，


所以，，


所以，实数的取值范围是.


【点睛】


关键点睛：本题考查由奇函数的定义求函数解析式和利用单调性解不等式，利用分离参数法求参数范围，解答本题的关键是先由函数的解析式结合奇函数的性质得到函数在实数集上单调递减，将化为，根据单调性得到，再分离参数有，属于中档题.


33．（2020·南昌市新建一中高一月考）已知函数.


（1）若函数的最小值为且，，求的值.


（2）若，且在区间上恒成立，试求的取值范围.


【答案】（1）8；（2）.


【分析】


（1）由题可得，，且，求出即得解析式，即可求出，得出结果；


（2）可得在上恒成立，即且在上恒成立


求出的最小值和的最大值即可得出.


【详解】


解（1）由已知，，且.


解得，.


∴.


∴，


∴；


（2）可得，则本题等价于在上恒成立，


即且在上恒成立.


又的最小值为0，的最大值为.


∴，


故的取值范围是.


【点睛】


关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为且在上恒成立，然后求最值即可解决.


34．（2020·重庆市彭水第一中学校高一期中）已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.


（1）请直接写出函数的所有的“和谐区间”；


（2）若为函数的一个“和谐区间”，求的值；


（3）求函数的所有的“和谐区间”.


【答案】（1）、、；（2）；（2）和.


【分析】


（1）本题可令，解得或，然后根据函数的单调性以及“和谐区间”定义即可得出结果；


（2）本题首先可将函数转化为，然后令，解得或，最后绘出函数图像，结合函数图像即可得出结果；


（3）本题可令，解得或，然后结合函数图像即可得出结果.


【详解】


（1）函数是增函数，定义域为，


令，解得或，


故函数的所有“和谐区间”为、、.


（2）因为，所以，


因为为函数的一个“和谐区间”，


所以可令，解得或，


如图所示，绘出函数图像：





结合“和谐区间”的定义易知，当时满足题意，


故的值为.


（3）函数，定义域为，


令，解得或，


如图所示，绘出函数图像：





结合图像易知，函数的所有“和谐区间”为和.


【点睛】


关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.


35．（2020·榆树市第一高级中学校高一期中）已知函数．


（1）判断并证明函数的奇偶性．


（2）若定义域为且为增函数解不等式．


【答案】（1）奇函数；证明见解析 （2）.


【分析】


（1）先判断奇偶性，然后根据奇偶性的定义去证明的奇偶性；


（2）根据奇偶性将不等式变形为，然后根据单调性和定义域列出关于的不等式组，求出解集.


【详解】


解：（1）为奇函数，证明如下：


∵定义域为关于原点对称，又，


∴为奇函数．


（2）由（1）可知：，


则，解得：，


所以原不等式的解集为．


【点睛】


思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：


（1）利用奇偶性将不等式变形为；、


（2）根据单调性得到与的大小关系；


（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.


36．（2020·陕西高一期中）已知定义域为的函数是奇函数


（1）求的值.


（2）判断函数在上的单调性并证明你的结论.


【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析.


【分析】


（1）由为奇函数，则，再检验可得答案.


（2）利用定义法证明函数单调性的步骤直接求解即可.


【详解】


（1）解：由题得，，所以


经检验当时，函数，满足是奇函数，所以.


（2）解：在上单调递增.


证明如下：在上任取，设，则





又，


单调递增


，，


在上单调递增.


【点睛】


思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：


(1)在给定的区间内任取变量，且设.


(2)作差变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.


(3)判断符号，得出的大小.


(4)得出结论.


37．（2020·辽宁高一月考）已知二次函数


（1）若函数为偶函数，求的值


（2）若函数在区间上的最大值为，求的最小值


【答案】（1）；（2）1.


【分析】


（1）由偶函数定义求解；


（2）根据对称轴与所给区间的关系分类讨论求出，然后再得最小值．


【详解】


（1）因为是偶函数，所以，即，恒成立，所以；


（2），


当，即时，，


当，即时，，


当，即时，，


综上，．


从而时，，时，，时，．


所以的最小值为1．


【点睛】


方法点睛：本题考查函数的奇偶性，考查求二次函数的最值．对含有参数的二次函数，需要按照对称轴与给定区间的关系分类讨论求得函数最值．


38．（2020·东宁市第一中学高二月考）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请根据图像：





（1）补全图像；


（2）写出函数的解析式；


（3）若函数，求函数的最小值和最大值.


【答案】（1）图象见解析；（2）；（3），.


【分析】


（1）根据奇函数图像关于原点对称，补全图像即可；


（2）设，则，代入时，的解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案；


（3）由（2）可得，为开口向下，对称轴方程为的抛物线，讨论对称轴的位置，即可求得不同的最大值，最小值，分析整理，即可得答案.


【详解】


（1）如图所示；


（2）设，则，函数是定义在R上的奇函数，且当时，，


∴，


∴.


（3），对称轴方程为，


当，即时，为最小值，为最大值；


当，即时，为最小值，为最大值；


当，即时，为最小值，为最大值；


当，即时，为最小值，为最大值.


综上，，.


【点睛】


解题的关键是熟记奇函数的定义及图像，即，图像关于原点对称，易错点为解析式需写成分段函数形式，难点在于对于“动轴定区间”问题，需讨论对称轴的位置，再结合二次函数的开口，即可求得最值问题，属中档题.


39．（2020·河北正中实验中学高一月考）已知定义在上的函数对任意，都有等式成立，且当时，有．


（1）求证：函数在上单调递增；


（2）若，关于不等式恒成立，求的取值范围．


【答案】（1）证明见解析；（2）.


【分析】


（1）先设两个变量并给定大小关系，通过将变形为，再根据已知条件得到的大小关系，从而判断出为单调增函数；


（2）利用已知条件将原不等式变形为，然后根据的单调性以及不等式恒成立思想求解出参数的取值范围.


【详解】


（1）任取，，且，则，∴


因为，所以


所以，故在上是单调递增函数．


（2），∴，


原不等式等价于，


因为在上是单调递增函数，故恒成立，


恒成立


，当且仅当时取等号


所以


所以．


【点睛】


思路点睛：用定义法证明函数单调性的一般步骤：


（1）设：设两个自变量，并给定大小关系；


（2）作差：计算；


（3）变形：将的结果化简至容易判断出正负；


（4）判号：根据的化简结果并结合的大小，判断出的正负；


（5）下结论：说明的单调性.





四、双空题


40．（2020·浙江高一期中）已知函数，则函数是________函数（填奇偶性）；若，则实数的取值范围为________.


【答案】奇


【分析】


利用定义证明奇偶性即可，由函数解析式知在和上递减，上递增且极小值、极大值，即可求的取值范围.


【详解】


令，则，


∴由题意知：，且，


同理，x > 0时也有f(-x) = -f(x)，





∴是奇函数.


又∵在和上单调递减，上单调递增，


∴有极小值，极大值，


而，即改写为，


∴，即.


故答案为：奇，.


【点睛】


关键点点睛：由定义证明函数的奇偶性，并结合函数的单调性、极值解不等式求参数范围.





五、填空题


41．（2020·北京临川学校高一期中）已知函数，满足对任意的实数，都有，则的取值范围是___________.


【答案】.


【分析】


求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可.


【详解】


由题意得：在上单调递减，


故，解得，


即的取值范围是，


故答案为：.


【点睛】


易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式.


42．（2020·汕头市澄海中学高三月考）设函数，则使得成立的的取值范围是______．


【答案】


【分析】


由得出函数是偶函数，再判断为负，去掉绝对值符号，判断函数的单调性，将原不等式等价于，解之可得答案.


【详解】


根据题意，函数，其定义域为，


有，即的偶函数，


当时，，则有，


则有，则当时，


，


函数和在区间上都是增函数，则在上为增函数，


，


变形可得：，即，解可得：或，


即的取值范围为；


故答案为：.


【点睛】


本题考查求解抽象不等式，关键在于判断函数的奇偶性和单调性，属于中档题.