专题五 导数的运算及在函数性质中的应用-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题五 导数的运算及在函数性质中的应用
一、单选题
1．（2020·全国高二单元测试）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.给出下列四个命题：
①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；
③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx；
④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex.其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
确定直线是点处的切线方程，再判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的关系可得结论．
【详解】
解：y＝x3的导数为y′＝3x2，可得切线方程为y＝0，即x轴，
而时，，时，，∴直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3，①正确；
由lnx的导数为，可得切线方程为y﹣0＝x﹣1，
且y＝lnx﹣（x﹣1）的导数为y′＝﹣1，
当x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，
可得x＝1处y＝lnx﹣x+1的最大值为0，
则lnx≤x﹣1，
②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx不正确；
y＝sinx的导数为y′＝cosx，
可得在点P（π，0）处切线方程为y﹣x+π，
由y＝sinx和直线y＝π﹣x可得切线穿过曲线，
直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx，故③正确；
y＝ex的导数为y′＝ex，可得在点P（0，1）处切线为y＝x+1，
令，则，时，，时，，即在上递减，在上递增，∴时，，即，
直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex不正确.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧，函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论．
2．（2020·全国高三月考（理））已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
方程有三个解转化直线与函数有三个交点，作出函数的图象，作出直线，可知，只要求得直线与函数的图象相切的什值，即可得结论．
【详解】
转为直线与函数有三个交点.
显然当时，有一个交点：当时，只需与有两个交点即可.
由，得，与相切时，切点坐标为，
此时.
由图象可知，当时，关于的方程有三个不等的实数根．
故选：B．

【点睛】
关键点点睛：本题考查方程根的个数问题，解题方法是转化为直线与函数图象交点个数，进而转化为研究函数的性质，本题是用导数求出函数的切线方程方程．然后结合图象可得结论．
3．（2020·全国高三月考（理））直线与函数的图象相切于点，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
由切线的斜率计算两次可得，再对等式变形，两边取对数，即可得答案；
【详解】
由已知，且.
因为，所以，即，
所以，所以，即，
两边同时取自然对数得，
整理的，
故选：B.
【点睛】
曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.
4．（2020·内蒙古呼和浩特·高三月考（文））设曲线在处的切线与直线平行，则实数等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．
【详解】
切线与直线平行，斜率为，
又，
所以切线斜率，所以的斜率为，
即．
故选：C．
【点睛】
思路点睛：该题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，解题思路如下：
（1）对函数求导；
（2）将自变量代入求得相应点处的导数值，即曲线在该点处的切线斜率；
（3）利用直线平行斜率相等，列出等量关系求得结果.
5．（2020·江苏高三期中）已知，，记，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】D
【分析】
设，，，，点在函数的图象上，点在直线上，则的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出的最小值为两直线平行时的距离，即可得到的最小值，并可求出此时对应的从而得解．
【详解】
解：设，，，，
点在函数的图象上，点在直线上，
的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方．
由，得，与直线平行的直线的斜率为．
令，得，则切点坐标为，
切点到直线的距离．
即的最小值为．
又过且与垂直的直线为，即，
联立，解得，
即当最小时，．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
6．（2020·河南高三月考（理））若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A． B．1 C．或3 D．3
【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义求出曲线在处的切线，将切线斜率代入到中，求出切点坐标，根据切点在曲线上可得的值.
【详解】
由得，，故，
故切线方程为.
由得.
令，解得.
代入切线方程，求得切点为或.将切点坐标代入，求得或.
故选：C.
7．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））若实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将题意转化为求函数与直线上任意两点之间距离的最小值的平方的问题，利用导数的几何意义，即可容易求得结果.
【详解】
因为，故可得，，
故点可理解为函数上的任意两点.
又，令，故可得，
即函数在处的切线与平行，
又切线方程为：，
则函数在处的切线方程与直线之间的距离
，
故的最小值即为.
故选：.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，注意本题对目标式的转化才是本题的关键，属综合中档题.
8．（2020·安徽高三开学考试（理））若函数满足，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】
求导得到，取带入计算得到答案.
【详解】
，则，
则，故.
故选：C.
【点睛】
本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
9．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；
【详解】
因为
所以
所以
故选：B
【点睛】
本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.
10．（2019·重庆高三期中（文））记函数的导函数为，则函数在内的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先对函数求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间.
【详解】
，
，
，
令，
解得，
在内的递增区间为.
故选：.
【点睛】
本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.
11．（2020·安徽高三其他模拟（文））函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用确定正确选项.
【详解】
，由此排除BD选项.
当时，，
，
，由此排除A选项.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.
12．（2020·四川高二期中（理））若函数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】
先对函数求导，采用赋值的方式计算出的结果，由此计算出的值.
【详解】
因为，所以令，则，
所以，则，
故选：B.
【点睛】
本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般.
13．函数的导函数为，若对于定义域为任意，有恒成立，则称为恒均变函数.给出下列函数：
①；②；③；④
其中为恒均变函数的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④
【答案】B
【分析】
针对每一个函数，分别计算出与，检验两者是否恒相等，即可得解.
【详解】
对于①，，，满足，故①为恒均变函数；
对于②，
，，满足，
故②为恒均变函数；
对于③，当，时，，即此时，故③不为恒均变函数；
对于④，当，时，，
，
即此时，故④不为恒均变函数.
故选：B.
【点睛】
本题考查了导数的计算，考查了运算能力和对于新概念的理解，属于中档题.
14．（2020·江西高二期末（理））若函数的导数满足，则（ ）
A．e B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】
求导得，令，可求出的值，从而得的解析式，再代入，即可得解.
【详解】
∵，
∴，
令，可得，
解得，
因此，
，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则，求导公式，考查了运算能力，属于中档题.
15．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m的取值范围即可.
【详解】
解：函数在上有两个零点，等价于与有两个不同的交点，恒过点，设与相切时切点为，因为，所以切线斜率为，则切线方程为，当切线经过点时，解得或（舍），此时切线斜率为，由函数图像特征可知：函数在上有两个零点，则实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.
16．（2020·广西高二月考（理））已知的导函数为且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
对函数求导，将代入导数中可得，从而得到函数解析式，将代入函数解析式可得答案.
【详解】
，则，
令得，解得，
则，
将代入上式得，
故选：D
【点睛】
本题考查导数的四则运算，考查特殊函数的导数公式，属于简单题.
17．已知函数，其导函数为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
计算得到，，代入数据得到答案.
【详解】
函数，
，，
，
故答案选.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，计算出是解题的关键.
18．已知函数的对称中心为，且点M在函数图象上，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则可求得( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据求出函数的对称中心，可知，再利用倒序相加求和法即可求出．
【详解】
因为，所以由解得，故函数的对称中心为，即．
设①，
则②，
①②得，，即．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查函数新定义的理解和运用，导数的计算，以及函数对称中心的性质应用，属于基础题．
19．已知，其导函数是，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出和，可得出的表达式，进而可计算得出的值.
【详解】
，其中且，
，
，，则，
因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.
20．（2020·开原市第二高级中学高三月考）已知函数，其中为函数的导数，则（ ）
A．2 B．2019 C．2018 D．0
【答案】A
【分析】
函数分离常数可得，令，证明函数是奇函数可得是偶函数，则，，即可代入求解所求式子.
【详解】

令，则有
因为的定义域是R，
所以是奇函数，所以是偶函数，
所以，，
所以
.
故选：A
【点睛】
本题考查导数的概念及计算、函数的奇偶性，属于中档题.
21．（2020·宁夏高三月考（理））已知是函数的导函数，且对任意实数都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
令，由导数的运算法则得出，从而得出，再由得出的值，从而得出的解析式，最后解一元二次不等式即可得出答案.
【详解】
解：令，则
可设，，∴，所以
即
解不等式，所以，解得
所以不等式的解集为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了导数运算法则的应用以及一元二次不等式的解法，属于中档题.
22．（2020·吉林蛟河一中高三月考（理））已知：函数，其导函数.若函数的导函数，且，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
求出函数的解析式，计算的值即可.
【详解】
由题意设，则，符合题意
故，解得：，
故，，
故选：C．
【点睛】
本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.
23．（2020·湖南高三其他模拟（理））函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先判断函数的奇偶性，再根据函数在处的导数值正负，判断函数在该点的斜率正负即可.
【详解】
，
为奇函数，故A，C错误；
，
，故图象在处的切线斜率为负，故D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查给定函数选函数的图象，此类题型先观察选项的不同之处，一般先判断函数的奇偶性，然后取特殊值代入计算，或利用单调性判断.
24．（2020·全国高二单元测试）已知函数f(x)＝（1﹣）ex，若同时满足条件：①∃x0∈（0，+∞），x0为f(x)的一个极大值点；②∀x∈（6，+∞），f(x)＞0.则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，6] B．[6，+∞）
C．（﹣∞，0）∪[6，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，6]
【答案】A
【分析】
条件①说明在上存在零点，极大值点，利用方程的根可得的范围，然后求出条件②不等式恒成立的范围，求交集可得的范围．
【详解】
由于f(x)＝（1﹣）ex，
则f′(x)＝ex＝•ex，
由∃x0∈（0，+∞），x0为f(x)的一个极大值点，
故，解得a＞4；
令f′(x)＝0，则x1＝，x2＝，
故函数f(x)在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减
由于∀x∈（6，+∞），f(x)＞0，故只需f(x)在（6，+∞）上的最小值大于0即可，
当x2＞6，即a＞时，函数f(x)在（6，+∞）上的最小值为f（x2）＝＞0，此时无解；
当x2≤6，即a≤时，函数f(x)在（6，+∞）上的最小值为f（6）＝≥0，解得a≤6.
故实数a的取值范围为4＜a≤6，
故选：A.
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值.
25．（2020·全国高二单元测试）已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：函数为y＝f(x)偶函数，且当x∈（﹣∞，0），f(x)+xf′(x)＜0成立（f′(x)是函数f(x)的导函数）.若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【答案】D
【分析】
构造函数g(x)＝xf(x)，判断函数的单调性，利用单调性可得答案.
【详解】
f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f(x)+xf′(x)＜0，
令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)+xf′(x)＜0，
∴g(x)在x∈（﹣∞，0）上是减函数，
由g(x)为奇函数，可得在（0，+∞）上是减函数，
∴g(x)在R上为减函数.
∵＝2＞ln2＞﹣1，
∴a＞b＞c.
故选：D.
【点睛】
构造函数并根据已知条件利用导数判断函数的单调性是常用的方法，有时还结合函数的单调性奇偶性等，考查分析问题解决问题的能力.
26．（2020·浙江高二期中）如果不等式对于恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分、、三种情况讨论，利用参变量分离法计算出实数在各种情况下的取值范围，综合可得出实数的取值范围.
【详解】
由已知，不等式对于恒成立.
①当时，则有恒成立，此时；
②当时，由可得，
令，，
所以，函数在区间上为增函数，则，则，得；
③当时，由可得，
令可得，列表如下：










极大

此时，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，
，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
27．（2020·浙江高二期中）已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得，利用导数求出函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
由题意可知，存在，使得，则.
，则，
当时，，
所以，函数在区间上单调递增，则，，
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
28．（2020·江西南昌十中高三期中（文））已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
函数有两个零点，即方程有两个根，设，求出，研究出函数的单调性，由的图象与有两个交点，得出参数的范围，即得结果.
【详解】
函数有两个零点，
由题意得方程有两个根，设，则与有两个不同的交点，又，
设，则
所以在上单调递减，又
当，所以在上单调递增，
当，所以在上单调递减，
又，，当时，，则，即在上单调递减，但恒正.
作出函数的大致图象如下：

要使的图象与有两个交点，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
29．（2020·和县第二中学高二期中（文））已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，根据导数可判断函数单调递减，由，结合函数定义域可解得.
【详解】
令，，则，
因为，所以，所以函数在上单调递减．
因为，，所以，
即，所以且，解得，
所以实数的取值范围为．
故选D．
【点睛】
易错点点睛，本题的容易忽略定义域，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.
30．（2020·黑龙江大庆·铁人中学高三期中（理））已知函数是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，根据题意，可得函数的奇偶性，根据时，对函数求导，可得函数的单调性，将，左右同乘，可得，即，利用的性质，即可求得答案.
【详解】
∵，∴，
令，则，即为偶函数，
当时，
∴，即函数在上单调递增.
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故选：B.
【点睛】
解题的关键是将题干条件转化为，根据左右相同的形式，构造函数，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于，不符合函数的形式，需左右同乘，方可利用函数的性质求解，属中档题.
31．（2020·河南三门峡·高二期中）设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，用导数法得到在上递减；再根据，则在上递减，然后再根据对任意，都有，由求解.
【详解】
设，
则，
当或时，递增；
当时，递减；
当时，Ü，
所以在上递减；
所以在上递减；
所以
因为任意，都有，
所以，
即，
即，
解得或，又，
所以实数的取值范围为，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题关键有两点：一是对任意，都有等价于，二是在上的单调性，由，利用导数法求解.
32．（2020·扶风县法门高中高三月考（文））已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求导数，利用单调性转化为，构造新函数求解的最小值即可.
【详解】
，由题意可知在恒成立，
即恒成立，
设，
时，，为减函数；
时，，为增函数；
的最小值为，所以，
故选：A.
【点睛】
利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：
（1）在区间上单调递增等价于在区间上恒成立；
（2）在区间上单调递减等价于在区间上恒成立.
33．（2019·山西高三月考（文））已知函数，过点可作曲线的三条切线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点可作曲线的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．
【详解】
解；设切点坐标，
∵，∴
∴曲线在处的切线斜率为
又∵切线过点，
∴切线斜率为，
∴
即  ①
∵过点可作曲线的三条切线，
∴方程①有3解．
令，
则图象与x轴有3个交点，
∴的极大值与极小值异号
，令，得或1，
∴，即（m＋3）（m＋2）＜0
解得−3＜m＜−2
故选：D．
【点睛】
方法点睛：１.准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将切线的条数转化为函数的零点个数，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．
２.当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.

二、多选题
34．（2020·吕叔湘中学高二期中）过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
设切点坐标为，利用导数的几何意义求切线方程，代入点后，转化为关于的一元二次方程，由条件可知方程有两个不等实数根，求的取值范围.
【详解】
设切点坐标为，因为，所以，
所以切线方程为，将点代入可得，化简得，过点作曲线的切线有且仅有两条，即方程有两个不同的解，则，解得：或，故实数的取值范围是.
，所以由选项判断可知正确.
故选：BCD
【点睛】
思路点睛：当过定点的直线与曲线有两条切线时，转化为关于切点的方程有两个实数根，利用判别式可以求得实数的取值范围.
35．（2020·辽宁沈阳·高三期中）已知函数，若函数有4个零点，则的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
求得解析式，令，将问题转化为的图象与的图象有四个不同的交点来求解出的取值范围，由此确定正确选项.
【详解】
当时，，所以，
所以.
令，得，
依题意，的图象与的图象有四个不同的交点，画出和的图象如下图所示.

当时，，则，所以，，
所以过的切线方程为，即，故此时切线方程过原点.也即与只有个公共点，不符合题意.
所以由图可知，要使的图象与的图象有四个不同的交点，
需，即，故CD正确，AB错；
故选：CD.
【点睛】
方法点睛：
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
36．已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的极小值为1
B．函数在上单调递增
C．，使得
D．若，恒成立，则整数的最小值为2
【答案】BCD
【分析】
根据导数研究函数的单调性和最值，对各个项逐个分析判断，即可得解.
【详解】
对A项，由已知，，则，故当时，，当时，，所以函数的极小值为，故A项错误.
对B项，由A项分析可知恒成立，故函数在上单调递增，故B项正确.
对C项，记，则，令，解得，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增.又，，所以在上存在唯一的，使得，即，C项正确.
对D项，记，则，由C项可知，当时，，单调递增；又，所以当时，，单调递减.所以当时，，因为，所以，所以，由，可得.因为，恒成立，且，所以整数的最小值为2，D项正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了导数在研究函数中的应用，考查了求函数的单调性和最值，计算量相对较大，属于中档题.
本题的重点是：解决含参数的不等式的恒成立问题，其处理方法有：
①的图象恒在图象的上方；
②构造函数法，一般构造，转化为；
③参数分离法，将不等式等价变形为或的形式，进而转化为求函数的最值.

第II卷（非选择题）

三、解答题
37．（2020·广东深圳外国语学校高三月考）已知为实数，函数.
（1）若，求实数的值并求出函数在处的切线方程；
（2）设为在区间上的最小值，请写出的表达式.
【答案】（1），切线方程为；（2）.
【分析】
（1）利用导数的应算法则求得导函数，由已知条件得到a的值，进而求得x=4处的切线斜率，和切点纵坐标，利用点斜式写出切线方程；
（2）对于导函数，根据导函数在[0,2]上的正负情况，对参数a进行分类讨论，考察不同情况下函数的单调性，进而得到相应最小值关于a的函数表达式，最后综合求出g(a)的函数表达式.
【详解】
解析：（1）解：函数的定义域为，
()

则，，则，
则函数在处的切线方程为
（2）().
若，则，在区间上单调递增.
若，令，得，当时，，当时，.
有单调递减区间，单调递增区间
所以若，在上单调递增，
所以.
若，在上单调递减，在上单调递增，
所以.
若，在上单调递减，
所以.
综上所述，，
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的单调性研究含参数的函数的最值问题，与中档题，关键在于分类讨论思想.
38．（2020·天津高三月考）已知，函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（3）讨论函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.
【分析】
（1）由导数的几何意义求解即可；
（2）由函数单调性与导数的关系得出，化简得，结合的最大值，即可得出的取值范围；
（3）分类讨论的值，利用导数得出函数的单调区间.
【详解】
（1）时，的导数为
，
切线
（2）函数的导数为

在上恒成立


∵，∴
（3）

①时
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
②时
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
③时，
函数在区间上单调递减
【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的单调性，在解决问题（2）时，关键是了解函数单调性与导数的关系，将函数在上单调递增，转化为在上恒成立.
39．（2020·江苏高三月考）已知函数，.
（1）当为何值时，直线是曲线的切线；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【分析】
（1）先令，求其导数，设切点为，由直线是曲线的切线，得到，用导数的方法研究函数的单调性，即可求出结果；
（2）先令，对其求导，分别讨论和两种情况，结合题意，即可得到结果.
【详解】
（1）令，，
设切点为，则，，则.
令，，则函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以.
（2）令，则，
①当时，，所以函数在上单调递减，
所以，所以满足题意.
②当时，令，得，
所以当时， ，当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（ⅰ）当，即时，在上单调递增，
所以，所以，此时无解.
（ⅱ）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.
所以 .
设 ，则，
所以在上单调递增,
，不满足题意.
（ⅲ）当，即时，在上单调递减，
所以，所以 满足题意.
综上所述：的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查由切线方程求参数，以及导数的应用，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性、极值等，灵活运用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.
40．（2020·河北高二期末）已知函数
求曲线在点处的切线方程
若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围
【答案】(1) x+y-1=0.
(2) .
【分析】
(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；
(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.
【详解】
（1）因为，所以.
所以
又
所以曲线在点处的切线方程为
即.（5分）
（2）由题意得，，
所以.
由，解得，
故当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以.
又，，
若函数恰有两个零点，
则解得.
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.
41．求下列函数的导数
（1）； （2）；
（3） ；（4）.
【答案】（1）；（2）；
（3） ；（4）.
【分析】
利用基本初等函数的导数公式和简单复合函数的导数运算法则进行求解即可.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）因为，所以，
化简可得，；
（3）因为，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得，
；
（4）因为，所以
化简可得，.
【点睛】
本题考查基本初等函数的导数公式和简单复合函数的导数运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等函数的导数公式是求解本题的关键；属于中档题.
42．（2020·天津滨海新·高三期中）设函数
（1）求函数的极值；
（2）若方程在有两个实数解，求的取值范围；
（3）证明：当时，.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见详解.
【分析】
（1）首先明确定义域，再求导，所以在上单调递增，在上单调递减，即可得解；（2）实际研究直线与函数图像交点有两个的情况，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，方程有两解．（3）首先将两变量分离，这要用到取对数，即因此只需证，即证为单调减函数，可利用导数，再结合（1）的结论可证.
【详解】
（1）由，定义域为，
，
，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以为函数的极大值点，
则函数的极值为.
（2）由（1）知，在上单调递增，
在上单调递减，
又，
∴ ．
∴ 当时，方程有两解．
（3）∵ .
∴ 要证：只需证，
只需证：．
设，
则．
由（1）知在单调递减，
又，
∴ ，
即是减函数，而．
∴ ，故原不等式成立．
【点睛】
关键点睛：要证：只需证，只需证：，构造函数是解决本题的关键.
43．（2020·天津滨海新·高三期中）已知函数.
（1）求的极值；
（2）求在区间上的最小值.
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见详解.
【分析】
（1）对函数求导，由导数的方法，研究函数单调性，进而可得出极值；
（2）分别讨论，，三种情况，由导数的方法研究函数在给定区间的单调性，即可求出最值.
【详解】
（1）由可得，
令，得，
则，随变化，与的情况如下：
























所以的单调递减区间是；单调递增区间是；
所以有极小值，无极大值；
（2）当，即时，在上恒成立，
则函数在上单调递增；
所以在区间上的最小值为；
当，即时；
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上的最小值为；
当，即时，函数在上单调递减，
所以在区间上的最小值为.
综上，当时，在区间上的最小值为；
当时，在区间上的最小值为；
当时，在区间上的最小值为.
【点睛】
方法点睛：
求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要先求出函数在上的极值，再与，比较，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
44．（2020·肥东县综合高中高三期中（文））已知函数，.
（1）求函数在上的最值；
（2）若对，总有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，结合导数可得函数的单调性，即可得解；
（2）转化条件为函数在上单调递增，结合导数可得对恒成立，构造新函数，由导数确定的最大值即可得解.
【详解】
（1），则，令，解得，
当时，；当时，；
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在处取得极小值也是最小值，即；
又，，所以；
所以，；
（2）等价，
令，
因为，总有成立，
所以函数在上单调递增，
所以即对恒成立，
令，则，由得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是由函数单调性的定义转化条件为函数在上单调递增，结合导数将问题转化为恒成立问题后，求得函数最值即可得解.
45．（2020·广东高三月考）已知函数，．
（1）若为负实数, 求函数的极值；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）当时，没有极值；当时，，；当时，，．（2）．
【分析】
（1）首先求出的解析式，再求出导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间与极值；
（2）设（）求出函数的导函数，依题意在时恒成立即可，从而求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1），的定义域为
，
①，即时，在和上递增，在上递减，
，；
②，即时，在上递增，没有极值；
③，即时，在和上递增，在上递减，
∴，．
综上可知：当时，没有极值；
当时，，；
当时，，．
（2）设（），，
设，则，，
，
∴在上递增，∴的值域为，
①当时，，为上的增函数，
∴，适合条件；
②当时，∵，∴不适合条件；
③当时，对于，，
令，，存在，
使得时，．
∴在上单调递减，∴，
即在时，，∴不适合条件．
综上，的取值范围为．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
46．（2020·和县第二中学高二月考（理））设，曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用两直线垂直得斜率乘积为，可得，即可求解.
（2）原不等式可化为对恒成立，构造函数
，将问题转化为，恒成立，再利用导数研究函数在上的单调性，求出最大值即可得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为，
因为直线的斜率为，
所以，所以，所以.
（2）由（1）得：，
由可得：对恒成立，
设，即，，
而，
①若，，，这与题设矛盾，舍去.
②若，方程的判别式，
当，即时，,且当且仅当时，,所以 在上单调递减，
所以，即不等式成立.
当，即时，方程有两根，分别记为，，由韦达定理得：
，，所以：；
当时，，单调递增，则，与题设矛盾，舍去.
综上得：.
【点睛】
思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
47．（2020·和县第二中学高二月考（理））已知函数，是函数的一个极值点.
（1）求的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为.
【分析】
(1)求，由求出的值并经验即可；
(2)利用导数法直接求解即可.
【详解】
解：（1），
依题意得，，即，经检验符合题意.
（2）由（1）得，
，
令得，，，
列表：




3


－
0
＋
0
－

↘

↗

↘
所以的单调递减区间为和，增区间为.
【点睛】
易错点睛：本题考查已知函数极值点求参数，该问题应该注意的事项：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性；求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则；如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，不能用“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.
48．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考（理））已知函数，a为实数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导函数，对和进行比较即可得到的单调性；
（2）根据的取值范围，分和进行求解，当时分离出，根据的单调性，即可得出的取值范围.
【详解】
（1），
当，即时，，在R上单调递增，
当，即时，由得或，由得.
分别在与上单调递增，在单调递减，
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，分别在与单调递增，在单调递减.
（2）由已知得在区间上恒成立，
在区间上恒成立，
当时，；当时，.
而在上单调递增，时，，则.
综上.
【点睛】
本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，属于中档题.
49．（2020·南昌市新建一中高三期中（理））已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）的最大值为0，最小值为.
【分析】
（1）求出的定义域和，分别令，可得答案.
（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，求出极值和函数的端点值可得答案.
【详解】
（1），的定义域为.
∵，∴，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，
∴在上的最大值为.
又，，且.
∴在上的最小值为.
∴在上的最大值为0，最小值为.
【点睛】
把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.
函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的，函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.
50．（2020·四川仁寿一中高三月考（理））已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数（其中是的导函数）有两个极值点、，且，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对函数进行求导，求出点处的切线的斜率，用点斜式求出切线方程；
（2）利用函数有两个极值点，得a与两极值的关系，，，，可得，，令，，求新函数在区间的最值可得其取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，.
而，即，
故所求切线的斜率为，
所以方程为
（2），
则的定义域为，
，
若有两个极值点、，且
则方程的判别式，
且，，
得，且.
所以


设，
则在上恒成立
故在单调递减，
从而，
所以的取值范围是.
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是化简，再构造函数，再利用导数求函数的值域.
51．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据导数的几何意义，先求曲线在点处的切线，再求三角形的面积；（2）首先根据参变分离的方法，分离出，再根据构造函数，利用导数讨论判断函数的单调性，再根据函数有两个零点，求参数的取值范围.
【详解】
解：（1）函数的定义域为，
，
所以曲线在点处的切线的斜率.
又，所以切线的方程为，
即，所以切线与两坐标轴的交点坐标分别为，
，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
（2）方程，即，
因为，所以分离参数得.
记，
则.记，
则，记，
显然，所以函数在上单调递减，
故当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
而，所以函数在上有且仅有一个零点.
所以当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减.
所以当时，，
而，，
由题意，原方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，即直线与函数的图象有两个不同的交点，
数形结合可得实数的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.

四、填空题
52．（2020·北京高三期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【分析】
理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】
①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】
思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.
53．（2020·内蒙古集宁一中高三期中（理））若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【分析】
首先设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得，将问题转化为与 存在两个不同的交点，通过导数研究的图象，从而得到的取值范围.
【详解】
由题意得的定义域为，且，设切点坐标为，则过原点的切线斜率，整理得存在两条过原点的切线，存在两个不同的解.设，则问题等价于于存在两个不同的交点，又当时，，单调递增，当 时，，单调递减，.又当时，；当时，，若于存在两个不同的交点，则.解得.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：
1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；
3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；
54．（2020·安徽高三月考（文））已知函数（为自然对数的底数），则在处的切线方程为_______.
【答案】
【分析】
首先对函数求导，求得，，之后利用点斜式求得直线的方程，得到结果.
【详解】
∵，
∴；
知，，
故可得切线方程为.
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求函数图象在某个点处的切线方程，属于简单题目.
55．（2020·重庆巴蜀中学高三月考）已知，则______.
【答案】
【分析】
求出导函数，分别将代入原函数、导函数，得到关于的方程组，求得即可得答案.
【详解】


，解得，

故答案为： .
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，属于基础题,
56．则______．
【答案】
【分析】
求出函数导数，代入直接计算即可.
【详解】
,

又
，
解得，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了函数的导数的运算法则，求导公式，属于中档题.
57．定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凸函数”.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】
根据题意对函数求二阶导函数，令在区间恒成立，分离参数，解得实数的取值范围即可.
【详解】



在区间上为“凸函数”
在上恒成立
上恒成立
设，，
则
当且仅当时取得最大值，

故答案为：.
【点睛】
本题考查了新定义“凸函数”，考查了分离参数法解决恒成立问题和基本不等式，属于中档题.
58．（2020·四川成都·高三期中（理））若函数只有一个极值点，则的取值范围为________
【答案】
【分析】
函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点，分别讨论、、三种情况，数形结合，分析整理，即可得答案.
【详解】
函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点，
则，易知，
①当时，，显然不合题意；
②当时，，当时，为减函数，
当时，为增函数，
所以为函数唯一极值点，满足题意；
③当时，若为唯一的零点只有唯一解，则，可得无解，即无解，
设，则，当时，，为减函数，
当时，，为增函数，，
所以，经验证满足题意；
④当，若不是唯一的零点，可能有2个或3个零点，当有3个零点时候显然不合题意，当有两个零点时，有一个零点时，，
当有两个零点时，结合题意，为其中一个零点，所以，经验证满足题意；

故答案为：
【点睛】
解题的关键是将只有一个极值点等价为函数只有一个变号零点，分析解析式，数形结合，可得答案，易错点为，x=3为x-3=0和共同零点时，也符合题意，属中档题.
59．（2020·四川成都·高三期中（理））函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是________.
【答案】.
【分析】
原命题等价于有解，再求的最小值即得解.
【详解】
由题意，得，
故存在切点，使得，
所以有解，
因为，所以（当且仅当时取等号），
所以，
即，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：形如的有解问题，等价于，不是，所以本题只要求出的最小值即得解.
60．（2020·全国高二单元测试）对于函数有下列命题：
①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；
②函数f(x)的最小值为；
③该函数图象与x轴有4个交点；
④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.
其中正确命题的序号是_____.
【答案】①②④
【分析】
求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.
【详解】
x≤0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正确；
且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）＝，
x＞0时，f(x)＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有最小值f（1）＝
故f(x)有最小值，②④正确；
令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.
61．（2020·浙江高二期中）的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】
构造函数，分析出函数为偶函数且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出，可得出，由此可解得原不等式的解集.
【详解】
构造函数，该函数的定义域为，
由于函数为偶函数，则，所以，函数为偶函数.
，
当时，，则，所以，函数在上为增函数，
，可得，由可得，即，
所以，，，解得或.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：该题主要考查利用导数求解函数不等式，在解题的过程中，思路如下：
（1）构造函数，利用导数，结合已知条件，判断函数的单调性与奇偶性；
（2）根据题中所给的函数零点，判断函数值符号，可得出不等式，求解即可.

五、双空题
62．（2020·山东高三月考）若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对x(a，b)，都有，则有如下性质：，其中n，，，…，(a，b)．若，则＝_______；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为_______．
【答案】
【分析】
构造函数，，求导，则，由正弦函数的图象可知成立，根据函数的性质，即可求得的最大值．
【详解】
解：设，，则，则，，
有如下性质：．
则，
的最大值为，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．
63．设函数（，，，）若不等式对一切恒成立，则=______，的取值范围为______.
【答案】3
【分析】
由，先求导，则不等式对一切恒成立，即为对一切恒成立，结合三次函数的性质则，然后再利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为，
所以，
因为不等式对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，
解得或（舍去），
所以对一切恒成立，
当时，，成立，
当时，或，不成立，

当时， 则，解得，
当时，，
当时， ，
综上：的取值范围为.
故答案为：①3；②
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立，导数的应用以及函数性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.