专题十二 数列的综合问题-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题十二   数列的综合问题

一、单选题

1．（2020·安徽屯溪一中高一期中）已知数列满足：，．若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·安徽屯溪一中高一期中）已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

3．（2020·安徽屯溪一中高一期中）已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·湖北蔡甸·汉阳一中高三其他（理））已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律,第10行从左向右的第2个数为（    ）

A．47 B．36 C．45 D．68

6．（2020·贵州高一期末）在中，角，，的对边分别为，，，若角，，成等差数列，且直线平分圆的周长，则的面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（理））等比数列的各项均为正数，且，，则（   ）

A． B． C． D．

8．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知数列{}为等差数列，其前n项和为，2a7－a8＝5，则S11为

A．110 B．55

C．50 D．不能确定

9．（2020·浙江永康·高三其他）已知数列满足，，则数列的前10项和为（    ）

A．48 B．49 C．50 D．51

10．（2020·四川德阳·高三其他（理））已知等比数列中，，，则的值为（    ）

A．30 B．25 C．15 D．10

11．（2020·全国高三其他）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．2

12．（2020·河北枣强中学高一期中）已知是等差数列，若，数列满足，则等于（    ）

A． B． C． D．

13．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列的前项的“均倒数”为，又，则（    ）

A． B． C． D．

14．（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的值为（    ）

A． B．8 C．2 D．

15．（2020·四川三台中学实验学校高一开学考试）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．189 B．1024

C．1225 D．1378

二、多选题

16．（2020·全国高三其他）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A．数列为等比数列

B．数列的通项公式为

C．数列为等比数列

D．数列的前项和为

三、解答题

17．（2020·安徽屯溪一中高一期中）

设数列的前项和为，为等比数列，且，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（2020·湖南娄底·高二期末）已知在等比数列中, ,且是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式;

（2）若数列满足,求的前项和.

19．（2020·江苏鼓楼·金陵中学高三其他）设数列的前n项和为，

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．

（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．

20．（2020·江苏南通·高三其他）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，，成等比数列，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）若数列满足，且为整数，求m的值．

21．（2020·贵州高一期末）在等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求数列的前和.

22．（2020·江苏南通·高三其他）已知且，如果数列满足：对于任意的，均有，其中，那么称数列为“紧密数列”.

（1）若“紧密数列”：为等差数列，，求数列的公差d的取值范围；

（2）数列为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的，均有；

（3）数列为“紧密数列”，对于任意的，且成立，求S的最小值.

23．（2020·四川内江·高一期末（文））已知等差数列的前项和为，若，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的实数的范围.

24．（2020·浙江永康·高三其他）已知数列，的前项和分别为，，，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，若对任意的.不等式恒成立，试求实数的取值范围.

25．（2020·全国高三其他）在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答．

设数列的前项和为，若______，，求数列的最大值．

【答案】若选择条件①，则当时，数列的项最大，最大值为；若选择条件②，当时，数列的项最大，最大值为.

26．（2020·河北枣强中学高一期中）在数列中，.

（1）判断数列是否为等比数列？并说明理由；

（2）若对任意正整数，恒成立，求首项的取值范围.

27．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）数列满足，，且对任意，都有.

（1）设，证明：是等差数列，并求的通项公式；

（2）设数列满足，，记表示不超过的最大整数，求不等式的解集.

28．（2021·江西景德镇一中高三月考（文））已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

29．（2020·江苏南京·高三开学考试）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，

（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；

（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．

30．（2020·福建高二学业考试）如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．

（1）求第六排的座位数；

（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？

（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多）

31．（2020·全国高三其他）在①，，是公差为的等差数列；②满足，且这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.已知各项均为正数的数列是等比数列，并且______.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记为数列的前项和，证明：.

32．（2020·云南省下关第一中学高二月考（理））已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且数列的前项和为，求证：.

四、填空题

33．（2020·湖南娄底·高二期末）已知数列的前项和为且，则______.

34．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）在等差数列中，为其前项和，若，，则当______时，最大．

35．（2020·江苏南通·高三其他）设函数，，，取，，，，则，，的大小关系为________.（用“”连接）

36．（2020·辽源市田家炳高级中学校高一期末（文））已知数列的前项和为，，且，则数列的通项公式________.

37．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知数列满足，若，则的最大值为__________．

38．（2020·全国高三其他）已知数列各项均为正数，为其前项和．若，，则______．

39．（2020·全国高三其他）在①，是和的等比中项；②，；③，是方程的一个根，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．

设等差数列的前项和为，______，能否求出数列的通项公式以及前项和．

40．（2020·山东高三其他）在已知数列，①当时，数列中的最大项和最小项的值分别是等比数列中的和的值；②点在直线上，其中是数列的前项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并求数列的前项和.

已知数列，，数列满足______，求数列的前项和.

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.