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专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十九计数原理与概率及其分布原卷版docx、专题十九计数原理与概率及其分布解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
专题十九 计数原理与概率及其分布
一、单选题
1．（2020·佛山市顺德区容山中学月考）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】
4项工作分成3组,可得：=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：种．
故选D.
2．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）在冬奥会比赛中，要从4名男运动员和5名女运动员中，任选3人参加某项比赛，其中男女运动员至少各有一名的不同选法共有
A．140种 B．80种 C．70种 D．35种
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
：从9名运动员中任选3人有84，
从中排除掉仅有男运动员和仅有女运动员的情形，
共（）＝14种情形，
故其中男女运动员至少各有一名的不同选法共有84﹣14＝70
故选：C．
3．（2019·河南中牟·期中（理））某校迎新晚会上有个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，计算出将丙、丁排在一起的排法种数，除以可得出结果.
【详解】
先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，
将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为，
利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，
因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有种，故选A.
【点睛】
本题考查排列组合的综合问题，考查捆绑法的应用，在求解本题中，充分利用对称性思想，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．（2019·河南中牟·期中（理））星期天上午，甲、乙、丙、丁到绿博园、四牟园、湿地公园、蟹岛游玩，每人只去一个地方，设事件为“个人去的地方各不相同”，事件为“甲独自去一个地方”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
甲独自去一个景点，有种方法，其余3人去剩下的3个景点，有种方法，由分步计数原理可求得甲独自去一个景点的有种选择方法.若4个人去的地方各不相同，则属于排列问题，有种.根据条件概率计算公式，即可求出相应的概率.
【详解】
甲单独去一个景点有种方法，
其余3人去剩下的3个景点，有种方法，
则甲独自去一个景点，有种方法，
而4个人去的地方各不相同，有种方法，
则.
故选：A.
【点睛】
本题考查了条件概率，分步乘法计数原理，排列问题，属于中档题.
5．（2020·广东月考）某班级8位同学分成，，三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ）
A．140 B．160 C．80 D．100
【答案】A
【解析】
【分析】
分两种情况讨论即甲､乙两位同学在组或组和甲､乙两位同学在组；
【详解】
甲､乙两位同学在组或组的情况有种，
甲､乙两位同学在组的情况有种，共计140种.
故选：A.
【点睛】
本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.
6．（2020·全国月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，得到基本事件的个数为种，这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有种，
其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有，
根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了古典概型的概率计算，以及组合的概念及组合数的计算，其中解答中正确理解题意，根据组合数的计算公式求得基本事件的总数及所求事件所含有的基本事件的个数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
7．（2020·北京交通大学附属中学期末）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【答案】B
【解析】
【分析】
由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3节，而自习课可以上任意一节.故以生物课（或政治课）进行分类，再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法.
【详解】
由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3、4节，而自习课可以上任意一节.
若生物课排第2节，则其他课可以任意排，共有种不同的选课方法.
若生物课排第3节，则政治课有种排法，其他课可以任意排，有种排法，
共有种不同的选课方法.
所以共有种不同的选课方法.
故选：.
【点睛】
本题考查两个计数原理，考查排列组合，属于基础题.
8．（2020·江苏南通·月考）我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ）
A．30 B．60
C．90 D．120
【答案】D
【解析】
【分析】
将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.
【详解】
由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，
2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为
共60+60=120种，
故选D
【点睛】
本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.
9．（2020·河南月考（理））从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为（ ）
A．40 B．60 C．100 D．120
【答案】B
【解析】
【分析】
先从5名大学毕业生中选派2人到甲地，再从剩余的3人中选1人到乙地，然后从剩余的2人中选派1人到丙地，再利用分布计数原理求解.
【详解】
先从5名大学毕业生中选派2人到甲地有种，再从剩余的3人中选1人到乙地有种，然后从剩余的2人中选派1人到丙地有种，
所以不同的选派方法有种.
故选：B
【点睛】
本题主要考查排列组合的综合应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题..
10．（2020·重庆高二期末）若随机变量服从二项分布，则的期望（ ）
A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.216
【答案】B
【解析】
【分析】
随机变量服从二项分布，则.
【详解】
解：服从二项分布，，
故选：B.
【点睛】
考查求二项分布的期望，基础题.
11．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中期中）某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）
（已知若，则， ， ）
A．1140 B．1075 C．2280 D．2150
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果.
【详解】
由题意得，
因此，
所以，
即分数位于区间分的考生人数近似为，选C.
【点睛】
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.
12．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））已知随机变量服从正态分布N(3, ),则P(＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
服从正态分布N(3,a2) 则曲线关于 对称，．
13．（2020·河北保定·一模（理））抛掷一枚质地均匀的硬币，记为数列的前项和，则且的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件，满足且有如下情况：前3次中出现2次正面向上1次反面向上，后面7次中出现5次正面向上2次反面向上；前3次中出现1次正面向上，2次反面向上，后面7次中出现6次正面向上，1次反面向上，利用次独立重复试验概率公式即可求出答案．
【详解】
由题意知，满足且有如下两种情况：
①前3次中出现2次正面向上1次反面向上，此时，后面7次中出现5次正面向上2次反面向上，其概率为；
②前3次中出现1次正面向上2次反面向上，此时，后面7次中出现6次正面向上1次反面向上，其概率为；
所以且的概率为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查次独立重复试验的概率求法及事件的独立性，解决此类问题的关键是分析题目是否满足独立重复试验概型的条件，若是利用公式计算即可．
14．（2019·浙江省宁波市鄞州中学其他）从装有1个黑球，2个白球和2个红球的盒子里随机拿出2个小球，记拿到红球的个数为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
的可能值为，计算，，，得到数学期望.
【详解】
的可能值为，
，，，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了数学期望的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
二、多选题
15．（2020·唐山市第十一中学开学考试）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.下列正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，则随着的增大而增小
D．若，随机变量所有可能的取值为，且，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
当时，可得，由题中定义可求得的值，可判断A选项的正误；当时，可得出，利用特殊值法可判断B选项的正误；利用对数函数的单调性可判断C选项的正误；求得和的表达式，利用对数函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，当时，，则，A选项正确；
对于B选项，当时，，则，其中，
.
当时，；
当时，.
两者相等，B选项错误；
对于C选项，若，则，
所以，随着的增大而增大，C选项错误；
对于D选项，若，随机变量所有可能的取值为，且，
，
，
，，所以，，
则，所以，，D选项正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查新定义问题，考查随机变量的概率相关命题正误的判断，考查对数函数的单调性的应用，属于中等题.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
16．（2020·山西月考（理））某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种.
【答案】16
【解析】
【分析】
根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可.
【详解】
农场主在中间共有种站法，
农场主在中间，两名男生相邻共有种站法，
故所求站法共有种.
故答案为：16
【点睛】
本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.
17．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有______________种不同的坐法.（用数字作答）
【答案】480
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：可先让4人全排列坐在4个位置上，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，将其插入4个人形成的5个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①先让4人全排列，坐在4个位置上，有A44种排法，
②将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”，
再将2个元素插入4个人形成的5个“空当”之间，有种插法，
所以所求的坐法数为；
故答案为：480.
【点睛】
本题主要考查排列、组合的综合应用，注意人与人之间是不同的，但空位是相同的，属于中档题.
18．（2019·浙江省宁波市鄞州中学其他）五一假期从5月1日至4日调休4天，某班6名同学准备五一期间去参加社会实践做志愿者，每人社会实践一天，且甲乙两人不在同一天的不同安排方案有_________种（用数字作答）．
【答案】3072
【解析】
【分析】
直接利用乘法原理根据排除法得到答案.
【详解】
根据乘法原理和排除法知共有种不同的安排方案.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了乘法原理和排除法，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．（2020·全国月考（理））在抗击“非洲猪瘟”的战斗中，某市场防疫检测所得知一批共10只猪中混入了3只携带病毒的猪，在没有传染扩散前，马上逐个不放回地检测，每次抽中各只猪的机会均等，直到检测出所有病猪就停止检测，则恰在第六次检测后停止的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】
恰在第六次检测后停止说明第六次检测出的为携带病毒的猪，前5只检测的猪有3只健康猪和两只携带病毒的猪，分步计算出前六个位置安排的方法数，结合总的排序数，即可得概率值.
【详解】
恰在第六次停止即前五只猪3好2病，第六只是病猪，
则从7只健康的猪中选择3只种方法，将选出的3只猪排列在前五个位置共有种方法，将前五个位置中的两个空位和第六个位置安排携带病毒的猪共有种方法，
故共有种排列，
前6只猪共有种排列，
故概率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，分步乘法计数原理及概率求法，属于中档题.
20．（2020·福建三明一中月考）把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有______________种．
【答案】
【解析】
【分析】
从张电影票中任选张给甲、乙两人，共种分法；再利用平均分配的方式可求得分配剩余张票共有种分法；根据分步乘法计数原理求得结果.
【详解】
第一步：先从张电影票中任选张给甲、乙两人，有种分法
第二步：分配剩余的张，而每人最多两张，则每人各得两张，有种分法
由分步乘法计数原理得：共有种分法
本题正确结果：
【点睛】
本题考查分步乘法计数原理解决组合应用题，涉及到平均分配的问题，关键是能够准确求解每一步的分法种数.
21．（2020·福清西山学校月考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设事件表示“该选手能正确回答第轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入的值，可得结果；
【详解】
记“该选手能正确回答第轮的问题”为事件，则.
该选手被淘汰的概率：
故答案为：
【点睛】
求复杂互斥事件概率的两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；
(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
22．（2020·福清西山学校月考）某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
在甲、乙、丙处投中分别记为事件，，，恰好投中两次为事件，，发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
【详解】
在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，
恰好投中两次为事件，，发生，
故恰好投中两次的概率P（1），
解得p．
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、解答题
23．（2020·河北保定·一模（理））习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来.”其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代.“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：“.”
(1)求上述英语译文中，，，，四个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)，并比较四个频率的大小；(用“”连接)
(2)在上面的句子中随机取一个单词，用表示取到的单词所包含的字母个数，写出的分布列，并求出其数学期望；
(3)从上述单词中任选两个单词，求其字母个数之和为6的概率，
【答案】(1)0.17，0.10，0.14， 0.69，出现的频率出现的频率出现的频率出现的频率；(2)见解析，；(3)
【解析】
【分析】
(1)数出英语译文中字母个数及，，，四个字母出现的次数，利用频率的计算公式即可得到答案；
(2)求出所有可能取值对应概率，即可写出的分布列，根据分布列利用期望公式即可求出的数学期望；
(3)根据已知条件，上述单词中任选两个单词其字母个数之和为6有两种情况：一种是，中任取一个，再从，任取一个；另一种是含3个字母的4个单词中取两个，从而可求出字母个数之和为6的基本事件的个数，再求出总的基本事件的个数，然后利用古典概型概率计算公式，即可得到答案.
【详解】
(1)英语译文中共有个字母，，，，四个字母出现的次数分别为，，，，
所以它们的频率分别为，，，，
其大小关系为：出现的频率出现的频率出现的频率出现的频率
(2)随机变量的所有可能取值为,
；；；
所以分布列为：
所以其数学期望为
(3)满足字母个数之和为6的情况分为两种情况：
①从含两个字母的两个单词中取一个，再从含4个字母的两个单词中取一个，其取法个
数为，
②从含3个字母的4个单词中取两个，其取法个数为，
故所求的概率为．
【点睛】
本题主要考查频率的求法，数学期望的求法及古典概型的概率计算．
24．（2019·江西修水·期末（理））现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.
（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？
【答案】（1）105种；（2）630种.
【解析】
【分析】
（1）分配方案分步完成即可，育才中学先选4人，星云中学在剩下的人中选2人，最后还有1人到明月湾中学，由乘法原理可得；
（2）分两步：第一步先把7人按4、2、1分成三组，第二步三组分别分到三所学校．
【详解】
解：（1）根据题意，分3步进行分析：
①、在7人中选出4人，将其分到育才中学，有种选法；
②、在剩余3人中选出2人，将其分到星云中学，有种选法；
③、将剩下的1人分到明月湾中学，有1种情况，
则一共有种分配方案；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，有种分组方法，
②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有种情况，
则一共有种分配方案.
【点睛】
本题考查分组分配问题，解题关键是确定完成事件的方法，分类还是分步，然后根据计数原理计算．分组分配问题中要注意分组元素有无区别，是否是平均分组．
25．（2020·江西期末（理））新冠疫情期间，某市欲派甲、乙、丙三位医生去湖北省的A、B、C、D、E五个市支援，三位医生可去相同的市，也可去不同的市.
（1）求甲不去A市、乙不去B市的派遣方法数；
（2）设派到各市的医生人数最多为X，求X的分布列及期望.
【答案】（1）80（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】
（1）基本事件总数．其中，甲去市的方法有：，乙去市的方法有：，甲去市且乙去市的方法有5种，由此能求出甲不去市、乙不去市的派遣方法数．
（2）设派到各市的医生人数最多为，则的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
【详解】
（1）派甲、乙、丙三位医生去湖北省的、、、、五个市支援，
三位医生可去相同的市，也可去不同的市．
基本事件总数．
其中，甲去市的方法有：，乙去市的方法有：，
甲去市且乙去市的方法有5种
甲不去市、乙不去市的派遣方法数为：．
（2）设派到各市的医生人数最多为，
则的可能取值为1，2，3，
，
，
，
的分布列为：
1
2
3
．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，考查离散型随机变量的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
26．（2020·湖南高三月考）疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了A餐、B餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时A、B两种餐盒的配餐比例为3：1.为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，
（1）求抽取的5个餐盒中有三个B餐的概率；
（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B餐盒查看.如果抽出一个是A餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是B餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A、B餐盒的比例.若抽样结束时抽到的A餐盒数以随机变量X表示，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望是.
【解析】
【分析】
（1）用表示“抽取的5个餐盒中B餐盒的个数”，则服从二项分布，即，由此可计算出概率；
（2）的可能取值为：0，1，2，…，.依次计算出概率得分布列，由期望公式写出期望计算式，由数列求和的错位相减法求得结论．
【详解】
解：（1）依题意，随机地抽取一个餐盒得到B餐盒的概率为，用表示“抽取的5个餐盒中B餐盒的个数”，则服从二项分布，即，∴其中有三个B餐盒的概率.
（2）的可能取值为：0，1，2，…，.
，，……，，.
所以的分布列为
X
0
1
2
……
n
P
……
的数学期望为：①
②
①-②得
.
即的数学期望为.
【点睛】
本题考查二项分布，随机变量的概率分布列与数学期望，错位相减法求和．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．
27．（2020·重庆高二期末）某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于，则销售5000件；若气温位于，则销售3500件；若气温低于，则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划，统计了前三年8月份的气温范围数据，得到下面的频数分布表：
气温范围
（单位：）
天数
4
14
36
21
15
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.
（1）求今年8月份这种食品一天销售量（单位：件）的分布列和数学期望；
（2）设8月份一天销售这种食品的利润为（单位：元），这种食品一天生产量为（单位：件），若，求的数学期望的最大值及对应的的值.
【答案】（1）今年8月份这种食品一天的销量的分布列为：
2000
3500
5000
0.2
0.4
0.4
（件）；（2）的数学期望的最大值为11900，此时.
【解析】
【分析】
（1）今年8月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000，分别计算概率，然后求数学期望即可.
（2）根据气温分三段计算利润：若气温不低于，能全部销售，每件的利润是4元，则总利润可求；若气温位于，只能销售3500件，每件的利润是4元，件未能销售，每件折3元，则总利润可求；若气温低于，只能销售2000件，每件的利润是4元，件未能销售，每件折3元，则总利润可求；据此可求出的数学期望的最大值以及对应的的值.
【详解】
解：（1）今年8月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000.
，，.
故的分布列为：
2000
3500
5000
0.2
0.4
0.4
的期望（件）.
（2）由题知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件.
当时，
若气温不低于，则；
若气温位于，则；
若气温低于，则；
此时.
故的数学期望的最大值为11900，此时.
【点睛】
考查随机变量的分布列以及数学期望在实际中的应用，中档题.
28．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中期中）2018以来，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加.某读书APP抽样调查了非一线城市和一线城市各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”.
（1）请填写以下列联表，并判断是否有99%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？
活跃用户
不活跃用户
合计
城市
城市
合计
临界值表：
0.050
0.010
3.841
6.635
参考公式：.
（2）以频率估计概率，从城市中任选2名用户，从城市中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关；（2）分布列见解析；期望为2.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图分别求出城市、中的活跃用户与不活跃用户，即可得出列联表.
（2）由统计数据可知，城市中活跃用户占，城市N中活跃用户占，设从城市中任选的2名用户中活跃用户数为，，设从城市中任选的1名用户中活跃用户数为，服从两点分布，，利用二项分布求出概率即可得出分布列，再利用期望公式即可求解.
【详解】
由已知可得以下列联表：
活跃用户
不活跃用户
合计
城市
60
40
100
城市
80
20
100
合计
140
60
200
计算，
所以有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关.
（2）由统计数据可知，城市中活跃用户占，城市N中活跃用户占，
设从城市中任选的2名用户中活跃用户数为，则
设从城市中任选的1名用户中活跃用户数为，则服从两点分布，
其中.故，
；
；
；
.
故所求的分布列为
0
1
2
3
.
【点睛】
本题考查了列联表、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查了考生的数据处理能力、分析问题的能力，属于中档题.
29．（2020·西藏拉萨中学月考（理））某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：
家庭编号
1
2
3
4
5
6
月收入x（千元）
20
30
35
40
48
55
月支出y（千元）
4
5
6
8
8
11
参考公式：回归直线的方程是：，其中，.
（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；
（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求再利用公式求即可；（2）由超几何分布列分布列求期望即可
【详解】
（1）
所以月支出关于月收入的线性回归方程是：
（2）的可能取值为
故的分布列为：
0
1
2
3
P
数学期望.
【点睛】
本题考查线性回归方程，考查超几何分布的分布列及期望，考查古典概型，准确计算是关键，是基础题
30．（2020·河北衡水·月考（理））近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策.为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占，而务农户中对新政策满意的占.
满意
不满意
总计
非务农
100
务农
总计
（1）完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？
（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望.
附表：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：，其中.
【答案】（1）填表见解析；能；（2）分布列见解析；期望为3.
【解析】
【分析】
（1）根据题意补全列联表，再根据独立性检验的知识求解即可；
（2）根据题意从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是，随机变量满足二项分布，即：，再根据二项分布的知识求解即可.
【详解】
解：（1）根据已知数据得到如下列联表：
满意
不满意
总计
非务农
70
30
100
务农
50
50
100
总计
120
80
200
根据列联表中的数据，得到
的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关.
（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是.
由题意知，
，
，
，
，
，
.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
.
【点睛】
本题考查独立性检验，二项分布，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题.
31．（2020·山西月考（理））已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.
（1）求乙盒中红球个数的分布列与期望；
（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率.
【答案】（1）答案见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意知的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；
（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案.
【详解】
解：（1）由题意知的可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
所以的分布列为
0
1
2
3
所以.
（2）当乙盒中红球个数为0时，，
当乙盒中红球个数为1时，，
当乙盒中红球个数为2时，，
当乙盒中红球个数为3时，，
所以从乙盒中任取一球是红球的概率为.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题.
32．（2020·江西上高二中月考（理））某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．
组别
频数
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元
概率
现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．
附：，若，则，，.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.
【详解】
（1）由题意可得，
易知，，
，
；
（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
【点睛】
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
33．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的列联表：
支持
不支持
合计
男性
20
5
25
女性
40
35
75
合计
60
40
100
(1)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为,求的分布列及数学期望．
附：.
0.15
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关.
（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用独立性检验求出k的值，即得有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. （2）利用二项分布求的分布列及数学期望.
【详解】
（1）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关.
（2） 由列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为.
由于总体容量很大，故可视作服从二项分布，即XB(4,)，
所以
从而X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
所以的数学期望为.
【点睛】
(1)本题主要考查独立性检验，考查二项分布的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是，（）．正好是二项式的展开式的第项.所以记作～，读作服从二项分布，其中为参数. 若～则 .
34．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））（．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【解析】
【分析】
⑴运用古典概率方法，从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张算出答案
依题意可知，的所有可能取值为，用古典概型分别求出概率，列出分布列
【详解】
（1）该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P＝.（或用间接法，P=1-）.
(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P(X＝0)＝，P(X＝10)＝，P(X＝20)＝，
P(X＝50)＝，P(X＝60)＝.所以X的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P
【点睛】
本题主要考查的是等可能事件的概率及离散型随机变量及其分布列，本题的解题关键是看出要求概率的事件包含的结果数比较多，注意做到不重不漏
35．（2020·全国月考（理））某市举办“爱我华夏，弘扬传承”知识抢答赛，最后有张珊、李诗两位选手进入冠亚军PK赛，规则如下：依次从忠、孝、仁、义、礼、信、智七个题库中每一次随机选取一道题两人抢答，胜者得25分，败者不扣分（无平局），先得100分者为冠军，结束PK.由于两人阅读习惯的区别，在前面的比赛中得出：张珊在忠、孝、礼、智方面略有优势，胜率为0.6，其它方面两人不分伯仲，胜率都是0.5.
（1）求PK结束时李诗恰得25分的概率；
（2）记PK结束时抢答场数为，求的分布列及期望.
【答案】（1）0.18；（2）分布列见解析，5.785.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知共比赛5次，且前四次李诗只胜一次，由独立事件概率乘法公式即可求解.
（2）因为至少答4题，因而抢答场数所有可能的值为4，5，6，7，分别讨论四种情况下各自的胜率即可求得分布列，由分布列即可求得期望值.
【详解】
（1）李诗恰得25分则张珊得100分，即共比赛5次，前四次李诗胜一次，第五次张珊胜；
则李诗在前四次只胜一次的概率
（2）所有可能的值为4，5，6，7，
即某人连胜4次，所以；
即某人前4次3胜l负第五次胜，张珊胜的概率为0.18，李诗胜的概率为，所以；
即某人前五次3胜2负第六次胜，各有三类：①在第1，2，5场中负2次，②在第3，4场中连负2次，③在第1，2，5场中负1次，第3，4场中负1次，张珊胜的概率为.李诗胜的概率为，所以；，
故分布列为
4
5
6
7
0.13
0.26
0.305
0.305
期望.
【点睛】
本题考查了独立事件乘法公式的应用，离散型随机变量分布列的求法及期望求法，注意分类讨论时要做到不重不漏，属于中档题.
五、双空题
36．（2020·浙江二模）给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.
【答案】252 1040
【解析】
【分析】
利用分步计数原理先从上方的小方格、开始染色，再从下方开始利用分类计数原理染色，直至对小方格染色完毕，就可求出结果.
【详解】
解：（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对、区域染色有种，再对染色：
①当同时，有种；
②当同时，有种；
③当不同、时，有种；
综合①②③共有种；
（2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对、区域染色有种，再对染色：
①当同时，有种；
②当同时，有种；
③当不同、时，有种；
综合①②③，共有种.
故答案为：252；1040.
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理与分类计数原理的应用，属于中档题.
专题十九 计数原理与概率及其分布
一、单选题
1．（2020·佛山市顺德区容山中学月考）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】
4项工作分成3组,可得：=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：种．
故选D.
2．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）在冬奥会比赛中，要从4名男运动员和5名女运动员中，任选3人参加某项比赛，其中男女运动员至少各有一名的不同选法共有
A．140种 B．80种 C．70种 D．35种
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
：从9名运动员中任选3人有84，
从中排除掉仅有男运动员和仅有女运动员的情形，
共（）＝14种情形，
故其中男女运动员至少各有一名的不同选法共有84﹣14＝70
故选：C．
3．（2019·河南中牟·期中（理））某校迎新晚会上有个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，计算出将丙、丁排在一起的排法种数，除以可得出结果.
【详解】
先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，
将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为，
利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，
因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有种，故选A.
【点睛】
本题考查排列组合的综合问题，考查捆绑法的应用，在求解本题中，充分利用对称性思想，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．（2019·河南中牟·期中（理））星期天上午，甲、乙、丙、丁到绿博园、四牟园、湿地公园、蟹岛游玩，每人只去一个地方，设事件为“个人去的地方各不相同”，事件为“甲独自去一个地方”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
甲独自去一个景点，有种方法，其余3人去剩下的3个景点，有种方法，由分步计数原理可求得甲独自去一个景点的有种选择方法.若4个人去的地方各不相同，则属于排列问题，有种.根据条件概率计算公式，即可求出相应的概率.
【详解】
甲单独去一个景点有种方法，
其余3人去剩下的3个景点，有种方法，
则甲独自去一个景点，有种方法，
而4个人去的地方各不相同，有种方法，
则.
故选：A.
【点睛】
本题考查了条件概率，分步乘法计数原理，排列问题，属于中档题.
5．（2020·广东月考）某班级8位同学分成，，三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ）
A．140 B．160 C．80 D．100
【答案】A
【解析】
【分析】
分两种情况讨论即甲､乙两位同学在组或组和甲､乙两位同学在组；
【详解】
甲､乙两位同学在组或组的情况有种，
甲､乙两位同学在组的情况有种，共计140种.
故选：A.
【点睛】
本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.
6．（2020·全国月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，得到基本事件的个数为种，这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有种，
其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有，
根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了古典概型的概率计算，以及组合的概念及组合数的计算，其中解答中正确理解题意，根据组合数的计算公式求得基本事件的总数及所求事件所含有的基本事件的个数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
7．（2020·北京交通大学附属中学期末）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【答案】B
【解析】
【分析】
由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3节，而自习课可以上任意一节.故以生物课（或政治课）进行分类，再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法.
【详解】
由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3、4节，而自习课可以上任意一节.
若生物课排第2节，则其他课可以任意排，共有种不同的选课方法.
若生物课排第3节，则政治课有种排法，其他课可以任意排，有种排法，
共有种不同的选课方法.
所以共有种不同的选课方法.
故选：.
【点睛】
本题考查两个计数原理，考查排列组合，属于基础题.
8．（2020·江苏南通·月考）我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ）
A．30 B．60
C．90 D．120
【答案】D
【解析】
【分析】
将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.
【详解】
由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，
2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为
共60+60=120种，
故选D
【点睛】
本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.
9．（2020·河南月考（理））从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为（ ）
A．40 B．60 C．100 D．120
【答案】B
【解析】
【分析】
先从5名大学毕业生中选派2人到甲地，再从剩余的3人中选1人到乙地，然后从剩余的2人中选派1人到丙地，再利用分布计数原理求解.
【详解】
先从5名大学毕业生中选派2人到甲地有种，再从剩余的3人中选1人到乙地有种，然后从剩余的2人中选派1人到丙地有种，
所以不同的选派方法有种.
故选：B
【点睛】
本题主要考查排列组合的综合应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题..
10．（2020·重庆高二期末）若随机变量服从二项分布，则的期望（ ）
A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.216
【答案】B
【解析】
【分析】
随机变量服从二项分布，则.
【详解】
解：服从二项分布，，
故选：B.
【点睛】
考查求二项分布的期望，基础题.
11．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中期中）某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）
（已知若，则， ， ）
A．1140 B．1075 C．2280 D．2150
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果.
【详解】
由题意得，
因此，
所以，
即分数位于区间分的考生人数近似为，选C.
【点睛】
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.
12．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））已知随机变量服从正态分布N(3, ),则P(＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
服从正态分布N(3,a2) 则曲线关于 对称，．
13．（2020·河北保定·一模（理））抛掷一枚质地均匀的硬币，记为数列的前项和，则且的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件，满足且有如下情况：前3次中出现2次正面向上1次反面向上，后面7次中出现5次正面向上2次反面向上；前3次中出现1次正面向上，2次反面向上，后面7次中出现6次正面向上，1次反面向上，利用次独立重复试验概率公式即可求出答案．
【详解】
由题意知，满足且有如下两种情况：
①前3次中出现2次正面向上1次反面向上，此时，后面7次中出现5次正面向上2次反面向上，其概率为；
②前3次中出现1次正面向上2次反面向上，此时，后面7次中出现6次正面向上1次反面向上，其概率为；
所以且的概率为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查次独立重复试验的概率求法及事件的独立性，解决此类问题的关键是分析题目是否满足独立重复试验概型的条件，若是利用公式计算即可．
14．（2019·浙江省宁波市鄞州中学其他）从装有1个黑球，2个白球和2个红球的盒子里随机拿出2个小球，记拿到红球的个数为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
的可能值为，计算，，，得到数学期望.
【详解】
的可能值为，
，，，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了数学期望的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
二、多选题
15．（2020·唐山市第十一中学开学考试）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.下列正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，则随着的增大而增小
D．若，随机变量所有可能的取值为，且，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
当时，可得，由题中定义可求得的值，可判断A选项的正误；当时，可得出，利用特殊值法可判断B选项的正误；利用对数函数的单调性可判断C选项的正误；求得和的表达式，利用对数函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，当时，，则，A选项正确；
对于B选项，当时，，则，其中，
.
当时，；
当时，.
两者相等，B选项错误；
对于C选项，若，则，
所以，随着的增大而增大，C选项错误；
对于D选项，若，随机变量所有可能的取值为，且，
，
，
，，所以，，
则，所以，，D选项正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查新定义问题，考查随机变量的概率相关命题正误的判断，考查对数函数的单调性的应用，属于中等题.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
16．（2020·山西月考（理））某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种.
【答案】16
【解析】
【分析】
根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可.
【详解】
农场主在中间共有种站法，
农场主在中间，两名男生相邻共有种站法，
故所求站法共有种.
故答案为：16
【点睛】
本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.
17．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有______________种不同的坐法.（用数字作答）
【答案】480
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：可先让4人全排列坐在4个位置上，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，将其插入4个人形成的5个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①先让4人全排列，坐在4个位置上，有A44种排法，
②将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”，
再将2个元素插入4个人形成的5个“空当”之间，有种插法，
所以所求的坐法数为；
故答案为：480.
【点睛】
本题主要考查排列、组合的综合应用，注意人与人之间是不同的，但空位是相同的，属于中档题.
18．（2019·浙江省宁波市鄞州中学其他）五一假期从5月1日至4日调休4天，某班6名同学准备五一期间去参加社会实践做志愿者，每人社会实践一天，且甲乙两人不在同一天的不同安排方案有_________种（用数字作答）．
【答案】3072
【解析】
【分析】
直接利用乘法原理根据排除法得到答案.
【详解】
根据乘法原理和排除法知共有种不同的安排方案.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了乘法原理和排除法，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．（2020·全国月考（理））在抗击“非洲猪瘟”的战斗中，某市场防疫检测所得知一批共10只猪中混入了3只携带病毒的猪，在没有传染扩散前，马上逐个不放回地检测，每次抽中各只猪的机会均等，直到检测出所有病猪就停止检测，则恰在第六次检测后停止的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】
恰在第六次检测后停止说明第六次检测出的为携带病毒的猪，前5只检测的猪有3只健康猪和两只携带病毒的猪，分步计算出前六个位置安排的方法数，结合总的排序数，即可得概率值.
【详解】
恰在第六次停止即前五只猪3好2病，第六只是病猪，
则从7只健康的猪中选择3只种方法，将选出的3只猪排列在前五个位置共有种方法，将前五个位置中的两个空位和第六个位置安排携带病毒的猪共有种方法，
故共有种排列，
前6只猪共有种排列，
故概率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，分步乘法计数原理及概率求法，属于中档题.
20．（2020·福建三明一中月考）把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有______________种．
【答案】
【解析】
【分析】
从张电影票中任选张给甲、乙两人，共种分法；再利用平均分配的方式可求得分配剩余张票共有种分法；根据分步乘法计数原理求得结果.
【详解】
第一步：先从张电影票中任选张给甲、乙两人，有种分法
第二步：分配剩余的张，而每人最多两张，则每人各得两张，有种分法
由分步乘法计数原理得：共有种分法
本题正确结果：
【点睛】
本题考查分步乘法计数原理解决组合应用题，涉及到平均分配的问题，关键是能够准确求解每一步的分法种数.
21．（2020·福清西山学校月考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设事件表示“该选手能正确回答第轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入的值，可得结果；
【详解】
记“该选手能正确回答第轮的问题”为事件，则.
该选手被淘汰的概率：
故答案为：
【点睛】
求复杂互斥事件概率的两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；
(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
22．（2020·福清西山学校月考）某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
在甲、乙、丙处投中分别记为事件，，，恰好投中两次为事件，，发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
【详解】
在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，
恰好投中两次为事件，，发生，
故恰好投中两次的概率P（1），
解得p．
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、解答题
23．（2020·河北保定·一模（理））习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来.”其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代.“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：“.”
(1)求上述英语译文中，，，，四个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)，并比较四个频率的大小；(用“”连接)
(2)在上面的句子中随机取一个单词，用表示取到的单词所包含的字母个数，写出的分布列，并求出其数学期望；
(3)从上述单词中任选两个单词，求其字母个数之和为6的概率，
【答案】(1)0.17，0.10，0.14， 0.69，出现的频率出现的频率出现的频率出现的频率；(2)见解析，；(3)
【解析】
【分析】
(1)数出英语译文中字母个数及，，，四个字母出现的次数，利用频率的计算公式即可得到答案；
(2)求出所有可能取值对应概率，即可写出的分布列，根据分布列利用期望公式即可求出的数学期望；
(3)根据已知条件，上述单词中任选两个单词其字母个数之和为6有两种情况：一种是，中任取一个，再从，任取一个；另一种是含3个字母的4个单词中取两个，从而可求出字母个数之和为6的基本事件的个数，再求出总的基本事件的个数，然后利用古典概型概率计算公式，即可得到答案.
【详解】
(1)英语译文中共有个字母，，，，四个字母出现的次数分别为，，，，
所以它们的频率分别为，，，，
其大小关系为：出现的频率出现的频率出现的频率出现的频率
(2)随机变量的所有可能取值为,
；；；
所以分布列为：
所以其数学期望为
(3)满足字母个数之和为6的情况分为两种情况：
①从含两个字母的两个单词中取一个，再从含4个字母的两个单词中取一个，其取法个
数为，
②从含3个字母的4个单词中取两个，其取法个数为，
故所求的概率为．
【点睛】
本题主要考查频率的求法，数学期望的求法及古典概型的概率计算．
24．（2019·江西修水·期末（理））现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.
（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？
【答案】（1）105种；（2）630种.
【解析】
【分析】
（1）分配方案分步完成即可，育才中学先选4人，星云中学在剩下的人中选2人，最后还有1人到明月湾中学，由乘法原理可得；
（2）分两步：第一步先把7人按4、2、1分成三组，第二步三组分别分到三所学校．
【详解】
解：（1）根据题意，分3步进行分析：
①、在7人中选出4人，将其分到育才中学，有种选法；
②、在剩余3人中选出2人，将其分到星云中学，有种选法；
③、将剩下的1人分到明月湾中学，有1种情况，
则一共有种分配方案；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，有种分组方法，
②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有种情况，
则一共有种分配方案.
【点睛】
本题考查分组分配问题，解题关键是确定完成事件的方法，分类还是分步，然后根据计数原理计算．分组分配问题中要注意分组元素有无区别，是否是平均分组．
25．（2020·江西期末（理））新冠疫情期间，某市欲派甲、乙、丙三位医生去湖北省的A、B、C、D、E五个市支援，三位医生可去相同的市，也可去不同的市.
（1）求甲不去A市、乙不去B市的派遣方法数；
（2）设派到各市的医生人数最多为X，求X的分布列及期望.
【答案】（1）80（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】
（1）基本事件总数．其中，甲去市的方法有：，乙去市的方法有：，甲去市且乙去市的方法有5种，由此能求出甲不去市、乙不去市的派遣方法数．
（2）设派到各市的医生人数最多为，则的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
【详解】
（1）派甲、乙、丙三位医生去湖北省的、、、、五个市支援，
三位医生可去相同的市，也可去不同的市．
基本事件总数．
其中，甲去市的方法有：，乙去市的方法有：，
甲去市且乙去市的方法有5种
甲不去市、乙不去市的派遣方法数为：．
（2）设派到各市的医生人数最多为，
则的可能取值为1，2，3，
，
，
，
的分布列为：
1
2
3
．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，考查离散型随机变量的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
26．（2020·湖南高三月考）疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了A餐、B餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时A、B两种餐盒的配餐比例为3：1.为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，
（1）求抽取的5个餐盒中有三个B餐的概率；
（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B餐盒查看.如果抽出一个是A餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是B餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A、B餐盒的比例.若抽样结束时抽到的A餐盒数以随机变量X表示，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望是.
【解析】
【分析】
（1）用表示“抽取的5个餐盒中B餐盒的个数”，则服从二项分布，即，由此可计算出概率；
（2）的可能取值为：0，1，2，…，.依次计算出概率得分布列，由期望公式写出期望计算式，由数列求和的错位相减法求得结论．
【详解】
解：（1）依题意，随机地抽取一个餐盒得到B餐盒的概率为，用表示“抽取的5个餐盒中B餐盒的个数”，则服从二项分布，即，∴其中有三个B餐盒的概率.
（2）的可能取值为：0，1，2，…，.
，，……，，.
所以的分布列为
X
0
1
2
……
n
P
……
的数学期望为：①
②
①-②得
.
即的数学期望为.
【点睛】
本题考查二项分布，随机变量的概率分布列与数学期望，错位相减法求和．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．
27．（2020·重庆高二期末）某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于，则销售5000件；若气温位于，则销售3500件；若气温低于，则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划，统计了前三年8月份的气温范围数据，得到下面的频数分布表：
气温范围
（单位：）
天数
4
14
36
21
15
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.
（1）求今年8月份这种食品一天销售量（单位：件）的分布列和数学期望；
（2）设8月份一天销售这种食品的利润为（单位：元），这种食品一天生产量为（单位：件），若，求的数学期望的最大值及对应的的值.
【答案】（1）今年8月份这种食品一天的销量的分布列为：
2000
3500
5000
0.2
0.4
0.4
（件）；（2）的数学期望的最大值为11900，此时.
【解析】
【分析】
（1）今年8月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000，分别计算概率，然后求数学期望即可.
（2）根据气温分三段计算利润：若气温不低于，能全部销售，每件的利润是4元，则总利润可求；若气温位于，只能销售3500件，每件的利润是4元，件未能销售，每件折3元，则总利润可求；若气温低于，只能销售2000件，每件的利润是4元，件未能销售，每件折3元，则总利润可求；据此可求出的数学期望的最大值以及对应的的值.
【详解】
解：（1）今年8月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000.
，，.
故的分布列为：
2000
3500
5000
0.2
0.4
0.4
的期望（件）.
（2）由题知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件.
当时，
若气温不低于，则；
若气温位于，则；
若气温低于，则；
此时.
故的数学期望的最大值为11900，此时.
【点睛】
考查随机变量的分布列以及数学期望在实际中的应用，中档题.
28．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中期中）2018以来，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加.某读书APP抽样调查了非一线城市和一线城市各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”.
（1）请填写以下列联表，并判断是否有99%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？
活跃用户
不活跃用户
合计
城市
城市
合计
临界值表：
0.050
0.010
3.841
6.635
参考公式：.
（2）以频率估计概率，从城市中任选2名用户，从城市中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关；（2）分布列见解析；期望为2.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图分别求出城市、中的活跃用户与不活跃用户，即可得出列联表.
（2）由统计数据可知，城市中活跃用户占，城市N中活跃用户占，设从城市中任选的2名用户中活跃用户数为，，设从城市中任选的1名用户中活跃用户数为，服从两点分布，，利用二项分布求出概率即可得出分布列，再利用期望公式即可求解.
【详解】
由已知可得以下列联表：
活跃用户
不活跃用户
合计
城市
60
40
100
城市
80
20
100
合计
140
60
200
计算，
所以有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关.
（2）由统计数据可知，城市中活跃用户占，城市N中活跃用户占，
设从城市中任选的2名用户中活跃用户数为，则
设从城市中任选的1名用户中活跃用户数为，则服从两点分布，
其中.故，
；
；
；
.
故所求的分布列为
0
1
2
3
.
【点睛】
本题考查了列联表、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查了考生的数据处理能力、分析问题的能力，属于中档题.
29．（2020·西藏拉萨中学月考（理））某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：
家庭编号
1
2
3
4
5
6
月收入x（千元）
20
30
35
40
48
55
月支出y（千元）
4
5
6
8
8
11
参考公式：回归直线的方程是：，其中，.
（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；
（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求再利用公式求即可；（2）由超几何分布列分布列求期望即可
【详解】
（1）
所以月支出关于月收入的线性回归方程是：
（2）的可能取值为
故的分布列为：
0
1
2
3
P
数学期望.
【点睛】
本题考查线性回归方程，考查超几何分布的分布列及期望，考查古典概型，准确计算是关键，是基础题
30．（2020·河北衡水·月考（理））近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策.为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占，而务农户中对新政策满意的占.
满意
不满意
总计
非务农
100
务农
总计
（1）完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？
（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望.
附表：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：，其中.
【答案】（1）填表见解析；能；（2）分布列见解析；期望为3.
【解析】
【分析】
（1）根据题意补全列联表，再根据独立性检验的知识求解即可；
（2）根据题意从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是，随机变量满足二项分布，即：，再根据二项分布的知识求解即可.
【详解】
解：（1）根据已知数据得到如下列联表：
满意
不满意
总计
非务农
70
30
100
务农
50
50
100
总计
120
80
200
根据列联表中的数据，得到
的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关.
（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是.
由题意知，
，
，
，
，
，
.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
.
【点睛】
本题考查独立性检验，二项分布，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题.
31．（2020·山西月考（理））已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.
（1）求乙盒中红球个数的分布列与期望；
（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率.
【答案】（1）答案见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意知的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；
（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案.
【详解】
解：（1）由题意知的可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
所以的分布列为
0
1
2
3
所以.
（2）当乙盒中红球个数为0时，，
当乙盒中红球个数为1时，，
当乙盒中红球个数为2时，，
当乙盒中红球个数为3时，，
所以从乙盒中任取一球是红球的概率为.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题.
32．（2020·江西上高二中月考（理））某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．
组别
频数
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元
概率
现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．
附：，若，则，，.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.
【详解】
（1）由题意可得，
易知，，
，
；
（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
【点睛】
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
33．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的列联表：
支持
不支持
合计
男性
20
5
25
女性
40
35
75
合计
60
40
100
(1)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为,求的分布列及数学期望．
附：.
0.15
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关.
（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用独立性检验求出k的值，即得有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. （2）利用二项分布求的分布列及数学期望.
【详解】
（1）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关.
（2） 由列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为.
由于总体容量很大，故可视作服从二项分布，即XB(4,)，
所以
从而X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
所以的数学期望为.
【点睛】
(1)本题主要考查独立性检验，考查二项分布的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是，（）．正好是二项式的展开式的第项.所以记作～，读作服从二项分布，其中为参数. 若～则 .
34．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））（．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【解析】
【分析】
⑴运用古典概率方法，从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张算出答案
依题意可知，的所有可能取值为，用古典概型分别求出概率，列出分布列
【详解】
（1）该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P＝.（或用间接法，P=1-）.
(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P(X＝0)＝，P(X＝10)＝，P(X＝20)＝，
P(X＝50)＝，P(X＝60)＝.所以X的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P
【点睛】
本题主要考查的是等可能事件的概率及离散型随机变量及其分布列，本题的解题关键是看出要求概率的事件包含的结果数比较多，注意做到不重不漏
35．（2020·全国月考（理））某市举办“爱我华夏，弘扬传承”知识抢答赛，最后有张珊、李诗两位选手进入冠亚军PK赛，规则如下：依次从忠、孝、仁、义、礼、信、智七个题库中每一次随机选取一道题两人抢答，胜者得25分，败者不扣分（无平局），先得100分者为冠军，结束PK.由于两人阅读习惯的区别，在前面的比赛中得出：张珊在忠、孝、礼、智方面略有优势，胜率为0.6，其它方面两人不分伯仲，胜率都是0.5.
（1）求PK结束时李诗恰得25分的概率；
（2）记PK结束时抢答场数为，求的分布列及期望.
【答案】（1）0.18；（2）分布列见解析，5.785.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知共比赛5次，且前四次李诗只胜一次，由独立事件概率乘法公式即可求解.
（2）因为至少答4题，因而抢答场数所有可能的值为4，5，6，7，分别讨论四种情况下各自的胜率即可求得分布列，由分布列即可求得期望值.
【详解】
（1）李诗恰得25分则张珊得100分，即共比赛5次，前四次李诗胜一次，第五次张珊胜；
则李诗在前四次只胜一次的概率
（2）所有可能的值为4，5，6，7，
即某人连胜4次，所以；
即某人前4次3胜l负第五次胜，张珊胜的概率为0.18，李诗胜的概率为，所以；
即某人前五次3胜2负第六次胜，各有三类：①在第1，2，5场中负2次，②在第3，4场中连负2次，③在第1，2，5场中负1次，第3，4场中负1次，张珊胜的概率为.李诗胜的概率为，所以；，
故分布列为
4
5
6
7
0.13
0.26
0.305
0.305
期望.
【点睛】
本题考查了独立事件乘法公式的应用，离散型随机变量分布列的求法及期望求法，注意分类讨论时要做到不重不漏，属于中档题.
五、双空题
36．（2020·浙江二模）给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.
【答案】252 1040
【解析】
【分析】
利用分步计数原理先从上方的小方格、开始染色，再从下方开始利用分类计数原理染色，直至对小方格染色完毕，就可求出结果.
【详解】
解：（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对、区域染色有种，再对染色：
①当同时，有种；
②当同时，有种；
③当不同、时，有种；
综合①②③共有种；
（2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对、区域染色有种，再对染色：
①当同时，有种；
②当同时，有种；
③当不同、时，有种；
综合①②③，共有种.
故答案为：252；1040.
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理与分类计数原理的应用，属于中档题.
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