专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题十一 等差数列与等比数列
一、单选题
1．（2020·浙江西湖·学军中学高三其他）设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，对分、、三种情况讨论，在时验证即可；在时，取，可设，根据恒成立求得实数的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出时各选项的正误.
【详解】
设等差数列的公差为，则.
①当时，则，，则对任意的恒成立，
A、B、C、D四个选项都成立；
②当时，不妨取，记，则，
由可得，即，
则，
令，可得；
令，可得.
，
则，
解关于的不等式，
可得或，
所以或.
由于数列单调递减，该数列没有最小项；
由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
所以，数列单调递减，该数列的最大项为，
.
对于A选项，，，
则，
，
，
则，
所以，，A选项成立；
对于B选项，，
则，
，
，
则，
所以，，B选项成立；
当时，；
当时，.
满足，.
对于C选项，，，
，
，
当时，，
所以，C选项不一定成立；
对于D选项，，
，
所以，，
D选项成立；
③当时，由②同理可知，C选项不一定成立.
故选：C.
【点睛】
本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题.
2．（2020·浙江西湖·学军中学高三其他）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ）
A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
【答案】B
【解析】
【分析】
从冬至日起各节气日影长设为，可得为等差数列，根据已知结合前项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.
【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为，
是其前项和，则尺，
所以尺，由题知，
所以，所以公差，
所以尺。
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
3．（2020·全国高三其他（理））已知数列的前n项和为，且满足，则下列命题错误的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
，则，两式相减得到A正确；由A选项得到==进而得到B正确；同理可得到C错误；由得到进而D正确.
【详解】
已知，则，两式相减得到，故A正确；根据A选项得到==，故B正确；===，故C不正确；根据
故D正确.
故答案为C.
【点睛】
这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
4．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（文））在等差数列中，已知，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为d，
则，
∴．选C．
5．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（文））已知数列中，，，则等于　　
A．18 B．54 C．36 D．72
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得：数列是等比数列，公比为，利用等比数列通项公式即可求解．
【详解】
解：数列中，，，
数列是等比数列，公比．
则．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．12 B．24 C．36 D．40
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质可求.
【详解】
因为为等差数列，故，
故选：B.
【点睛】
一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
7．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．54 C．162 D．243
【答案】C
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，由题意可得，解方程后代入等比数列通项公式，即可求解.
【详解】
解：设等比数列的公比为，
由题意可得，
解得，
.
故选：C
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的应用，考查运算求解能力与方程思想，属于基础题.
8．（2020·定远县育才学校高二期末（理））计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案.
【详解】
.
故选：B.
【点睛】
二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数，是基础题.
9．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知是等比数列，，则公比=（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.
【详解】
由等比数列的性质可得：，即：，解得：.
故选D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.
10．（2020·广西钦州·高一期末）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知结合等比数列的性质可得的值，再由对数的运算性质即可求得的值．
【详解】
等比数列的各项均为正数，且，
由等比数列的性质可得：，
．
故选：．
【点睛】
本题考查等比数列与对数的运算性质，考查数列和的求法，是基础题．
11．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（ ）
A．9 B．7 C．8 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式解方程可得，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值及相应的的值．
【详解】
解：设等差数列的公差为，
，，
可得，
解得，
则，
当时，取最小值．
故选：D ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次函数的最值求法，注意运用配方法，考查运算能力，属于中档题．
12．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
∵等差数列{an}、{bn}，
∴ ，
∴ ,又 ，
∴ ，
经验证,当n=1,3,5,13,35时, 为整数，
则使得为整数的正整数的n的个数是5.
本题选择C选项.

13．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高一期末）已知数列满足：，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由求出，得到，由裂项求和的方法求出.
【详解】
因为，
所以，
两式作差可得：，即，
又当时，，所以，满足，
因此，
所以，
因此.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查由递推公式求通项，以及数列的前项的应用，熟记裂项求和的方法求数列的和即可，属于常考题型.
14．（2020·四川广元·高一期末）已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【解析】
【分析】
先由，得到，，，公差大于零，再由数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
由得，，，，所以公差大于零.
又，，
，
故选C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.
15．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（文））若等差数列的前项和为，，，则等于（ ）
A．180 B．110 C．100 D．99
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知利用等差数列的性质可得，代入等差数列的前n项和公式可求．
【详解】
∵，， 由等差数列的性质可得，
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质若，则和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量，属于基础题．
16．（2020·滦南县第一中学高一期末）是等差数列的前n项和，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先设等差数列的首项为，公差为，再根据，得，再根据前项和公式求解化简即可得答案.
【详解】
解：设等差数列的首项为，公差为，
则，
因为，所以，
设，则



所以
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算，等差数列的前项和公式，是中档题.
17．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（理））设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）
A．290 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可
【详解】
由得，
当时，，整理得，
所以是公差为4的等差数列，又，
所以，从而，
所以，
数列的前10项的和.
故选.
【点睛】
本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题
18．（2020·辽源市田家炳高级中学校高一期末（理））在等差数列中，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，所以
，因此前项和为，选C.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
19．（2020·四川内江·高一期末（理））在我国古代著名的数学专著《 九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢? （）
A．16 日 B．12 日 C．9 日 D．8 日
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：由题可知，良马每日行程an构成一个首项为103，公差13的等差数列，
驽马每日行程bn构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列，
则an＝103+13（n﹣1）＝13n+90，bn＝97﹣0.5（n﹣1）＝97.5﹣0.5n，
则数列{an}与数列{bn}的前n项和为1125×2＝2250，
又∵数列{an}的前n项和为（103+13n+90）（193+13n），
数列{bn}的前n项和为（97+97.5﹣0.5n）（194.5n），
∴（193+13n）（194.5n）＝2250，
整理得：25n2+775n﹣9000＝0，即n2+31n﹣360＝0，
解得：n＝9或n＝﹣40（舍），即九日相逢．
故选C
点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

第II卷（非选择题）
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二、解答题
20．（2020·浙江西湖·学军中学高三其他）已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.
【详解】
(1)因为，所以，
因为，所以，
所以数列是等比数列；
(2)因为，所以，
所以，
又因为，所以，所以是以为首项，
为公比的等比数列，所以，
所以；
(3)①当时，；
②若n是偶数，
则，
所以当n是偶数时，



；
③当n是奇数，且时，



；
综上所述，当时，.
【点睛】
本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.
21．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或 .
（2）.
【解析】
分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
22．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）设等差数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和为.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的性质可知，即可求出，因而可求出公差，故可求得通项公式；
（2）由的形式可知，采用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和．
【详解】
（1）设公差为，
①
②
由①、②解得：
∴；
（2），
∴.
【点睛】
本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题．
23．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足：.
（1）求与；
（2）记，求的前项和；
（3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，.(2)；(3).
【解析】
【分析】
⑴设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题目条件得到，解出即可；
⑵，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出；
⑶不等式，即，可以化为，对分类讨论，利用数列的单调性即可得出结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，且满足：
∴，联立解得.
∴，.
（2），
∴的前项和，
∴，
∴ ，
∴.
（3）不等式，即，
化为：.
当为偶数时，,当时，取得最小值3，所以.
当为奇数时，，当n=1时，取得最小值2，所以.
∴实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了数列的求和和数列递推式，在求和过程中运用了错位相减法，当遇到形如的形式的通项时，其中一个是等差数列通项，一个是等比数列通项，则其和用错位相减法．
24．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系．
（1）设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；
（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；
（3）设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．
【答案】（1）数列与不具有关系；理由见解析；（2）证明见解析，A的最小值为1；（3）数列与具有关系的充要条件为，．
【解析】
【分析】
（1）先假设数列与是否具有关系，根据题意，推出矛盾，即可得出结论；
（2）根据等比数列的通项公式，得到，即可得出数列与具有关系．设A的最小值为，，结合题中条件，即可求出结果；
（3）先由等差数列与等比数列的通项得出两数列通项，设，，根据数列与具有关系，即存在正常数A，使得对任意的，均有．分，；，；，；，四种情况讨论，结合导数的方法，以及反证法，分别求解，即可得出结果.
【详解】
（1）因为，，
若数列与是否具有关系，
则对任意的，均有，
即，亦即，
但时，，
所以数列与不具有关系．
（2）证明：因为无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以数列与具有关系．
设A的最小值为，，
因为，所以．
若，则当时，，
则，这与“对任意的，均有”矛盾，
所有，即A的最小值为1．
（3）因为数列是首项为1，公差为为等差数列，
无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，
所以，，
设，，
则，，．
数列与具有关系，即存在正常数A，
使得对任意的，均有．
（Ⅰ）当，时，，取，
则，数列与具有关系；
（Ⅱ）当，时，假设数列与具有关系，
则存在正常数A，使得对任意的，均有．
因为，
所以，对任意的，，
即，，
所以，
这与“对任意的，均有”矛盾，不合；
（Ⅲ）当，时，假设数列与具有性质，
则存在正常数A，使得对任意的，均有．
因为，
所以，对任意的，，
即，，
所以，，
这与“对任意的，均有”矛盾，不合；
（Ⅳ）当，时，假设数列与具有性质，
则存在正常数A，使得对任意的，均有．
因为，
所以，对任意的，，
所以，
所以，
设，，
则对任意的，．
因为，，
所以，对任意的，，
下面先证明：存在，当时，．
即证．
设，则，
所以时，，在区间上递增，
同理在区间上递减，
所以，
所以．
因此，，
所以，当时，，
设，则当时，，
即当时，，又，
所以，即，
解得，
这与对任意的，矛盾，不合．
综上所述，数列与具有关系的充要条件为，．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的应用，涉及导数的方法求最值，以及反证思想的应用，综合性较强，难度较大.
25．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）设整数，集合，是的两个非空子集．记为所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数．
（1） 求；（2）求．
【答案】（1）,（2）
【解析】
试题分析：（1）当时，，
其非空子集为：，
则所有满足题意的集合为为：共5对，所以；
（2）设中的最大数为，其中，整数，
则中必含元素，另元素1，2，…， 可在中，故的个数为：，
中必不含元素1，2，…，，另元素可在中，但不能都不在中，故的个数为：，所以．
考点：集合，组合数公式，重点考查分析问题能力
【方法点睛】新信息题都很有创意，本题定义了A，B两个集合，首先要求A、B必须是集合P的非空子集，其次满足中的最大数小于中的最小数，这样的集合对的个数为，不妨研究当时，的情况，可用列举法一一列出，得到，显然解决新信息题目最重要的是读懂题目提供的信息，按照新的规则去处理问题即可.
26．（2020·上海静安·高一期末）已知数列的通项公式为是，且，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的通项满足，问数列的前多少项之和最大？
【答案】（1）证明见解析；（2）前4或前5项之和最大.
【解析】
【分析】
（1）通过计算来证得数列是等比数列.
（2）求得的表达式，由求得数列的前多少项之和最大.
【详解】
（1）因为
，
所以，数列是公比为的等比数列.
（2），，
，
，
所以数列是等差数列.



，所以数列是等差数列.
令，解得，
所以，数列的前4项或者前5项之和最大.
【点睛】
本小题主要考查等差、等比数列的证明，考查等差数列前项和的最值的有关计算，属于中档题.
27．（2020·广西钦州·高一期末）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用，可求得时的通项公式，代入检验，满足上式，则可得的通项公式；
（2）代入的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得答案.
【详解】
（1）当时，；
当时，，
所以当时，也符合上式，
故.
（2）因为，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列中与的关系、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
28．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：，．
（1）求通项；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式，由，，即可求得首项与公差，从而可得数列的通项公式；
（2）由，可求得，从而得，再利用是等差数列由，即可求得的值；
（3）由（2）求得，于是，利用基本不等式即可求得最大值.
【详解】
（1）由题知，，
所以，或
所以公差或，又因为
所以，又，因此，所以.
（2）由（1）知，，
所以，
由是等差数列得，，即

解得: ，或 (其中舍去)，
此时，，是公差为等差数列，
所以.
（3）由（2）知

当且仅当，即时取得等号，即的最大值为.
【点睛】
本题考查数列与函数的综合，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查基本不等式求最值，属于综合性强的题.
29．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高一期末）已知数列的前项和为，且满足，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，数列的前项和为，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，由，得，两式相减得，等式两边中时减去2可证得结果
（2）由（1）得，所以，则，令，得分错位相减法求出，从而可得
【详解】
（1），则当时，，
两式相减得：，
∴，即：，
又时，，解得：，∴，
∴，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，∴，
又，∴，
∴，
设，
则，
两式相减可得：，
∴，又，
∴.
【点睛】
此题考查由递推式证明等比数列，考查错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题
30．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）在数列中，，（为常数，），且，，成公比不等于1的等比数列．
（1）求的值；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得数列为首项为，公差为的等差数列，再根据是公比不等于1的等比数列，列出方程求解的值，即可得到数列的通项公式；
（2）代入，得，利用裂项求和即可.
【详解】
解：（1）因为，为常数，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．所以，．
因为，，成公比不等于1的等比数列，所以，整理得，
解得（舍去）或．所以．
（2）由（1）知，，
所以，
所以．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式；数列的裂项求和，属于中档题.
31．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，求数列的前项和．
【答案】（1； （2）.
【解析】
【分析】
(1)由,得 ,两式作差得,进而推得，检验，即可求解；(2)利用，裂项求和即可
【详解】
(1), ,得,
所以,又,．故
(2)，所以，
所以
【点睛】
本题考查数列通项公式及求和，递推关系的应用，裂项求和，准确计算是关键，是中档题
32．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（文））各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：(Ⅰ)设的公比为，由，，解得，即可求解数列的通项公式；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，可得，利用等比数列的求和公式，即可求解数列的前项和．
试题解析：
(Ⅰ)设的公比为，由，得
，
于是，解得（不符合题意，舍去）
故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，则，
则…
．
33．（2019·江苏天宁·常州高级中学高三期中（理））设数列，，满足：，，，且对于任意，都有，，
（1）若数列，都是常数列，求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列是公比为的等比数列，数列，的前项和分别为，，若对于一切正整数均成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）a＝2．（2），（3）
【解析】
【分析】
（1）根据常数列的定义可知，，，将，两式相加可解得结果；
（2）将，两式相减，可得数列为等比数列，可得通项公式；
（3）设数列{an}的前n项和为An．根据可得2Sn+1﹣Tn＝2+An．则可化为，分类讨论，求出，代入，可解得结果.
【详解】
（1）∵数列{an}和{cn+bn}都是常数列，
∴∀n∈N*，则an＝＝a1＝a，cn+1+bn+1＝cn+bn＝＝c1+b1＝4．
∵对于任意n∈N*，都有bn+1，cn+1．
∴2（bn+1+cn+1）＝2a+（bn+cn），
∴2×4＝2a+4，解得a＝2．
（2）∵对于任意n∈N*，都有bn+1，cn+1．
∴相减可得：cn+1﹣bn+1（cn﹣bn），c1﹣b1＝2．
∴数列{cn﹣bn}是等比数列，首项为2，公比为．
∴
（3）{an}是公比为a的等比数列，a1＝a≠0．设数列{an}的前n项和为An．
∴当a＝1时，An＝n．
当a≠1时，An．
由bn+1，得2bn+1＝an+cn．
∴2（b2+b3++bn+1）＝An+（c1+c2++cn），
∴2（Sn+1﹣1）＝An+Tn．
∴2Sn+1﹣Tn＝2+An．
∵2Sn+1﹣Tn对一切正整数n均成立，
∴2+An，即An对一切正整数n均成立，．
当a＝1时，可得：n，不成立，舍去．
当a≠1时，对一切正整数n均成立，．
当a＞1时，由得，得，舍去．
当0＜a＜1时，由得对一切正整数n均成立，因为，所以，解得．
当时，当为偶数时，由得，即不恒成立，舍去.
当时，，符合；
当时，或，符合；
综上可得：实数a的取值范围是：．
【点睛】
本题考查了常数列的概念，考查了等比数列的通项公式，考查了分类讨论思想，考查了等比数列的前项和公式，考查了不等式恒成立问题，属于中档题.
34．（2020·滦南县第一中学高一期末）已知等差数列的各项均为正数，，若，．
（1）试求数列的通项；
（2）令，求的值．

【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）将已知裂项为，从而，由此能求出数列的通项．
（2）由（1）得，利用错位相减法求前项和的值即可．
【详解】
解：（1）由题意可知：
，
是等差数列，设公差为，
，
，
由题意可知，时，，时，，
，整理得，
即，整理为，①
上式中两式相除得，
整理得到，
代回①可解得，或（舍，
．
（2）由（1）可得：，
①，
又②
①②得，

即；
【点睛】
本题考查错位相减法和裂项相消法求前项和的求法，考查等差数列的通项公式和等比数列前项和公式，属于中档题，解题时要认真计算．
35．（2020·安徽蚌埠·高一期末）已知正项数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若，求；
（3）求数列的最小项．
【答案】（1）；（2）；（3）-30.
【解析】
【分析】
（1）由得，，两式相减，并化简得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以；
（2）利用错位相减法可求得结果；
（3）作差，判断数列的单调性，根据单调性可求得最小项.
【详解】
（1）由得，，
两式相减，得，
即，
化简，得，
因为数列为正项数列，所以，得，
令，又，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
．
（2）由（1）可得，，

，
两式相减，得
，
所以，
化简得．
（3），
当时，；当时，，
即，
数列的最小项为．
【点睛】
本题考查了由与的关系式求，考查了错位相减法，考查了数列的单调性，属于中档题.
36．（2020·沙坪坝·重庆一中高一月考）数列中，，且对于任意的，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，是否存在实数使得对于任意，都有（为常数）成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）取，，则，所以，由此能求出数列的通项公式．
（2）首先求出数列的通项公式，所以问题对恒成立，设，则为递增数列，即恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）令，，
∴为等差数列，∴
（2）因为
当时，，；
当时，
所以，所以
所以条件对恒成立，设，则为递增数列.
∴
恒成立

当为奇数时，
当时，右，∴
当为偶数时，
当时，右，∴
综上可知：
【点睛】
本题考查由递推公式求数列的通项公式，以及查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．
37．（2020·沙坪坝·重庆一中高一月考）已知数列满足，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列满足，求.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的定义即可证明.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消求和法即可求解.
【详解】
（1）设 ，，
则
，
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，所以
所以，
所以

.
【点睛】
本题考查了利用等比数列的定义判断数列为等比数列、裂项相消求数列和，考查了基本运算能力，属于基础题.
38．（2020·辽源市田家炳高级中学校高一期末（文））已知等比数列的公比，且的等差中项为10， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用已知条件求出首项与公差，然后根据等比数列的通项公式，即可求出结果；
（Ⅱ）先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】
解析：（Ⅰ）由题意可得：，
∴
∵，∴，∴数列的通项公式为.
（Ⅱ） ， ∴

上述两式相减 可得
∴=
【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求法，以及利用错位相减法求和，考查计算能力，属于基础题．
39．（2020·辽源市田家炳高级中学校高一期末（理））已知数列的前项和和通项满足，数列中，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列满足求证：.
【答案】(1) ，；(2)证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）对数列，已知和与的关系，可利用来求其通项公式，而数列，由已知可得数列是等差数列，从而借助等差数列的通项公式得；（2）要证题设不等式，最好能求得和，由于，这个和可用错位相减法求得．
试题解析：（1）由，得，当时，，而，是首项为，公比为的等比数列，，由得，是首项为，公差为的等差数列，.
（2），设则
，由错位相减，化简得：.
考点：已知与的关系求通项，等差数列的判断，错位相减法求和．
40．（2020·河北唐山·高三二模（文））已知等比数列的各项均为正，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的通项公式表示、，根据题意列出关于和公比的方程组求解；
（2）先利用的通项公式确定出，再确定出并求和.
【详解】
解：（1）设数列的公比为
依题意有：
两式相比，整理得，解得或．
因为的各项均为正，所以，，
所以．
（2），
，
所以
．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式求解，考查裂项相消法求和，难度一般.解答的关键在于求解通项公式，再根据通项公式确定求和方法.
41．（2020·四川内江·高一期末（理））已知数列满足．
（1）求数列的通项；
（2）设，若，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由已知式，用代换得，相减后可求得，同时要验证也符合此表达式即可；
（2）求出，用放缩法求和，一个放缩是，
另一个放缩是，放缩求和后可证得不等式成立．
【详解】
（1）∵①，
∴时，②，
①－②得，，
又，也适合上式，
∴，；
（2）由（1）得，
由，
得，
∴，
又，，
，，
，∴，
综上，．
【点睛】
本题考查求数列的通项公式，解题方法是类比已知求的方法，考查证明数列不等式，解题方法是放缩法，利用放缩法求和，然后证明不等式成立．解题关键是放缩，恰当地放缩．
42．（2020·四川内江·高一期末（理））已知等差数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的实数的范围．
【答案】（１）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）因为点均在函数的图象上，得到．通过，即可求解数列的通项公式．
（2）由（1）可知，再利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式求解实数的取值范围．
【详解】
（1）因为点均在函数的图象上，所以．
当时，；
当时，．
又也满足， 所以．
（2）因为，
所以，
所以．
又对任意都成立， 所以 ，即．
所以实数 的取值范围是．
【点睛】
本题考查数了利用数列递推公式求通项公式，考查了裂项相消法求和的应用，同时考查了数列中的不等式恒成立问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
43．（2020·四川内江·高一期末（文））已知数列满足.
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和，当对一切正整数恒成立时，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求出，再用错位相减法求出时的，再检验是否符合，进而求出；
（2）首先根据（1）求出数列的通项公式，再求出数列的前项和；又因为递增，所以对一切正整数恒成立等价于，即，进而求出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）当时，，所以，
当时， ①，
②，
由①②得，所以，当时也符合此式，
综上可知.
（2）因为，所以，
所以 ③，
④，
由③④得：

所以，
又因为，所以的最小值为，
所以，
所以，即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式和数列前和的求解，以及数列与不等式的结合等问题，考查运算求解能力，属于中等题型.

三、填空题
44．（2020·江苏南通·高三其他）已知等比数列的公比，且，则________．
【答案】1024
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式化简可得．
【详解】
，所以==，所以，
所以=,所以=.
故答案为：1024.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及等差数列的通项公式及指数运算，计算量较大，属于中档题．
45．（2020·全国高三其他（理））已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】
【详解】
当时，，得，
当时，，
又，
两式相减得，得，
所以．
又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即．
因为，所以不等式，等价于．
记，
时，．
所以时，
综上，，
所以，所以整数的最大值为4．
考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．
46．（2020·安徽滁州·高二期末（理））将集合中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:

则该数表中，从小到大第50个数为__________．
【答案】1040
【解析】
用表示，下表的规律为：



…
，则第行的第个数，，故答案为.
【方法点睛】本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
47．（2020·湖北蔡甸·汉阳一中高三其他（理））已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为，若，有，则的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
就和分类讨论，结合前项和公式可求的取值范围.
【详解】
①当时，，因为，
所以，恒成立；
②当时，由，得，
若，则，即或（舍），故.
若，则即对任意的恒成立，
但当时，，故舍去.
综_上所述，q的取值范围是．
【点睛】
本题考查等比数列的前项和以及数列不等式的恒成立，注意求和时要根据公比的取值分类讨论，本题属于中档题.
48．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）各项为正且公差不为0的等差数列的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列的连续三项（顺序不变），设，若对于一切的，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列的连续三项，利用等比中项得到，化简得到，从而求得，然后利用裂项相消法求得，再由，得到求解.
【详解】
设等差数列的公差为d，
由得，
因为，
所以，
所以，


，
所以，则，
因为，
所以，
故的最小值为．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和以及数列不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
49．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）已知数列满足，，若，则____
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，将n＝2，3，4分别代入到已知递推公式中可求a2，a2，a4，然后根据a4＝0可得0，解可得a的值，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，数列{an}满足a1＝a，，
则a2＝11，
a3＝11，
a4＝11，
若a4＝0，则0，解可得a，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查由数列的递推公式求解数列的项，注意依次求出数列{an}的前4项．
50．（2020·四川广元·高一期末）定义：如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的和相等且为同一常数，这样的数列叫“等和数列”，这个常数叫公和．给出下列命题：
①“等和数列”一定是常数数列；
②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；
③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；
④数列是“等和数列”且公和，则其前项之和；
其中，正确的命题为__________．（请填出所有正确命题的序号）
【答案】②
【解析】
【分析】
利用“等和数列”的定义对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】
①“等和数列”不一定是常数数列,如数列是“等和数列”，但是不是常数数列，所以该命题错误；
②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列.如果数列是等差数列，所以，如果数列是“等和数列”，所以
所以所以，所以，所以这个数列一定是常数列，所以该命题是正确的.
③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列. 如果数列是等比数列，所以，如果数列是“等和数列”，所以
所以所以，所以，所以这个数列不一定是常数列，所以该命题是错误的.
④数列是“等和数列”且公和，则其前项之和，是错误的.举例“等和数列”其，所以该命题是错误的.
故答案为：②
【点睛】
本题主要考查数列的新定义的理解和应用，考查等差数列和等比数列的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
51．（2020·贵州高一期末）定义：称为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为an=_________.
【答案】4n－3.
【解析】
分析：由题意结合新定义得到数列的前n项和公式， 然后求解数列的通项公式即可.
详解：设数列的前n项和为，由题中的新定义可知：，
则：，
当时，，
当时，，
且时，，则数列的通项公式为：.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
52．（2020·江苏南通·高三其他）在各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，利用，，成等差数列求出的值，化简并代入求值即可．
【详解】
设等比数列的公比为
由，得，解得(负值舍)
则
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的定义，得出要求的比值为q是解决问题的关键，属基础题．