专题五 导数的运算及在函数性质中的应用-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题五 导数的运算及在函数性质中的应用
一、单选题
1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学三模（理））已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设曲线与的公共点为，根据题意可得出关于、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】
设函数，的公共点设为，
则，即，解得，
故选：B.
【点睛】
本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.
2．（2020·河北双桥·其他（理））已知函数有两个零点，则实数k的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
令，问题可转化为有两个不等实根，通过图象观察可求出.
【详解】
令，
问题可转化为有两个不等实根，
即与有两个交点，．
作出图象：

设过原点的直线与的切点为，斜率为，
则切线方程为，
把代入，可得，即，切线斜率为，
设与相切，则，，得，
由图可得实数k的取值范围为或．
故选:D．
【点睛】
本题考查函数零点问题，利用图象的交点是解决此类问题的有效办法，属于中档题.
3．（2020·陕西省商丹高新学校期中（文））如图所示，函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（ ）

A．0 B．1 C．－1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果.
【详解】
切线方程为：，当，
则，
故选：C
【点睛】
本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
4．（2020·陕西渭滨·期末（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对多项式函数求导，结合导数的几何意义，可得选项.
【详解】
设函数，
则，所以，
则曲线在点处的切线方程为.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题.
5．（2020·四川宜宾·期末（文））已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，可得，再根据求出，即可求解不等式.
【详解】
设，
，
，
，
，

，

，
即，
解得，
所以不等式解集为，
故选：D
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的性质、方程与不等式的解法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
6．（2020·四川宜宾·期末（理））已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以令，然后根据得出，再然后设，通过求出，最后将转化为，通过计算即可得出结果.
【详解】
令，则，
因为，所以，
设，
因为，所以，，
因为，所以，
即，，解得，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.
7．（2020·山西一模（理））设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数 根据的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当时，f（x）<0, 当时，f（x）>0,再解不等式即可.
【详解】
构造函数则 ，
已知当时，，所以在x>0时，<0，即g（x）在（0，+）上是减函数，
因为y=lnx在（0，+）上是增函数，所以f（x）在（0，+）上是减函数
已知是奇函数，所以f（x）在（-，0）上也是减函数，f（0）=0，
故当时，f（x）<0, 当时，f（x）>0,
由得 ，解得x<-2或0 故选D.
【点睛】
本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f（x）＞0与f（x）＜0的解集.
8．（2020·陕西新城·西安中学期末（理））如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）．

A．－1 B．0 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
将点的坐标代入切线方程得出的值，得出以及，再对函数
求导得，即可得出的值．
【详解】
将点代入直线的方程得，得，所以，，
由于点在函数的图象上，则，
对函数求导得，
，故选B．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：
（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；
（2）切点是切线与函数图象的公共点．
9．（2020·全国高二单元测试）已知且，则函数（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，又无极小值
【答案】C
【解析】
【分析】
先求导数，再求导函数零点，根据零点分析导数符号，进而确定极值.
【详解】
,又在上单调递增，，所以在上有且仅有一个零点，设为，因为则，所以导函数有两个不同零点，因此函数既有极大值，又有极小值，选C.
【点睛】
导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.
10．（2020·沙坪坝·重庆八中高三月考）已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求得，然后分,两种情况讨论，得到的单调性，然后可建立不等式求解.
【详解】
由可得，
当时，，在上单调递增，不满足题意；
当时，由得，由得
所以在上单调递减，在上单调递增，
要使得函数在区间上不是单调函数，
则有，解得：.
故选：C
【点睛】
本题考查的是利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想.
11．（2020·黑龙江尖山·双鸭山一中开学考试（理））设函数是定义在上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
对求导得，可证得在上单调递减，于是有（2）和，从而得解.
【详解】
，，
在上单调递减，
（2），即，（2）；
，即，.
故选：.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的转化思想和逻辑推理能力，属于中档题.
12．（2020·黑龙江尖山·双鸭山一中开学考试（理））定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2+1＞0（为函数f（x）的导函数），f（3）＝，则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞logx2的解集为（ ）
A．（1，8） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（8，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数F（x），由已知条件可得F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，所以函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，再利用F（x）单调性解不等式.
【详解】
构造函数F（x）＝f（x）﹣，x∈（1，+∞），
∴F'（x）＝f'（x）＝，
∵函数f（x）在（1，+∞）上满足x2f′（x）+1＞0，
∴F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，
∵不等式f（log2x）﹣1＞logx2，
∴f（log2x）﹣logx2＞1，即 f（log2x）﹣＞1，
又∵F（3）＝f（3）﹣＝﹣＝1，
∴不等式可转化为F（log2x）＞F（3），
又∵函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴log2x＞3，解得：x＞8，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性以及利用单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

二、多选题
13．（2020·全国月考）设函数，在上存在导函数，，且，不含常数项，对于任意的实数都有，当时，，则（ ）
A．是偶函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是减函数 D．若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据条件依次判断每个选项的正误.
【详解】
对于A，由，不含常数项可知，
因为对于任意的实数都有，
，
是奇函数，故A错误；
对于B， 当时，，即，故在区间上是减函数，故B正确；
对于C，当时，，
，则在上是减函数，
是奇函数，在区间上是减函数，故C正确；
对于D，若，则，
即，是减函数，，解得，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查函数的性质的综合应用，属于中档题.
14．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考）对于函数，下列正确的是（ ）
A．是函数的一个极值点
B．的单调增区间是，
C．在区间上单调递减
D．直线与函数的图象有3个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求导，求出的单调性，极值点，极值，进而可进行判断.
【详解】
解：由题得，
令，可得，
则在，上单调递增，在上单调递减，
是函数的一个极值点，
故AC正确，B错误；
因为，，
又，
根据在上单调递减得
得，
所以直线与函数的图象有3个交点，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查函数的单调性，极值的综合应用，是中档题.

第II卷（非选择题）
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三、解答题
15．（2020·云南保山·其他（文））已知函数，.
（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）若，函数与轴有两个交点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对函数求导，得到，根据题意，结合导数的几何意义列出方程求解，即可得出结果；
（Ⅱ）根据题意，得到方程在上有两个不等实根，令，，则只需直线与函数的图像有两个不同的交点，对函数求导，用导数的方法判定函数单调性，画出其大致图像，结合函数图像，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）由题意知函数的定义域为，，
因为曲线在处的切线方程为，
所以切线斜率为，
即时，，解得.
（Ⅱ）因为函数与轴有两个交点，
所以方程在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根，
又方程可化为，
令，，
则只需直线与函数的图像有两个不同的交点，
又，所以，
由得，解得；
由得，解得；
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
因此，
当时，；当时，，
画出函数的大致图像如下：

由函数图像可得，当，即时，直线与函数的图像有两个不同的交点，即函数与轴有两个交点.
因此的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查由曲线的切线方程求参数，考查导数的方法研究函数的零点问题，属于常考题型.
16．（2019·贵州遵义·期末（文））已知函数．
（I）求曲线在点处的切线方程．
（Ⅱ）若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】（Ⅰ）4x﹣y﹣18＝0（Ⅱ）y＝13x，切点为（﹣2，﹣26）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得函数的导数3x2+1，求得在点切线的斜率和切点的坐标，即可求解切线的方程；
（Ⅱ）设切点为（m，n），求得切线的斜率为1+3m2，根据切线过原点，列出方程，求得的值，进而可求得切线的方程.
【详解】
（Ⅰ）由题意，函数f（x）＝x3+x﹣16的导数为3x2+1，得，
即曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为4，且切点为（1，﹣14），
所以切线方程为y+14＝4（x﹣1），即为4x﹣y﹣18＝0；
（Ⅱ）设切点为（m，n），可得切线的斜率为1+3m2，
又切线过原点，可得1+3m2，解得m＝﹣2，
即切点为（﹣2，﹣26），所以切线方程为y+26＝13（x+2），即y＝13x．
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线方程的求解方法，以及合理利用导数的几何意义求得切线的斜率，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．（2020·甘肃省会宁县第二中学期末（文））已知函数．
（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2） .
【解析】
【分析】
（1）确定函数的定义域，求导函数，利用是函数的极值点，即可求的值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，结合函数的定义域，可得函数的单调区间，求出最大值，即可得出结论．
【详解】
解：（1）函数定义域为，
因为是函数的极值点，所以（1），
解得或，
因为，所以；
（2）若，在定义域内不恒成立；
若，则，．
由，结合函数的定义域，可得；
由，结合函数的定义域，可得；
函数的单调增区间为；单调减区间为，．
时取得最大值，
，
．
【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导，合理分类是关键．
18．（2018·四川省绵阳江油中学开学考试（理））已知函数.
（1）若函数在区间（2，）内单调递增，求的取值范围；
（2）设，（）是函数的两个极值点，证明：恒成立.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求的导函数，题目转化成在恒成立即可，化简得到答案；
（2）先构造函数，根据有两个极值点， ，可以得到，进一步化简，最终的到结论.
【详解】
（1）的定义域为，，
若满足题意，只要在恒成立即可，
即恒成立，又，所以，
（2），则的定义域为，，若有两个极值点，
则方程的判别式，且
得，又及
所以，
设，其中，由得，
又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，从而恒成立.
【点睛】
本题考查利用导数求函数单调性以及函数极值点知识点，考查运算求解能力，推理论证能力，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，解题时要认真审题，仔细解答．
19．（2020·吉林高二期末（理））设函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当，时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）把代入函数解析式，求出导函数，可得函数的单调区间，进一步求得极值；
（2）当，时，将不等式恒成立，转化为在，上恒成立，令，利用导数求最大值即可.
【详解】
（1）函数的定义域为.
当时，，.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
当时，取得极大值为（1），当时，取得极小值为（3）；
（2）当，时，不等式恒成立，
即，也就是在，上恒成立.
令，则.
，，，即.
可知在，上为增函数.
（1）.
又，.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的极值与最值，还考查了转化化归思想和运算求解能力，属于中档题.
20．（2020·天津经济技术开发区第一中学开学考试）已知函数，，.
（1）求函数的极值；
（2）若在上为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）或；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出函数的单调区间，结合极值的概念即可得解；
（2）由导数与函数单调性的关系转化条件为或在恒成立，即可得解；
（3）令，转化条件为要使在上有解，按照、分类；结合导数可得当时，函数在上单调递增，再令即可得解.
【详解】
（1）函数的定义域为，，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以当时，函数取极小值，无极大值；
（2）由题意，
则，
若在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
所以；
若在上单调递减，则在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上恒成立，
又，所以；
综上，的取值范围为或；
（3）令，
则要使在上有解，
当，时，，，
所以此时，不合题意；
当时，，
因为，所以，，所以，
所以函数在上单调递增，
又，则，
所以，解得；
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数解决函数的极值、单调性问题及研究方程根的应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
21．（2020·西藏乃东·山南二中高二期末（文））已知函数．
（1）若在点，（2）处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）讨论函数在区间，上零点的个数．
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，由可求出的值；
（2）求出的导数，通过讨论的范围，判断导函数符号，求出函数的单调区间即可；
（3）求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，结合单调性可得到函数在区间，上零点的个数；
【详解】
（1）的定义域是，
，
，
只需的斜率是，
，
；
（2）由（1）得，
当时，，在递增，
时，由，得，由，解得：，
在递增，在，等价，
综上，当时，函数的递增区间是，时，函数的递增区间是，递减区间是，，
（3）由，得，
令，则，
由得，，由，得，
在区间，递增，在区间，递减，
又（1），，，
当或时，在，上有一个零点，
当时，在，上有2个零点，
当或时，在，上没有零点；
【点睛】
本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.

四、填空题
22．（2020·全国高三其他（理））定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凸函数”.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意对函数求二阶导函数，令在区间恒成立，分离参数，解得实数的取值范围即可.
【详解】



在区间上为“凸函数”
在上恒成立
上恒成立
设，，
则
当且仅当时取得最大值，

故答案为：.
【点睛】
本题考查了新定义“凸函数”，考查了分离参数法解决恒成立问题和基本不等式，属于中档题.
23．（2020·沙坪坝·重庆八中高三月考）函数对于任意，均满足，，若存在实数，，，满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先得到函数的对称性，从而求出函数解析式、画出函数图象，根据对称性可得，令，则，再根据二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：由函数对于任意，均满足，可知的对称轴方程为．
因为，所以
函数图象如图所示：

因为存在实数，，，,
满足,
,
所以，令，
则恒成立，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查函数方程的综合应用，函数的对称性的应用，属于中档题.
24．（2020·宜宾市叙州区第一中学校开学考试（理））已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求导函数，先考虑其反面函数单调时的范围，再求结论的补集即可得到结论.
【详解】
，
若函数在区间上单调，
则或在上恒成立，
即或，
∴或，
于是满足条件的实数的范围为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键，属于中档题.