专题十七 圆锥曲线的方程-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）

十七   圆锥曲线的方程

一、单选题

1．（2020·全国课时练习）一动圆P过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020·全国课时练习）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支

3．（2020·全国课时练习）已知平面上的定点及动点M，甲：(m为常数)，乙：点M的轨迹是以为焦点的双曲线，则甲是乙的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2020·全国课时练习）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·全国课时练习）已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·全国课时练习）已知，动点P满足，则P点的轨迹是（    ）

A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线

7．（2020·全国课时练习）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B． C． D．

8．（2020·全国课时练习）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A． B． C． D．

9．（2020·湖北期中）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，分别为、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第二象限的公共点为点P，且满足，则的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．（2020·全国课时练习）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

11．（2020·全国课时练习）设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ）

A． B． C． D．

12．（2020·全国高二课时练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ）

A． B．3 C．6 D．

二、多选题

13．（2020·全国课时练习）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（    ）

A． B．

C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点

14．（2020·全国高二专题练习）设，分别为双曲线：的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则（    ）

A．双曲线的渐近线方程为

B．双曲线的离心率为

C．双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为

D．双曲线的渐近线与抛物线的交点构成的三角形的面积为

15．（2020·全国高二单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

三、解答题

16．（2020·全国课时练习）已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．

17．（2020·全国课时练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

18．（2020·湖北期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，离心率为.

（1）若为椭圆上任意一点，且横坐标为，求证：；

（2）不经过和的直线与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆交于，两点，试判断的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

19．（2020·全国课时练习）设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．

20．（2020·全国课时练习）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

21．（2020·全国课时练习）已知抛物线的准线与x轴的交点坐标是.

（1）求抛物线方程；

（2）求定点M，使过点M的直线l与抛物线交于B、C两点（异于原点），且以为直径的圆恰好经过原点.

22．（2020·全国课时练习）已知椭圆上的动点P到右焦点距离的最小值为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l和椭圆C交于M、N两点，A为椭圆的右顶点，，求面积的最大值.

23．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点，为坐标原点，椭圆的离心率为，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，直线：与椭圆交于两个不同点，；直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点.

24．（2020·泰州市第二中学月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；

（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.

25．（2020·北京平谷·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：为定值．

26．（2020·全国单元测试）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

27．（2020·全国单元测试）如图，曲线由上半椭圆：（，）和部分抛物线：（）连接而成，与的公共点为，，其中的离心率为．

（1）求，的值；

（2）过点的直线与，分别交于点，（均异于点，），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

28．（2020·全国单元测试）如图，在平面直角坐标系中，椭圆 ()的短轴长为2，椭圆上的点到右焦点距离的最大值为．过点作斜率为的直线交椭圆于，两点（，），是线段的中点，直线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，，求的值；

（3）若存在直线，使得四边形为平行四边形，求的取值范围．

29．（2020·全国单元测试）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.

（i）求直线的斜率；

（ii）求椭圆的方程.

30．（2020·安徽宣城·期末（理））如图，已知圆，点P是圆E上任意一点，且，线段PF的垂直平分线与半径PE相交于点Q.

（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ方程；

（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且，当△的面积为 时，求点C的坐标.

31．（2020·安徽池州·期末（文））已知抛物线，直线与抛物线有且只有一个公共点

（1）求抛物线的方程以及点坐标；

（2）设为坐标原点，直线平行于与交于不同的两点，，且与直线交于点，是否存在常数，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

32．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于点A,B，线段AB的中点的横坐标为，且（其中）.

（1）点在上且直线的斜率的取值范围是，试求直线斜率的取值范围；

（2）求实数的值.

33．（2020·江门市第二中学期中）设双曲线的渐近线为，焦点在轴上且实轴长为.若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和等于，并且曲线：（是常数）的焦点在曲线上.

（1）求满足条件的曲线和曲线的方程；

（2）过点的直线交曲线于点、（在轴左侧），若，求直线的倾斜角.

34．（2020·安徽期末（文））已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，且到直线的距离为．

（1）求椭圆C标准的方程；

（2）过的直线m交椭圆C于P，Q两点，Q为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

35．（2020·沙坪坝·重庆南开中学期末）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，为的中点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）若的中垂线与的准线交于点，且，求直线的斜率.

36．（2020·安徽期末（理））已知椭圆一个焦点和抛物线了的焦点重合，且过点，椭圆E的长轴的两端点为A、B．

（1）求椭圆E的方程；

（2）点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线与直线PA，PB分别交于M，N两点以MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由．

37．（2020·荆门市龙泉中学其他（理））如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

38．（2020·湖北宜昌·其他（文））已知椭圆的上顶点为，是椭圆上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，在直线上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求出等边三角形的面积；若不存在，请说明理由.

39．（2020·河南高三其他（文））已知抛物线的焦点为，点到直线的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）点为坐标原点，直线、经过点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，记，若，求的最小值.

40．（2020·全国高二课时练习）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

41．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线．

（1）若椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上方），若，求椭圆C的离心率；

（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求的取值范围（用k表示）．

42．（2020·江苏南通·高三其他）如图，焦点在x轴上的椭圆与焦点在y轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为.

（1）求椭圆与椭圆的标准方程；

（2）过点M且互相垂直的两直线分别与椭圆，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求直线MA，MB斜率的比值.

43．（2020·四川德阳·高三其他（理））已知动点到点的距离和到直线的距离之比为．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）已知点，过点的直线和曲线交于、两点，直线、、分别交直线于、、．

（i）证明：恰为线段的中点；

（ii）是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在，求出定点的坐标，否则说明理由．

四、填空题

44．（2020·全国课时练习）若双曲线的左､右焦点分别为，点M在双曲线上，若的周长为20，则的面积等于______.

45．（2020·全国课时练习）已知P是双曲线上一点，分别为双曲线的左､右焦点，若，则______.

46．（2020·全国课时练习）若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为______.

【答案】7或

47．（2020·湖北期中）A，B两动点在抛物线上，且，若线段的中点M在x轴上的射影为，则的最小值为_____________.

48．（2020·山西其他（理））已知抛物线：，其焦点为，的准线交轴于点，，为抛物线上动点，且直线过点，过，分别作，的平行线，（为坐标原点），直线，相交于点，记点的运动轨迹为曲线，直线与曲线无交点，则的取值范围是______.