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初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质精品ppt课件
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这是一份初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质精品ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了答案A，答案C，答案B，答案1，答案0≤a≤2，答案-1等内容，欢迎下载使用。
知识点一 二次函数y=x2,y=-x2的图象与性质二次函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线,对 称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.函数图象的画法包括列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:先取原点,然后在原点两侧对称地取几个点,因为关于y轴对称的两 点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,所以可以先计算y轴右侧点的纵坐标, 左侧点的坐标对应写出即可.(2)描点:在平面直角坐标系中描出各点.(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点.
注意 “顺次”是指按自变量从小到大的顺序,或从左到右的顺序,“光 滑”是指连线时不出现尖角形,同时图象的两边要伸展出去,表示向上(或 向下)无限延伸.二次函数y=x2,y=-x2的图象与性质:
例1 如图2-2-1,观察函数y=x2的图象,则下列说法中正确的是 ( )A.若a,b互为相反数,则x=a与x=b时的函数值相等B.对于同一个自变量x,有两个函数值与其对应C.对任意实数x,都有y>0D.对任意实数y,都有两个x与其对应
解析 x=a和x=b时的函数值分别是a2,b2,因为a=-b,所以a2=b2,所以A中说法正确.如果对于同一个自变量x,y有两个值与其对应,那么根据函数的定义知y不 是关于x的函数,故B中说法错误.当x=0时,y=0,所以C中说法错误.函数y=x2的图象经过原点,图象位于x轴及其上方,所以y≥0,y不可能取到所有实数,故D中说法错误.
点拨 通过观察y=x2的图象,可以更好地理解它的性质.
知识点二 函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
1.函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2(a≠0)的图象是抛物线,a>0,开口向上,a<0,开口向下;对称轴 是y轴;顶点坐标是(0,0).
2.函数y=ax2(a≠0)的性质
知识拓展 |a|与抛物线的关系:(1)|a|相等,形状一样.如抛物线y=4x2与y=-4x2的形状一样,开口方向相反.(2)|a|越大,抛物线的开口越小,即图象越靠近y轴;|a|越小,抛物线的开口越 大,即图象越远离y轴.
4.a,k的符号对y=ax2+k(a≠0)的影响:y=ax2+k(a≠0)的图象中,a的符号 决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口大小,k决定抛物线的顶点位 置,即抛物线位置的高低.
2.二次函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的关系:
例4 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y=x2,y=(x-1)2和y=(x+1)2的图 象,并根据图象回答下列问题:(1)从顶点、对称轴、形状、开口方向及增减性等方面比较它们的异同;(2)抛物线y=(x-1)2和y=(x+1)2可以看成是将抛物线y=x2作怎样的平移得到 的?
分析 在同一平面直角坐标系中画出三个二次函数的图象,然后对照图象 解答问题.
在y=(x+1)2中,当x<-1时,y随x的增大而减小,当x>-1时,y随x的增大而增大.(2)抛物线y=(x-1)2可以看成是将抛物线y=x2向右平移1个单位长度得到的; 抛物线y=(x+1)2可以看成是将抛物线y=x2向左平移1个单位长度得到的.
点拨 (1)本题作图可先作出二次函数y=x2的图象,然后向右平移1个单位 长度得到二次函数y=(x-1)2的图象;将抛物线y=x2向左平移1个单位长度得 到二次函数y=(x+1)2的图象.画二次函数y=(x-h)2图象的方法有两种:描点法 和平移法.(2)抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点(h,0)的横坐标h是由对称轴方程x-h=0解得 的.(3)抛物线左右平移规律可简记为“左加右减”,函数的有关性质可结合图 象获得.
归纳 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质:
由于从y=a(x-h)2+k(a≠0)中可以直接看出抛物线的顶点坐标,所以通 常把y=a(x-h)2+k(a≠0)叫做二次函数的顶点式.
分析 先画出函数图象,再求a,h,k的值,得出函数表达式,根据性质就可完 成后面的题目.
点拨 (1)通过本题易发现抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的形状相 同,只是位置不同,即其中一条抛物线可通过另一条抛物线平移得到.(2)当抛物线对应的函数关系式是y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式时,可以根据图 象特点直接写出顶点坐标及对称轴,但这种记忆式的方法容易弄错符号,用 完全平方项为0确定顶点横坐标比较容易理解,也不容易弄错符号.
例6 (2019福建漳州龙海期中)不画出图象,写出函数y=2x2-4x+1的图象的 开口方向、对称轴、顶点坐标和它的性质.
学法指导 求二次函数图象的对称轴与顶点坐标时,可将函数解析式配方 成顶点式,再由顶点式确定图象的对称轴、顶点坐标,或直接利用顶点坐标 公式求解.
点拨 本题运用配方法和公式法求抛物线的对称轴和顶点坐标.在套用公 式时,一定要先将二次函数的表达式(如果不是一般式)化为一般式y=ax2+ bx+c(a≠0),再确定a,b,c的值.
解析 ∵y=-x2+2x+c=-(x-1)2+1+c,∴函数y=-x2+2x+c图象的对称轴为直线x= 1,开口向下,当x<1时,y随x的增大而增大.∵C(2,y3)关于直线x=1的对称点为 (0,y3),又∵0>-1>-2,∴y3>y2>y1.
方法归纳 利用二次函数的增减性比较函数值的大小时,首先要确定二次 函数的图象的对称轴,然后判断所给点是否在对称轴的同一侧,若在同一 侧,可根据函数的性质比较函数值的大小;若不在同一侧,可根据对称性转 化到同一侧,然后比较函数值的大小.
点拨 先根据二次函数的图象得到a>0,b<0,c>0,再根据一次函数的图象与 系数的关系和反比例函数的图象与系数的关系判断它们的位置.
分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴的交点情况进行推理,进而对题 中结论进行判断.
错解 错解一:∵0≤x≤3,y随x的增大而增大,∴当x=3时,函数的最大值为y=2×(3-2)2+3=5.错解二:∵二次函数y=2(x-2)2+3(0≤x≤3)图象开口向上,顶点是最低点,∴ 没有最大值.
正解 二次函数y=2(x-2)2+3(0≤x≤3)图象的顶点是(2,3).当x>2时,y随x的增大而增大,当x=3时,函数值y=2×(3-2)2+3=5;当x<2时,y随x的增大而减小,当x=0时,函数值y=2×(0-2)2+3=11.∴二次函数y=2(x-2)2+3(0≤x≤3)的最大值为11.
错因分析 错解一忽略了顶点横坐标在所给取值范围内,应分对称轴左侧和右侧两种情况计算、比较,从而确定最大值;错解二忽略自变量取值的限制而造成判断错误.结合自变量的取值范围作出函数图象的草图,能直观地解答本题.
答案 C 根据正方形的面积公式可知,函数关系式为y=x2,又∵x>0,∴选C.
2.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的异同点,说法错误的是 ( )A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反C.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴成轴对称D.点A(-3,9)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上
答案 D 点A(-3,9)在抛物线y=x2上,但不在抛物线y=-x2上.
3.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则 ( )A.y1
6.抛物线y=-3x2上有两点A(x,-27),B(2,y),则x= ,y= .
答案 ±3;-12
解析 把点A(x,-27)代入y=-3x2中,得-3x2=-27,解得x=±3.把点B(2,y)代入y=-3 x2中,得y=-3×22=-12.
答案 A 观察三个二次函数的解析式可知,对称轴都是y轴,故A正确;三 个函数图象的顶点坐标分别为(0,2),(0,-1),(0,0),它们的开口方向分别为向 上,向下,向上,故B,C,D都错误,故选A.
9.抛物线y=-6x2可以看成是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到的 ( )A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位
答案 B 抛物线y=-6x2的顶点坐标为(0,0),而抛物线y=-6x2+5的顶点坐标 是(0,5),从顶点坐标上可以看出需向下平移5个单位长度,故选B.
答案 B 二次函数y=-2(x-1)2的图象开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐 标为(1,0),故选B.
11.把函数y=-3x2的图象沿x轴向左平移5个单位长度,得到的图象的解析式 为 ( )A.y=-3x2+5 B.y=-3x2-5 C.y=-3(x+5)2 D.y=-3(x-5)2
答案 C 把函数y=-3x2的图象沿x轴向左平移5个单位长度,根据“左加右 减”的平移规律,得到的图象的解析式为y=-3(x+5)2.
12.已知抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的对称轴为直线x=-2,且过点(1,-3).(1)求该抛物线的解析式;(2)该抛物线是由y=ax2(a≠0)经过怎样的平移得到的?(3)当x在什么范围内时,y随x的增大而减小?当x取何值时,函数有最大(或最 小)值?
答案 D 抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是(1,1),将点(1,1)向右平移1个单 位,再向上平移3个单位后的坐标为(2,4),则原函数图象的顶点坐标为(2,4), 故选D.
14.(独家原创试题)若抛物线y=3(x-a)2+b的顶点在第三象限,则一次函数y= ax+b的图象经过 ( )A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
答案 B ∵抛物线y=3(x-a)2+b的顶点是(a,b),在第三象限,∴a<0,b<0,∴一 次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限.故选B.
15.(2019湖北武汉模拟)关于函数y=-(x+2)2-1的图象,叙述正确的是 ( )A.开口向上 B.顶点坐标为(2,-1)C.与y轴的交点为(0,-1) D.对称轴为直线x=-2
答案 D 函数y=-(x+2)2-1的图象开口向下,故选项A错误;顶点坐标为(-2,- 1),故选项B错误;当x=0时,y=-5,即该函数图象与y轴的交点为(0,-5),故选项C 错误;对称轴是直线x=-2,故选项D正确,故选D.
16.已知二次函数y=3(x-2)2+9.(1)该函数图象的开口向 ,对称轴为直线 ,顶点坐标为 ;(2)当x= 时,函数有最 值,是 ;(3)当x 时,y的值随x值的增大而增大;当x 时,y的值随x值 的增大而减小;(4)该函数图象经过怎样的平移可以得到二次函数y=3x2的图象?
解析 (1)上;x=2;(2,9).(2)2;小;9.(3)>2;<2.(4)将该函数图象向下平移9个单位长度,向左平移2个单位长度,即可得到 二次函数y=3x2的图象.
18.(2018江苏苏州太仓期中)将抛物线y=x2-2x+3向左平移1个单位,再向下 平移3个单位,则所得抛物线的解析式为 .
答案 y=x2-1
解析 y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2,由平移的规律:“左加右减自变量,上 加下减常数项”可得将原抛物线向左平移1个单位,再向下平移3个单位后 得到的抛物线的解析式为y=(x-1+1)2+2-3,即y=x2-1.
1.二次函数y=x2+4x-5的图象的对称轴为 ( )A.x=4 B.x=-4 C.x=2 D.x=-2
2.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物 线的函数关系式是 ( )A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2
答案 B 将抛物线y=x2+1向左平移2个单位,所得抛物线的函数关系式是 y=(x+2)2+1,再将抛物线y=(x+2)2+1向下平移3个单位,所得抛物线的函数关 系式是y=(x+2)2+1-3,即y=(x+2)2-2.故选B.
3.用配方法把函数y=-3x2-6x+10化成y=a(x-h)2+k的形式,然后指出图象的开 口方向、对称轴、顶点坐标和最值.
解析 ∵y=-3x2-6x+10=-3(x+1)2+13,∴图象开口向下,对称轴为直线x=-1,顶 点坐标为(-1,13),最大值为13,无最小值.
答案 C 选项A中,由抛物线开口向下可知a<0,由一次函数y=bx+a的图象与y轴交于正半轴可知a>0,矛盾,选项A错误.选项B中,由抛物线开口向下可知a<0,由抛物线的对称轴在y轴左侧,易知b<0,由一次函数y=bx+a的图象经过第一、三、四象限知a<0,b>0,矛盾,B错误.选项C中,由抛物线开口向上可知a>0,由抛物线的对称轴在y轴右侧,易知b<0,由一次函数y=bx+a的图象可知a>0,b<0,选项C正确.选项D中,由抛物线开口向上可知a>0,由抛物线的对称轴在y轴右侧,易知b<0,由一次函数y=bx+a的图象可知a>0,b>0,矛盾,选项D错误.
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.当A在抛物线的顶点处时,AC最 短,此时A(1,1),AC=1,即对角线BD的最小值为1.
4.(独家原创试题)把二次函数y=2(x-1)2+2的图象绕点(-1,0)旋转180°后,得 到的新抛物线的解析式为 .
答案 y=-2(x+3)2-2
解析 旋转180°不会改变抛物线的形状,但开口方向相反,所以旋转后的抛 物线的解析式的二次项系数为-2.二次函数y=2(x-1)2+2的图象的顶点坐标 为(1,2),点(1,2)关于点(-1,0)中心对称的点为(-3,-2),∴旋转后的抛物线的顶 点坐标为(-3,-2),故新抛物线的解析式为y=-2(x+3)2-2.
答案 B
3.已知A(x,y)是抛物线y=x2上的一个点且位于第一象限,点B的坐标是(3,0), 用S表示△OAB的面积.(1)求S与y之间的函数表达式以及S与x之间的函数表达式;(2)当S=6时,求点A的坐标;(3)在抛物线y=x2上求一点A',使得△OA'B是以OB为底的等腰三角形.
2.(2019湖北黄石大冶模拟,9,★☆☆)下列对二次函数y=x2-x的图象的描述, 正确的是 ( )A.经过原点B.对称轴是y轴C.开口向下D.在对称轴右侧,图象下降
5.(2019黑龙江哈尔滨平房一模,22,★★☆)把抛物线y=(x+2)2+k向左平移1 个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线y=(x+h)2-1,则h和k的值分别为 ( )A.3,-4 B.1,-4 C.1,2 D.3,2
答案 D 抛物线y=(x+2)2+k的顶点坐标是(-2,k),将点(-2,k)向左平移1个单 位,再向下平移3个单位后的坐标为(-3,k-3),∴平移后抛物线的解析式为y= (x+3)2+k-3.又∵平移后抛物线的解析式为y=(x+h)2-1,∴h=3,k=2.故选D.
二、填空题6.(2019河南洛阳一模,22,★★☆)点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y =ax2-2ax+c(a<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .
答案 y1=y2>y3
7.(2019江苏镇江润州二模,11,★★☆)已知函数y=ax2-6ax+9a+1的图象与线 段AB有交点,且点A(0,1)与点B(2,3),则a的取值范围为 .
三、解答题8.(2019浙江杭州上城一模,22,★★☆)已知二次函数y=a(x+a)(x+a-1).(1)当a=2时,求该二次函数图象的对称轴;(2)当a<0时,判断该二次函数图象的顶点所在的象限,并说明理由;(3)当0
2.(2018山东滨州一模,7,★★☆)将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位,再向 左平移1个单位,所得抛物线的解析式是 ( )A.y=x2-2x-1 B.y=x2+2x-1C.y=x2-2 D.y=x2+2
答案 C y=x2-2x+1=(x-1)2,根据题意得,所得抛物线的解析式是y=(x-1+1)2- 2=x2-2.故选C.
答案 D 由ab>0,得a、b同号.当a>0时,b>0,抛物线y=ax2的开口向上,过原 点,y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,此时没有选项符合;当a<0时,b<0, 抛物线y=ax2的开口向下,过原点,y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,此 时D选项符合.
5.(2019河南许昌二模,13,★★☆)已知函数y=-x2+2x-2图象上两点A(2,y1),B (a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是 .(填“<”“>”或“=”)
解析 ∵y=-x2+2x-2=-(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1,∵A(2,y1),B(a,y2),其中a> 2,∴点A与B在对称轴的右侧,∴y随x的增大而减小,∴y1>y2.
一、选择题1.(2019广西百色中考,9,★☆☆)抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移 得到? ( )A.先向左平移3个单位,再向下平移2个单位B.先向左平移6个单位,再向上平移7个单位C.先向上平移2个单位,再向左平移3个单位D.先向右平移3个单位,再向上平移2个单位
答案 A y=x2+6x+7=(x+3)2-2,按照“左加右减,上加下减”的规律,将抛 物线y=x2先向左平移3个单位,再向下平移2个单位即可得到抛物线y=x2+6x +7.
答案 D 由一次函数y=ax+a可知,一次函数的图象与x轴交于点(-1,0),排 除A、B;当a>0时,二次函数图象开口向上,一次函数图象经过第一、二、 三象限,当a<0时,二次函数图象开口向下,一次函数图象经过第二、三、四 象限,排除C.故选D.
解析 当x=-1时,y=a-b+c>0,当x=2时,y=4a+2b+c<0,故M-N=4a+2b-(a-b)=4a+2b+c-(a-b+c)<0,即M
答案 A 当x=1时,y1=-(x+1)2+2=-(1+1)2+2=-2,当x=2时,y2=-(x+1)2+2=-(2+1)2+2=-7,所以2>y1>y2.故选A.
2.(2019安徽中考,14,★☆☆)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别 与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q 都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .
答案 a>1或a<-1
解析 函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),∵平移直线l,可以使P,Q 都在x轴的下方,∴当x=a-1时,y=(a-1)2-2a(a-1)<0,∴a2-1>0,∴a>1或a<-1.
答案 y2
解析 (1)∵抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为 整数的点)依次为A1,A2,A3,…,An,…,∴点An的坐标为(n,n2).设点Mn的坐标为(a,a),则以点Mn为顶点的抛物线的解析式为y=(x-a)2+a,∵点An(n,n2)在抛物线y=(x-a)2+a上,∴n2=(n-a)2+a,解得a=2n-1或a=0(舍去),∴Mn的坐标为(2n-1,2n-1),∴顶点M1的坐标为(1,1),顶点M2的坐标为(3,3),顶点M3的坐标为(5,5).(2)∵Mn的坐标为(2n-1,2n-1),∴点M2 019的横坐标为2 019×2-1=4 037,∴M2 019 (4 037,4 037).
如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们 称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标;(2)探究下列问题:①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位,再向 上平移1个单位,求得到的图象对应的函数的特征数;②若一个函数的特征数为[2,3],问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得 到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?
知识点一 二次函数y=x2,y=-x2的图象与性质二次函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线,对 称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.函数图象的画法包括列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:先取原点,然后在原点两侧对称地取几个点,因为关于y轴对称的两 点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,所以可以先计算y轴右侧点的纵坐标, 左侧点的坐标对应写出即可.(2)描点:在平面直角坐标系中描出各点.(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点.
注意 “顺次”是指按自变量从小到大的顺序,或从左到右的顺序,“光 滑”是指连线时不出现尖角形,同时图象的两边要伸展出去,表示向上(或 向下)无限延伸.二次函数y=x2,y=-x2的图象与性质:
例1 如图2-2-1,观察函数y=x2的图象,则下列说法中正确的是 ( )A.若a,b互为相反数,则x=a与x=b时的函数值相等B.对于同一个自变量x,有两个函数值与其对应C.对任意实数x,都有y>0D.对任意实数y,都有两个x与其对应
解析 x=a和x=b时的函数值分别是a2,b2,因为a=-b,所以a2=b2,所以A中说法正确.如果对于同一个自变量x,y有两个值与其对应,那么根据函数的定义知y不 是关于x的函数,故B中说法错误.当x=0时,y=0,所以C中说法错误.函数y=x2的图象经过原点,图象位于x轴及其上方,所以y≥0,y不可能取到所有实数,故D中说法错误.
点拨 通过观察y=x2的图象,可以更好地理解它的性质.
知识点二 函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
1.函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2(a≠0)的图象是抛物线,a>0,开口向上,a<0,开口向下;对称轴 是y轴;顶点坐标是(0,0).
2.函数y=ax2(a≠0)的性质
知识拓展 |a|与抛物线的关系:(1)|a|相等,形状一样.如抛物线y=4x2与y=-4x2的形状一样,开口方向相反.(2)|a|越大,抛物线的开口越小,即图象越靠近y轴;|a|越小,抛物线的开口越 大,即图象越远离y轴.
4.a,k的符号对y=ax2+k(a≠0)的影响:y=ax2+k(a≠0)的图象中,a的符号 决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口大小,k决定抛物线的顶点位 置,即抛物线位置的高低.
2.二次函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的关系:
例4 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y=x2,y=(x-1)2和y=(x+1)2的图 象,并根据图象回答下列问题:(1)从顶点、对称轴、形状、开口方向及增减性等方面比较它们的异同;(2)抛物线y=(x-1)2和y=(x+1)2可以看成是将抛物线y=x2作怎样的平移得到 的?
分析 在同一平面直角坐标系中画出三个二次函数的图象,然后对照图象 解答问题.
在y=(x+1)2中,当x<-1时,y随x的增大而减小,当x>-1时,y随x的增大而增大.(2)抛物线y=(x-1)2可以看成是将抛物线y=x2向右平移1个单位长度得到的; 抛物线y=(x+1)2可以看成是将抛物线y=x2向左平移1个单位长度得到的.
点拨 (1)本题作图可先作出二次函数y=x2的图象,然后向右平移1个单位 长度得到二次函数y=(x-1)2的图象;将抛物线y=x2向左平移1个单位长度得 到二次函数y=(x+1)2的图象.画二次函数y=(x-h)2图象的方法有两种:描点法 和平移法.(2)抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点(h,0)的横坐标h是由对称轴方程x-h=0解得 的.(3)抛物线左右平移规律可简记为“左加右减”,函数的有关性质可结合图 象获得.
归纳 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质:
由于从y=a(x-h)2+k(a≠0)中可以直接看出抛物线的顶点坐标,所以通 常把y=a(x-h)2+k(a≠0)叫做二次函数的顶点式.
分析 先画出函数图象,再求a,h,k的值,得出函数表达式,根据性质就可完 成后面的题目.
点拨 (1)通过本题易发现抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的形状相 同,只是位置不同,即其中一条抛物线可通过另一条抛物线平移得到.(2)当抛物线对应的函数关系式是y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式时,可以根据图 象特点直接写出顶点坐标及对称轴,但这种记忆式的方法容易弄错符号,用 完全平方项为0确定顶点横坐标比较容易理解,也不容易弄错符号.
例6 (2019福建漳州龙海期中)不画出图象,写出函数y=2x2-4x+1的图象的 开口方向、对称轴、顶点坐标和它的性质.
学法指导 求二次函数图象的对称轴与顶点坐标时,可将函数解析式配方 成顶点式,再由顶点式确定图象的对称轴、顶点坐标,或直接利用顶点坐标 公式求解.
点拨 本题运用配方法和公式法求抛物线的对称轴和顶点坐标.在套用公 式时,一定要先将二次函数的表达式(如果不是一般式)化为一般式y=ax2+ bx+c(a≠0),再确定a,b,c的值.
解析 ∵y=-x2+2x+c=-(x-1)2+1+c,∴函数y=-x2+2x+c图象的对称轴为直线x= 1,开口向下,当x<1时,y随x的增大而增大.∵C(2,y3)关于直线x=1的对称点为 (0,y3),又∵0>-1>-2,∴y3>y2>y1.
方法归纳 利用二次函数的增减性比较函数值的大小时,首先要确定二次 函数的图象的对称轴,然后判断所给点是否在对称轴的同一侧,若在同一 侧,可根据函数的性质比较函数值的大小;若不在同一侧,可根据对称性转 化到同一侧,然后比较函数值的大小.
点拨 先根据二次函数的图象得到a>0,b<0,c>0,再根据一次函数的图象与 系数的关系和反比例函数的图象与系数的关系判断它们的位置.
分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴的交点情况进行推理,进而对题 中结论进行判断.
错解 错解一:∵0≤x≤3,y随x的增大而增大,∴当x=3时,函数的最大值为y=2×(3-2)2+3=5.错解二:∵二次函数y=2(x-2)2+3(0≤x≤3)图象开口向上,顶点是最低点,∴ 没有最大值.
正解 二次函数y=2(x-2)2+3(0≤x≤3)图象的顶点是(2,3).当x>2时,y随x的增大而增大,当x=3时,函数值y=2×(3-2)2+3=5;当x<2时,y随x的增大而减小,当x=0时,函数值y=2×(0-2)2+3=11.∴二次函数y=2(x-2)2+3(0≤x≤3)的最大值为11.
错因分析 错解一忽略了顶点横坐标在所给取值范围内,应分对称轴左侧和右侧两种情况计算、比较,从而确定最大值;错解二忽略自变量取值的限制而造成判断错误.结合自变量的取值范围作出函数图象的草图,能直观地解答本题.
答案 C 根据正方形的面积公式可知,函数关系式为y=x2,又∵x>0,∴选C.
2.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的异同点,说法错误的是 ( )A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反C.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴成轴对称D.点A(-3,9)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上
答案 D 点A(-3,9)在抛物线y=x2上,但不在抛物线y=-x2上.
3.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则 ( )A.y1
6.抛物线y=-3x2上有两点A(x,-27),B(2,y),则x= ,y= .
答案 ±3;-12
解析 把点A(x,-27)代入y=-3x2中,得-3x2=-27,解得x=±3.把点B(2,y)代入y=-3 x2中,得y=-3×22=-12.
答案 A 观察三个二次函数的解析式可知,对称轴都是y轴,故A正确;三 个函数图象的顶点坐标分别为(0,2),(0,-1),(0,0),它们的开口方向分别为向 上,向下,向上,故B,C,D都错误,故选A.
9.抛物线y=-6x2可以看成是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到的 ( )A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位
答案 B 抛物线y=-6x2的顶点坐标为(0,0),而抛物线y=-6x2+5的顶点坐标 是(0,5),从顶点坐标上可以看出需向下平移5个单位长度,故选B.
答案 B 二次函数y=-2(x-1)2的图象开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐 标为(1,0),故选B.
11.把函数y=-3x2的图象沿x轴向左平移5个单位长度,得到的图象的解析式 为 ( )A.y=-3x2+5 B.y=-3x2-5 C.y=-3(x+5)2 D.y=-3(x-5)2
答案 C 把函数y=-3x2的图象沿x轴向左平移5个单位长度,根据“左加右 减”的平移规律,得到的图象的解析式为y=-3(x+5)2.
12.已知抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的对称轴为直线x=-2,且过点(1,-3).(1)求该抛物线的解析式;(2)该抛物线是由y=ax2(a≠0)经过怎样的平移得到的?(3)当x在什么范围内时,y随x的增大而减小?当x取何值时,函数有最大(或最 小)值?
答案 D 抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是(1,1),将点(1,1)向右平移1个单 位,再向上平移3个单位后的坐标为(2,4),则原函数图象的顶点坐标为(2,4), 故选D.
14.(独家原创试题)若抛物线y=3(x-a)2+b的顶点在第三象限,则一次函数y= ax+b的图象经过 ( )A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
答案 B ∵抛物线y=3(x-a)2+b的顶点是(a,b),在第三象限,∴a<0,b<0,∴一 次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限.故选B.
15.(2019湖北武汉模拟)关于函数y=-(x+2)2-1的图象,叙述正确的是 ( )A.开口向上 B.顶点坐标为(2,-1)C.与y轴的交点为(0,-1) D.对称轴为直线x=-2
答案 D 函数y=-(x+2)2-1的图象开口向下,故选项A错误;顶点坐标为(-2,- 1),故选项B错误;当x=0时,y=-5,即该函数图象与y轴的交点为(0,-5),故选项C 错误;对称轴是直线x=-2,故选项D正确,故选D.
16.已知二次函数y=3(x-2)2+9.(1)该函数图象的开口向 ,对称轴为直线 ,顶点坐标为 ;(2)当x= 时,函数有最 值,是 ;(3)当x 时,y的值随x值的增大而增大;当x 时,y的值随x值 的增大而减小;(4)该函数图象经过怎样的平移可以得到二次函数y=3x2的图象?
解析 (1)上;x=2;(2,9).(2)2;小;9.(3)>2;<2.(4)将该函数图象向下平移9个单位长度,向左平移2个单位长度,即可得到 二次函数y=3x2的图象.
18.(2018江苏苏州太仓期中)将抛物线y=x2-2x+3向左平移1个单位,再向下 平移3个单位,则所得抛物线的解析式为 .
答案 y=x2-1
解析 y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2,由平移的规律:“左加右减自变量,上 加下减常数项”可得将原抛物线向左平移1个单位,再向下平移3个单位后 得到的抛物线的解析式为y=(x-1+1)2+2-3,即y=x2-1.
1.二次函数y=x2+4x-5的图象的对称轴为 ( )A.x=4 B.x=-4 C.x=2 D.x=-2
2.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物 线的函数关系式是 ( )A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2
答案 B 将抛物线y=x2+1向左平移2个单位,所得抛物线的函数关系式是 y=(x+2)2+1,再将抛物线y=(x+2)2+1向下平移3个单位,所得抛物线的函数关 系式是y=(x+2)2+1-3,即y=(x+2)2-2.故选B.
3.用配方法把函数y=-3x2-6x+10化成y=a(x-h)2+k的形式,然后指出图象的开 口方向、对称轴、顶点坐标和最值.
解析 ∵y=-3x2-6x+10=-3(x+1)2+13,∴图象开口向下,对称轴为直线x=-1,顶 点坐标为(-1,13),最大值为13,无最小值.
答案 C 选项A中,由抛物线开口向下可知a<0,由一次函数y=bx+a的图象与y轴交于正半轴可知a>0,矛盾,选项A错误.选项B中,由抛物线开口向下可知a<0,由抛物线的对称轴在y轴左侧,易知b<0,由一次函数y=bx+a的图象经过第一、三、四象限知a<0,b>0,矛盾,B错误.选项C中,由抛物线开口向上可知a>0,由抛物线的对称轴在y轴右侧,易知b<0,由一次函数y=bx+a的图象可知a>0,b<0,选项C正确.选项D中,由抛物线开口向上可知a>0,由抛物线的对称轴在y轴右侧,易知b<0,由一次函数y=bx+a的图象可知a>0,b>0,矛盾,选项D错误.
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.当A在抛物线的顶点处时,AC最 短,此时A(1,1),AC=1,即对角线BD的最小值为1.
4.(独家原创试题)把二次函数y=2(x-1)2+2的图象绕点(-1,0)旋转180°后,得 到的新抛物线的解析式为 .
答案 y=-2(x+3)2-2
解析 旋转180°不会改变抛物线的形状,但开口方向相反,所以旋转后的抛 物线的解析式的二次项系数为-2.二次函数y=2(x-1)2+2的图象的顶点坐标 为(1,2),点(1,2)关于点(-1,0)中心对称的点为(-3,-2),∴旋转后的抛物线的顶 点坐标为(-3,-2),故新抛物线的解析式为y=-2(x+3)2-2.
答案 B
3.已知A(x,y)是抛物线y=x2上的一个点且位于第一象限,点B的坐标是(3,0), 用S表示△OAB的面积.(1)求S与y之间的函数表达式以及S与x之间的函数表达式;(2)当S=6时,求点A的坐标;(3)在抛物线y=x2上求一点A',使得△OA'B是以OB为底的等腰三角形.
2.(2019湖北黄石大冶模拟,9,★☆☆)下列对二次函数y=x2-x的图象的描述, 正确的是 ( )A.经过原点B.对称轴是y轴C.开口向下D.在对称轴右侧,图象下降
5.(2019黑龙江哈尔滨平房一模,22,★★☆)把抛物线y=(x+2)2+k向左平移1 个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线y=(x+h)2-1,则h和k的值分别为 ( )A.3,-4 B.1,-4 C.1,2 D.3,2
答案 D 抛物线y=(x+2)2+k的顶点坐标是(-2,k),将点(-2,k)向左平移1个单 位,再向下平移3个单位后的坐标为(-3,k-3),∴平移后抛物线的解析式为y= (x+3)2+k-3.又∵平移后抛物线的解析式为y=(x+h)2-1,∴h=3,k=2.故选D.
二、填空题6.(2019河南洛阳一模,22,★★☆)点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y =ax2-2ax+c(a<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .
答案 y1=y2>y3
7.(2019江苏镇江润州二模,11,★★☆)已知函数y=ax2-6ax+9a+1的图象与线 段AB有交点,且点A(0,1)与点B(2,3),则a的取值范围为 .
三、解答题8.(2019浙江杭州上城一模,22,★★☆)已知二次函数y=a(x+a)(x+a-1).(1)当a=2时,求该二次函数图象的对称轴;(2)当a<0时,判断该二次函数图象的顶点所在的象限,并说明理由;(3)当0
2.(2018山东滨州一模,7,★★☆)将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位,再向 左平移1个单位,所得抛物线的解析式是 ( )A.y=x2-2x-1 B.y=x2+2x-1C.y=x2-2 D.y=x2+2
答案 C y=x2-2x+1=(x-1)2,根据题意得,所得抛物线的解析式是y=(x-1+1)2- 2=x2-2.故选C.
答案 D 由ab>0,得a、b同号.当a>0时,b>0,抛物线y=ax2的开口向上,过原 点,y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,此时没有选项符合;当a<0时,b<0, 抛物线y=ax2的开口向下,过原点,y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,此 时D选项符合.
5.(2019河南许昌二模,13,★★☆)已知函数y=-x2+2x-2图象上两点A(2,y1),B (a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是 .(填“<”“>”或“=”)
解析 ∵y=-x2+2x-2=-(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1,∵A(2,y1),B(a,y2),其中a> 2,∴点A与B在对称轴的右侧,∴y随x的增大而减小,∴y1>y2.
一、选择题1.(2019广西百色中考,9,★☆☆)抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移 得到? ( )A.先向左平移3个单位,再向下平移2个单位B.先向左平移6个单位,再向上平移7个单位C.先向上平移2个单位,再向左平移3个单位D.先向右平移3个单位,再向上平移2个单位
答案 A y=x2+6x+7=(x+3)2-2,按照“左加右减,上加下减”的规律,将抛 物线y=x2先向左平移3个单位,再向下平移2个单位即可得到抛物线y=x2+6x +7.
答案 D 由一次函数y=ax+a可知,一次函数的图象与x轴交于点(-1,0),排 除A、B;当a>0时,二次函数图象开口向上,一次函数图象经过第一、二、 三象限,当a<0时,二次函数图象开口向下,一次函数图象经过第二、三、四 象限,排除C.故选D.
解析 当x=-1时,y=a-b+c>0,当x=2时,y=4a+2b+c<0,故M-N=4a+2b-(a-b)=4a+2b+c-(a-b+c)<0,即M
答案 A 当x=1时,y1=-(x+1)2+2=-(1+1)2+2=-2,当x=2时,y2=-(x+1)2+2=-(2+1)2+2=-7,所以2>y1>y2.故选A.
2.(2019安徽中考,14,★☆☆)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别 与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q 都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .
答案 a>1或a<-1
解析 函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),∵平移直线l,可以使P,Q 都在x轴的下方,∴当x=a-1时,y=(a-1)2-2a(a-1)<0,∴a2-1>0,∴a>1或a<-1.
答案 y2
解析 (1)∵抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为 整数的点)依次为A1,A2,A3,…,An,…,∴点An的坐标为(n,n2).设点Mn的坐标为(a,a),则以点Mn为顶点的抛物线的解析式为y=(x-a)2+a,∵点An(n,n2)在抛物线y=(x-a)2+a上,∴n2=(n-a)2+a,解得a=2n-1或a=0(舍去),∴Mn的坐标为(2n-1,2n-1),∴顶点M1的坐标为(1,1),顶点M2的坐标为(3,3),顶点M3的坐标为(5,5).(2)∵Mn的坐标为(2n-1,2n-1),∴点M2 019的横坐标为2 019×2-1=4 037,∴M2 019 (4 037,4 037).
如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们 称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标;(2)探究下列问题:①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位,再向 上平移1个单位,求得到的图象对应的函数的特征数;②若一个函数的特征数为[2,3],问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得 到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?
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