高中北师大版 (2019)1 周期变化完美版课件ppt

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1.周期现象(1)以相同_____重复出现的变化叫作周期现象.(2)要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔相同间隔,这种变化是否会_________,若重复出现,则为周期现象;否则不是周期现象.
【思考】2020年7月6日再过200天是星期几?提示:2020年7月6日是星期一,由200=28×7+4知自2020年7月6日再过200天是星期五.
2.周期函数(1)一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意的x∈D,都有_______且满足f(x+T)=_____,那么函数y=f(x),x∈D称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.(2)如果在周期函数y=f(x),x∈D的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x),x∈D的最小正周期.如果不加特别说明,本书所指周期均为函数的最小正周期.
【思考】周期函数的周期是否只有一个?提示:不是,例如函数f(x)=x-[x]的周期就不止一个.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)钟表的秒针的运动是周期现象.(　　)(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象.(　　)(3)函数f(x)=x,x∈N是周期函数.(　　)
提示:(1)√.秒针每分钟转一圈,它的运动是周期现象.(2)×.虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化,但每次绿灯经过的车辆数不一定相同,故不是周期现象.(3)×.因为f(x+T)≠f(x),所以不是周期函数.
2.观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7,…”寻找规律,则第25个数字是______. 【解析】观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次,具有周期性,故第25个数字为2.答案:23.(教材二次开发:例题改编)讨论函数f(x)=8·(-1)n+1,n∈N*是否为周期函数,如果是,请指出它的周期.【解析】当n∈N*时,该函数的取值为8,-8,8,-8,…可见它是周期函数,且周期T=2.
类型一　生活中的周期现象(直观想象)【题组训练】1.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号,2016年是猴年,那么1949年是(　　)　　　A.牛年B.虎年C.兔年D.龙年【解析】选A.2016-1949=67,67÷12=5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是牛年.
2.如果今天是星期五,则58天后的那一天是星期(　　)A.五　B.六C.日D.一【解析】选C.因为每星期含有7天,而58=7×8+2,即58天后是过去8个星期后第2天,即星期日.
3.受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
根据规定,当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放,判断一天内对冲浪爱好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候?有多长时间?【解析】由题中表可知,潮汐呈周期性变化,所以一天内能开放三次,时间最长的一次是上午9时至下午3时,共6个小时.
【解题策略】判断生活问题的周期现象的依据是周期变化的特征,即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现,且现象是无差别的重复出现.
类型二　周期函数(数学抽象)角度1 利用函数图象判断 【典例】下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 (　　)
【思路导引】观察对任意一个实数x,每变化多少,函数值保持不变,观察这种变化是否是重复进行的.【解析】选D.结合周期函数的定义可知,A,B,C均为周期函数,D不是周期函数.
【变式探究】在如图所示的y=f(x)的图象中,若f(0.005)=3,则f(0.025)=______. 
【解析】由图象知周期为0.02,所以f(0.025)=f(0.005+0.02)=f(0.005)=3.答案:3
　角度2　利用周期定义判断 【典例】已知定义在N上的函数f(n)满足:f(n+2)=f(n+1)-f(n).(1)求证:f(n)是周期函数,并求出其周期;(2)若f(1)=1,f(2)=3,求f(2 012)的值.【思路导引】(1)利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可;(2)根据周期函数的定义得f(2012)=f(2),即可得出答案.
【解析】(1)因为f(n+2)=f(n+1)-f(n),所以f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)= -f(n+1)=-f(n),所以f(n+6)=-f(n+3)=- =f(n).所以f(n)是周期函数,周期为6.(2)因为f(n)是周期为6的函数,且f(1)=1,f(2)=3,所以f(2 012)=f(335×6+2)=f(2)=3.
【解题策略】1.观察函数图象判断周期性,关键是观察图象是否是周而复始重复出现.2.用定义法判断周期性,关键是证明对于任意的x∈D,都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x).
【题组训练】1.如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图,经过 周期后,甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点. 答案:丁　戊
2.如图是一个单摆振动的函数图象,根据图象,回答下面问题:(1)单摆的振动函数图象是周期变化吗?(2)若是周期变化,其振动的周期是多少?(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少?
【解析】(1)观察图象可知,图象从t=0.8 s开始重复,所以单摆的振动是周期变化;(2)振动的周期为0.8 s;(3)由图象知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5 cm,所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.
3.根据周期性的定义,请回答以下问题:(1)函数f(x)=x2满足f(-3+6)=f(-3),这个函数是不是以6为周期的周期函数?(2)函数f(x)= 是周期函数,且f =f(0),为什么 不是它的周期?
【解析】(1)不是.因为f(x+6)=(x+6)2=f(x)不恒成立,所以f(x)不是以6为周期的周期函数;(2)因为当x= 时,f =(-1)0=1,f =f(1)=(-1)1=-1,所以 所以 不是它的周期.
类型三　周期函数的应用(数学抽象、逻辑推理)【典例】已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[0,1]时,f(x)=4x-1,则f(4.5)的值为(　　)　　　　　　　　　A.2B.-1C.- D.1
【思路导引】先利用函数的周期转化,f(4.5)=f(0.5),代入即可.【解析】选D.因为f(x)的周期为2,所以f(4.5)=f(0.5);又因为当x∈[0,1]时,f(x)=4x-1,所以f(4.5)=f(0.5)=40.5-1=1.
【解题策略】确定好周期函数中重复出现的“最小正周期”,就可以把问题转化到一个周期内来解决.
【跟踪训练】　已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x+1)=-f(x),若f(1)=1,则f(10)=(　　)A.-1B.0C.1D.2【解析】选A.由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+1),据此可得f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期为2的函数,且f(2)=-f(1)=-1,据此可知f(10)=f(10-2×4)=f(2)=-1.
【拓展延伸】具有周期性的抽象函数:函数y=f(x),定义域内任一实数x(其中a为常数),①f(x)=f(x+a),则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;②f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;③f(x+a)=± ,则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;④f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数.
【拓展训练】已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(2+x)=f(-x),若f(1)=4,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=________. 【解题指南】由题意首先确定函数的周期,然后结合函数的关系式求解函数值即可.
【解析】因为f(x)是奇函数且f(2+x)=f(-x),所以f(4+x)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,因为f(1)=4所以f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-4,f(4)=f(0)=0 ,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=4+0-4+0+4+0-4+0=0.答案:0
1.下列是周期现象的为(　　)　　　　　　①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次;②某超市每天的营业额;③某地每年6月份的平均降雨量.A.①③B.②③C.①D.①②【解析】选C.①是周期现象;②中每天的营业额是随机的,不是周期现象;③中每年6月份的降雨量也是随机的,不是周期现象.
2.把 化成小数,小数点后第20位是(　　)A.1　B.2C.4D.8【解析】选C. =0. 42 85 ,小数点后“142857”呈周期性变化且周期为6.因为20=3×6+2,所以第20位为4.
3.把一批小球按2个红色,5个白色的顺序排列,第30个小球是______色. 【解析】周期为7,30=4×7+2,所以第30个小球与第2个小球颜色相同,为红色.答案:红
4.设函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数,且x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,则f =______. 
【解题指南】根据f(x)是以2为最小正周期的周期函数,将f 整理成 又因为 ∈[0,2],则根据f(x)=(x-1)2求解即可.【解析】因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数,所以又因为x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,所以答案:
5.(教材二次开发:练习改编)已知周期函数y=f(x)的图象如图所示,(1)求函数的周期;(2)画出函数y=f(x+1)的图象.【解题指南】(1)根据周期定义结合图象求得结果;(2)把y=f(x)向左平移一个单位长度得y=f(x+1)的图象.
【解析】(1)T=2.(2)把y=f(x)向左平移一个单位长度得y=f(x+1)的图象,即如图所示.
一　周 期 变 化【基础通关-水平一】(15分钟　30分)1.下列现象是周期现象的是(　　)①日出日落;②潮汐;③海啸;④地震.A.①②B.①②③C.①②④D.③④【解析】选A.日出日落是周期现象;潮汐是周期现象;海啸、地震不是周期现象.
2.如图所示的是一个单摆,让摆球从A点开始摆,最后又回到A点,单摆所经历的时间是一个周期T,则摆球在O →B→O→A→O的运动过程中,经历的时间是 (　　)A.2TB.TC. D.
【解析】选B.整个运动恰好是一个周期,所以运动的时间是T.
3.2019年,小明17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是(　　)A.26B.32C.36D.41【解析】选D.由十二生肖知,属相是12年循环一次.
4.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8,当x∈[-4,0]时f(x)=x+1,则f(25)=________.【解题指南】利用函数y=f(x)的周期和奇偶性可得出f(25)=f(1)=f(-1),进而得解. 【解析】由于函数f(x)是R上周期为8的偶函数,且当x∈[-4,0]时,f(x)=x+1,因此,f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0.答案:0
5.水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,假设水车5分钟转一圈,计算1小时内最多盛水多少升?【解析】因为1小时=60分钟=12×5分钟,且水车5分钟转一圈,所以1小时内水车转12圈.又因为水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,所以每转一圈,最多盛水16×10=160(升),所以水车1小时内最多盛水160×12=1 920(升).
【能力进阶-水平二】 (20分钟　40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.钟表分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟,现在分针恰好指在2点处,则100分钟后分针指在(　　)A.8点处B.10点处C.11点处D.12点处【解析】选B.由于100=1×60+40,所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同,现在分针恰好指在2点处,经过40分钟后分针应指在10点处.
2.探索图所呈现的规律,判断2 018至2 020箭头的方向是(　　)
【解析】选C.观察图可知每增加4个数字就重复相同的位置,则2 018至2 020箭头的方向与2至4箭头的方向是相同的.
3.对任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[-3.4]=-4,关于函数f(x)= ,有下列命题:①f(x)是周期函数;②f(x)是偶函数;③函数f(x)的值域为{0,1},其中正确的命题为(　　)A.①③B.②C.①②③D.①②
【解析】选A.因为f(x+3)= =f(x),所以f(x)是周期函数,3是它的一个周期,故①正确.f(x)= 结合函数的周期性可得函数的值域为{0,1},则函数不是偶函数,故②错误.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=-f(x),且函数y=f(x-1)为奇函数,则下列结论正确的是(　　)A.函数y=f(x)是周期函数B.函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称C.函数y=f(x)为R上的偶函数D.函数y=f(x)为R上的单调函数
【解题指南】利用f(x+2)=-f(x)可以判断函数y=f(x)的周期性,利用y=f(x-1)为奇函数可以判断函数y=f(x)的对称性和奇偶性,最后选出正确答案.
【解析】选ABC.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即T=4,故A正确;因为函数y=f(x-1)为奇函数,所以函数y=f(x-1)图象关于原点对称,所以B正确;又函数y=f(x-1)为奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),根据f(x+2)=-f(x),有f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+1)=f(-x-1),有f(-x)=f(x),即函数f(x)为R上的偶函数,C正确;因为函数y=f(x-1)为奇函数,所以f(-1)=0,又函数f(x)为R上的偶函数,f(1)=0,所以函数不单调,D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)5.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x1,x2∈R都有f(x1+x2)=100f(x1)f(x2),则下列结论一定正确的是________. (1)f(x)是偶函数;(2)f(x)是周期函数;(3)存在常数k,对任意x∈R,都有f(x+1)=kf(x);(4)对任意m∈R,存在x0∈R,使得f(x0)=m.【解题指南】取f(x)=10x-2,说明(1),(2),(4)不正确;在f(x1+x2)=100f(x1)f(x2)中,令x1=x,x2=1,分析可得存在常数k=100f(1)满足题意,所以(3)正确.
【解析】取f(x)=10x-2,则对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)= ,100f(x1)f(x2)= 所以f(x1+x2)=100f(x1)f(x2),所以f(x)=10x-2满足题意.对于(1),由于f(x)=10x-2不是偶函数,所以(1)不正确.对于(2),由于f(x)=10x-2不是周期函数,所以(2)不正确.
对于(4),由于f(x)=10x-2>0,所以当m≤0时,不存在x0∈R,使得f(x0)=m成立,所以(4)不正确.对于(3),在f(x1+x2)=100f(x1)f(x2)中,令x1=x,x2=1,得f(x+1)=100f(1)f(x),令k=100f(1),则f(x+1)=kf(x),所以存在常数k=100f(1),对任意x∈R,都有f(x+1)=kf(x),所以(3)正确.答案:(3)
6.如图所示的弹簧振子在A,B之间做简谐运动,振子向右运动时,先后以相同的速度通过M,N两点,经历的时间为t1=1 s,过N点后,再经过t2=1 s第一次反向通过N点,振子在这2 s内共通过了8 cm的路程,则振子的振动周期T=______s. 
【解析】设振子的振动周期为T,则振子由平衡位置O运动到B的时间为 ,而振子以相同的速度通过M,N的时间为t1=1 s,则O到N的时间为 ,又向右经N—B—N的时间为t2=1,则N到B的时间为 ,所以 所以T=4.答案:4【误区警示】本题容易把N—B的时间当作半个周期.
四、解答题7.(10分)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题:
(1)你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象吗?(2)转四圈需要多少时间?(3)你第四次距地面最高需要多少时间?(4)转60分钟时,你距离地面是多少?
【解析】(1)是周期现象.(2)转四圈需要时间为4×12=48(分钟).(3)第1次距离地面最高需 =6(分钟),而周期是12分钟,所以第四次距地面最高需12×3+6=42(分钟).(4)因为60÷12=5,所以转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同,即40.5-40=0.5(米).
【补偿训练】1.设f(x)是定义域为R的函数,对任意x∈R,都满足f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2-2x.(1)请指出f(x)在区间[-1,1]上的奇偶性、单调区间、零点;(2)试证明f(x)是周期函数,并求其在区间[2k-1,2k](k∈Z)上的解析式.
【解题指南】根据f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x)可推出函数为偶函数,由f(x+1)=f(x-1)可推出周期为2,根据周期及奇偶性可求出函数在[2k-1,2k]上的解析式.
【解析】(1)因为f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),所以f(x-1)=f(1-x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)为定义域R上的偶函数,故f(x)在区间[-1,1]上是偶函数,[0,1]是递减区间,[-1,0]是递增区间,零点是0.(2)因为f(x+1)=f(x-1),所以f(x)=f(x-2),故函数是周期为2的周期函数.设x∈[2k-1,2k],则x-2k∈[-1,0],-(x-2k)∈[0,1],所以f[-(x-2k)]=(x-2k)2+2(x-2k),
又函数是偶函数,且周期为2,所以f[-(x-2k)]=f(x-2k)=f(x),故f(x)=(x-2k)2+2(x-2k),x∈[2k-1,2k],k∈Z.
2.已知函数f(x)(x∈D),若存在常数T(T>0),对任意x∈D都有f(x+T)=T·f(x),则称函数f(x)为T倍周期函数.(1)判断h(x)=x是否是T倍周期函数,并说明理由;(2)证明g(x)= 是T倍周期函数,且T的值是唯一的.
【解析】(1) 设h(x+T)=T·h(x),则x+T=T·x对任意x恒成立,因为T无解,所以 h(x)=x 不是T倍周期函数.(2) 设g(x+T)=T·g(x),则 =T· 对任意x恒成立,即 =T,可得 T= ,