人教版新课标A2.4 平面向量的数量积优秀当堂检测题

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这是一份人教版新课标A2.4 平面向量的数量积优秀当堂检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

精选练习

一、选择题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 |m|=2，m·n=8，=60°，则|n|=( )

A.5 B.6 C.7 D.8

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a、b为两个单位向量，则下列说法正确的是( )

A.a=b B.如果a∥b，那么a=b C.a·b=1 D.a2=b2

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角为( )

A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为( )

A.2 B. C.2 D.4

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角θ为( )

A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知|b|=3，a在b方向上的投影为eq \f(3,2)，则a·b等于( )

A.3 B.eq \f(9,2) C.2 D.eq \f(1,2)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 有下列四个式子：①0·a=0；②0·a=0；③0－eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(NM,\s\up6(→))；④|a·b|=|a||b|，

其中正确的个数为( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知|a|=|b|=1，a与b的夹角是90°，c=2a＋3b，d=ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )

A.－6 B.6 C.3 D.－3

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b满足|a|=4，|b|=3，夹角为60°，则|a＋b|=( )

A.37 B.13 C.eq \r(37) D.eq \r(13)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为eq \f(π,3)，则向量m=a－4b的模为( )

A.2 B.2eq \r(3) C.6 D.12

二、填空题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 给出以下命题：

①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；

②若a·b=0，则a与b中至少有一个为0；

③a与b是两个单位向量，则a2=b2.

其中，正确命题的序号是________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)=________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若|a|=1，|b|=2，c=a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 设向量a，b，c满足a＋b＋c=0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)=12，则|b|=________；

b在a方向上的投影等于________.

三、解答题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求(a－2b)·b；

(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知非零向量a，b，满足|a|=1，(a－b)·(a＋b)=eq \f(1,2)，且a·b=eq \f(1,2).

(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 设两个向量e1，e2，满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为eq \f(π,3)，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

答案解析

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；解析：∵eq \f(m·n,|m|·|n|)=cs，∴eq \f(8,2|n|)=eq \f(1,2)，∴|n|=8.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；

解析：∵a、b为两个单位向量，∴|a|=|b|=1.

∴a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，∴a2=b2，故选D.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；解析：a在b方向上的投影为|a|cs=4×cs30°=2.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

解析：由题意，知a·b=|a||b|cs θ=4cs θ=2，又0≤θ≤π，所以θ=eq \f(π,3).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；

解析：设a与b的夹角为θ.∵|a|cs θ=eq \f(3,2)，∴a·b=|a||b|cs θ=3×eq \f(3,2)=eq \f(9,2).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；

解析：0·a=0，故①错；0·a=0，故②错；0－eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(NM,\s\up6(→))，故③正确；

|a·b|=|a||b|cs〈a，b〉，故④错，∴选D.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；

解析：∵c·d=0，∴(2a＋3b)·(ka－4b)=0，

∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2=0，∴2k=12，∴k=6.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

解析：|a＋b|=eq \r(a2＋2a·b＋b2)=eq \r(42＋2×4×3cs 60°＋32)=eq \r(37).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；

解析：|m|2=|a－4b|2=a2－8a·b＋16b2=4－8×2×1×eq \f(1,2)＋16=12，所以|m|=2eq \r(3).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：③；

解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|=|b|=1，所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b=0，显然①②错误.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－eq \f(9,2)；

解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)=－6eeq \\al(2,1)＋7e1·e2－2eeq \\al(2,2)=－6＋7×cs 60°－2=－eq \f(9,2).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：120°；

解析：∵c⊥a，∴c·a=0，∴(a＋b)·a=0，即a2＋a·b=0.

∵|a|=1，|b|=2，∴1＋2cs〈a，b〉=0，∴cs〈a，b〉=－eq \f(1,2).

又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：4；

解析：由a＋b＋c=0得c=－a－b.又(a－b)·c=0，∴(a－b)·(－a－b)=0，即a2=b2.

则c2=(a＋b)2=a2＋b2＋2a·b=a2＋b2=2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2=4.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \r(2)，1；

解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)=a2＋eq \f(1,2)a·b－3b2=12，即3|b|2－eq \r(2)|b|－4=0，

解得|b|=eq \r(2)(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cs 45°=eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)=1.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵|a|=2|b|=2，

∴|a|=2，|b|=1.

又a在b方向上的投影为|a|cs θ=－1，

∴a·b=|a||b|cs θ=－1.

∴cs θ=－eq \f(1,2)，∴θ=eq \f(2π,3).

(2)(a－2b)·b=a·b－2b2=－1－2=－3.

(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，

∴(λa＋b)·(a－3b)=λa2－3λa·b＋b·a－3b2

=4λ＋3λ－1－3=7λ－4=0，∴λ=eq \f(4,7).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)=eq \f(1,2)，

∴a2－b2=eq \f(1,2)，即|a|2－|b|2=eq \f(1,2).

又|a|=1，∴|b|=eq \f(\r(2),2).

∵a·b=eq \f(1,2)，∴|a|·|b|cs θ=eq \f(1,2)，∴cs θ=eq \f(\r(2),2)，

∴向量a，b的夹角为45°.

(2)∵|a－b|2=(a－b)2=|a|2－2|a||b|cs θ＋|b|2=eq \f(1,2)，

∴|a－b|=eq \f(\r(2),2).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，

得eq \f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2|·|e1＋te2|)<0.

即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，

化简即得2t2＋15t＋7<0，解得－7

当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，

但此时夹角不是钝角，

设2te1＋7e2=λ(e1＋te2)，λ<0，可得

eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2t＝λ，,7＝λt，,λ<0，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\r(14)，,t＝－\f(\r(14),2).))

∴所求实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))).

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