高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积优秀课后练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积优秀课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

精选练习


一、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知向量a=(0，－2eq \r(3))，b=(1，eq \r(3))，则向量a在b方向上的投影为( )


A.eq \r(3) B.3 C.－eq \r(3) D.－3


LISTNUM OutlineDefault \l 3 设x∈R，向量a=(x,1)，b=(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|=( )


A.eq \r(5) B.eq \r(10) C.2eq \r(5) D.10


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知向量a=(2,1)，b=(－1，k)，a·(2a－b)=0，则k=( )


A.－12 B.－6 C.6 D.12


LISTNUM OutlineDefault \l 3 a，b为平面向量，已知a=(4,3)，2a＋b=(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )


A.eq \f(8,65) B.－eq \f(8,65) C.eq \f(16,65) D.－eq \f(16,65)


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )


A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形


LISTNUM OutlineDefault \l 3 设向量a=(1,0)，b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则下列结论中正确的是( )


A.|a|=|b| B.a·b=eq \f(\r(2),2) C.a－b与b垂直 D.a∥b


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知向量 SKIPIF 1 < 0 =(2,2)， SKIPIF 1 < 0 =(4,1)，在x轴上有一点P，使 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 有最小值，则点P的坐标是( )


A.(－3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若a=(x,2)，b=(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，＋∞))


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知 SKIPIF 1 < 0 =(－3,1)， SKIPIF 1 < 0 =(0,5)，且 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 (O为坐标原点)，则点C的坐标是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(29,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(29,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(29,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－\f(29,4)))


二、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 设向量a=(1,2m)，b=(m＋1,1)，c=(2，m).若(a＋c)⊥b，则|a|=________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知向量a=(1，eq \r(3))，2a＋b=(－1，eq \r(3))，a与2a＋b的夹角为θ，则θ=________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知向量a=(eq \r(3)，1)，b是不平行于x轴单位向量，且a·b=eq \r(3)，则向量b坐标为______.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，


则m=________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 的值为______；


SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.


三、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知平面向量a=(1，x)，b=(2x＋3，－x)，x∈R.


(1)若a⊥b，求x的值；


(2)若a∥b，求|a－b|.
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1).


(1)求 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 及| SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 |；


(2)设实数t满足( SKIPIF 1 < 0 －t SKIPIF 1 < 0 )⊥ SKIPIF 1 < 0 ，求t的值.















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2).


(1)若|c|=2eq \r(5)，且c∥a，求c的坐标；


(2)若|b|=eq \f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知 SKIPIF 1 < 0 =(4,0)， SKIPIF 1 < 0 =(2,2eq \r(3))， SKIPIF 1 < 0 =(1－λ) SKIPIF 1 < 0 ＋λ SKIPIF 1 < 0 (λ2≠λ).


(1)求 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影；


(2)证明A，B，C三点共线，且当 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 时，求λ的值；


(3)求| SKIPIF 1 < 0 |的最小值.


答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：向量a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)=eq \f(－6,2)=－3.选D.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：由a⊥b得a·b=0，∴x×1＋1×(－2)=0，即x=2，


∴a＋b=(3，－1)，∴|a＋b|=eq \r(10).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：2a－b=(4,2)－(－1，k)=(5,2－k)，由a·(2a－b)=0，


得(2,1)·(5,2－k)=0，∴10＋2－k=0，解得k=12.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：设b=(x，y)，则2a＋b=(8＋x,6＋y)=(3,18)，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋x＝3，,6＋y＝18，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝12，))故b=(－5,12)，


所以cs〈a，b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(16,65).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：由题设知 SKIPIF 1 < 0 =(8，－4)， SKIPIF 1 < 0 =(2,4)， SKIPIF 1 < 0 =(－6,8)，


∴ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =2×8＋(－4)×4=0，即 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 .


∴∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：由题意知|a|=eq \r(12＋02)=1，|b|=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)=eq \f(\r(2),2)，


a·b=1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,2)=eq \f(1,2)，(a－b)·b=a·b－|b|2=eq \f(1,2)－eq \f(1,2)=0，故a－b与b垂直.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：设P(x,0)，则 SKIPIF 1 < 0 =(x－2，－2)， SKIPIF 1 < 0 =(x－4，－1)，


∴ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =(x－2)(x－4)＋2=x2－6x＋10=(x－3)2＋1，


故当x=3时， SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 最小，此时点P的坐标为(3,0).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞eq \f(10,3)，且x≠－eq \f(6,5)，∴x＞eq \f(10,3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：设C(x，y)，则 SKIPIF 1 < 0 =(x，y).


又 SKIPIF 1 < 0 =(－3,1)，∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 =(x＋3，y－1).


∵ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，∴5(x＋3)－0·(y－1)=0，∴x=－3.


∵ SKIPIF 1 < 0 =(0,5)，∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 =(x，y－5)， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 =(3,4).


∵ SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，∴3x＋4(y－5)=0，∴y=eq \f(29,4)，∴C点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(29,4))).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \r(2)；


解析：a＋c=(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b=0，


即3(m＋1)＋3m=0，解得m=－eq \f(1,2)，则a=(1，－1)，故|a|=eq \r(2).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(π,3)；


解析：∵a=(1，eq \r(3))，2a＋b=(－1，eq \r(3))，∴|a|=2，|2a＋b|=2，a·(2a＋b)=2，


∴cs θ=eq \f(a·2a＋b,|a||2a＋b|)=eq \f(1,2)，∴θ=eq \f(π,3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))；


解析：设b=(x，y)(y≠0)，则依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x2＋y2)＝1，,\r(3)x＋y＝\r(3)，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))故b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2；


解析：因为向量a=(1,2)，b=(4,2)，所以c=ma＋b=(m＋4,2m＋2)，


所以a·c=m＋4＋2(2m＋2)=5m＋8，b·c=4(m＋4)＋2(2m＋2)=8m＋20.


因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以eq \f(c·a,|c|·|a|)=eq \f(c·b,|c|·|b|)，即eq \f(a·c,|a|)=eq \f(b·c,|b|)，


所以eq \f(5m＋8,\r(5))=eq \f(8m＋20,2\r(5))，解得m=2.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：1，1；


解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示.





则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，设E(1，a)(0≤a≤1).


所以 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =(1，a)·(1,0)=1， SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =(1，a)·(0,1)=a≤1，


故 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 的最大值为1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)若a⊥b，


则a·b=(1，x)·(2x＋3，－x)=1×(2x＋3)＋x(－x)=0，


即x2－2x－3=0，解得x=－1或x=3.


(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)=0，即x(2x＋4)=0，解得x=0或x=－2.


当x=0时，a=(1,0)，b=(3,0)，a－b=(－2,0)，|a－b|=2.


当x=－2时，a=(1，－2)，b=(－1,2)，a－b=(2，－4)，|a－b|=eq \r(4＋16)=2eq \r(5).


综上，|a－b|=2或2eq \r(5).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵ SKIPIF 1 < 0 =(－3，－1)， SKIPIF 1 < 0 =(1，－5)，


∴ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =－3×1＋(－1)×(－5)=2.


∵ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 =(－2，－6)，


∴| SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 |=eq \r(4＋36)=2eq \r(10).


(2)∵ SKIPIF 1 < 0 －t SKIPIF 1 < 0 =(－3－2t，－1＋t)， SKIPIF 1 < 0 =(2，－1)，


且( SKIPIF 1 < 0 －t SKIPIF 1 < 0 )⊥ SKIPIF 1 < 0 ，


∴( SKIPIF 1 < 0 －t SKIPIF 1 < 0 )· SKIPIF 1 < 0 =0，


∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)=0，


∴t=－1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)设c=(x，y)，∵|c|=2eq \r(5)，∴eq \r(x2＋y2)=2eq \r(5)，


∴x2＋y2=20.


由c∥a和|c|=2eq \r(5)，


可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－4.))


故c=(2,4)或c=(－2，－4).


(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)=0，


即2a2＋3a·b－2b2=0，


∴2×5＋3a·b－2×eq \f(5,4)=0，整理得a·b=－eq \f(5,2)，


∴cs θ=eq \f(a·b,|a||b|)=－1.


又θ∈[0，π]，∴θ=π.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1) SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =8，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为θ，则cs θ=eq \f(8,4×4)=eq \f(1,2)，


∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为| SKIPIF 1 < 0 |cs θ=4×eq \f(1,2)=2.


(2) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 =(－2,2eq \r(3))，


SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 =(1－λ)· SKIPIF 1 < 0 －(1－λ) SKIPIF 1 < 0 =(λ－1) SKIPIF 1 < 0 ，


所以A，B，C三点共线.


当 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 时，λ－1=1，所以λ=2.


(3)| SKIPIF 1 < 0 |2=(1－λ)2 SKIPIF 1 < 0 ＋2λ(1－λ) SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＋λ2 SKIPIF 1 < 0


=16λ2－16λ＋16=16(λ-eq \f(1,2))2＋12，


∴当λ=eq \f(1,2)时，| SKIPIF 1 < 0 |取到最小值，为2eq \r(3).