2021届高考文科数学模拟预热卷（全国Ⅱ卷）

2021届高考文科数学模拟预热卷（全国Ⅱ卷）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设,则集合(   )

A. B. C. D.

2.下列角的终边位于第四象限的是(   )

A.420° B.860° C.1 060° D.1 260°

3.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是(   )

A.2枚都是4点

B.1枚是1点，另1枚是3点

C.2枚都是2点

D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点

4.等差数列中,,则的值是(   )

A.20 B.22 C.24 D.

5.过点和圆相切的直线方程为(   )

A. B. C.或 D.不确定

6.已知数列的前项和为,且.记为数列的前项和,则使成立的最小正整数为(   )

A.5 B.6 C.7 D.8

7.执行下面的程序框图，则输出的 (   )

A.17 B.19 C.21 D.23

8.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为(   )

A.2             B.1             C.0             D.0或1

9.已知对于任意的，都有成立，且在上单调递增，则不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

10.已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为,则球的表面积为(   )

A. B. C. D.

11.设，则的大小关系是(　　)

A. B. C. D.

12.设函数,其中.若且的最小正周期大于,则(     )

A.  B. 

C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，则的值是                  .

14.记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_____.

15.若满足约束条件，则的最大值为________.

16.在下列命题中,真命题有___________.(填序号)

①若在内是增函数,则对任意,都应有;

②若在内存在,则必为单调函数;

③若在内对任意x都有,则在内是增函数;

④若可导函数在内有,则在内有.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. （12分）在中,内角所对的边分别为。已知。

(1)求的值；

(2)求的值。

18. （12分）某企业销售部门为了解员工的销售能力，设计了关于销售的问卷调查表，从该部门现有员工中按性别（男生占45%）分层抽取n名进行问卷调查，得分分为1,2,3,4,5五个档次，各档次中参与问卷调查的员工的人数如条形图所示.已知第5档员工的人数占总人数的.

（1）（i）求n与a的值；

（ii）若将某员工得分所在的档次作为该员工的销售能力基数（记销售能力基数为能力基数高，其他均为能力基数不高）.在销售能力基数为5的员工中，女生与男生的比例为，以抽取的n名员工为研究对象，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关.

（2）为提高员工的销售能力，部门组织员工参加各种形式的培训讲座.经过培训，每位员工的营销能力指数y与销售能力基数以及参加培训的次数t满足函数关系式.如果员工甲的销售能力基数为4，员工乙的销售能力基数为2，则在甲不参加培训的情况下，乙至少需要参加多少次培训，其营销能力指数才能超过甲？

参考数据及参考公式：，

，其中.

19. （12分）设双曲线与直线相交于不同的两点.

(1)求双曲线的离心率的取值范围；

(2)设直线与轴的交点为,且,求实数的值.

20. （12分）已知函数.

(1)若,求函数的极值,并指出是极大值还是极小值;

(2)若,求函数在上的最大值和最小值;

(3)若,求证:在区间上函数的图像在函数的图像的下方.

21. （12分）如图,在四棱锥中,平面平面,四边形为正方形, 为等边三角形, 是中点,平面与棱交于点．

(1)求证: ;

(2)求证: 平面;

(3)记四棱锥的体积为,四棱锥的体积为,直接写出的值．

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线经过伸缩变换后得到曲线．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；

（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值

23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数a的最大值。

答案以及解析

一、选择题

1.答案：C

解析：由得故.

2.答案：C

解析：，其终边位于第一象限；，其终边位于第二象限；，其终边位于第四象限；，其终边位于x轴负半轴.故选C.

3.答案：D

解析：B,C中表示的随机试验的结果，随机变量的取值均为4，而D是代表的所有试验结果.故选D.

4.答案：C

解析：因为,所以,所以.

5.答案：C

解析：由题意知,点在圆外,故过点的切线应有两条.

当所求直线斜率存在时,设直线方程为,

即.由于直线与圆相切,

所以圆心到直线的距离,解得,

所以切线方程为.

当所求直线斜率不存在时,直线,也符合条件.

综上,所求切线的方程为或.

6.答案：C

解析：由,可知,,即.时,,,,.数列是以1为首项,以为公比的等比数列..又,数列是以为首项,以为公比的等比数列..,, 即,.又的最小值为7.故选C.

7.答案：C

解析：由程序框图知等于正奇数数列的前项和，其中，当前项和大于100时退出循环，则，当时，；当时，，退出循环.则输出的的值为，故选C.

8.答案：A

解析：由题意得，圆心到直线的距离为，所以.又圆内切于椭圆，所以点在椭圆内部，则过点的直线与椭圆有2个交点.故选A.

9.答案：D

解析：由，可知的图像关于直线对称.

在上单调递增，在上单调递减，

等价于，即，

，即.故选D.

10.答案：A

解析：如图所示，设球的半径为，的半径为，因为的面积为，所以，解得，又，所以，解得，故，所以，所以球的表面积.故选A.

11.答案：B

解析：因为，所以，故选B.

12.答案：A

解析：由题意，其中，所以，又，所以，所以,由得,故选A．

二、填空题

13.答案：

解析：因为，所以，，得.

14.答案：

解析：当时,,解得;当时,,两式相减可得, ,故,设,故,即,故.故数列是以为首项,为公比的等比数列,故,故.

15.答案：3

解析：作出满足约束条件的可行域，如图阴影部分所示，作直线，平移直线，当直线过点A时，z取得最大值，由，解得，所以z取得最大值为.

16.答案：③

解析：对于①,可以存在,使而不影响区间内函数的单调性,如,①错误;对于②,导数符号不确定,函数不一定是单调函数,②错误;对于③,若在内对任意x都有,则在内是增函数,③正确;对于④,只能得到单调递减,④错误.

三、解答题

17.答案：(1)在中,由正弦定理,得

,又因为,所以。

又因为,所以。

由余弦定理可得,

。

(2)由(1)得,

从而,

,

故。

18.答案：解：（1）（i）由题意，可得，所以，

.

（ii）列联表如表所示.

，

所以没有的把握认为销售能力基数高不高与性别有关.

（2）员工甲不参加培训的营销能力指数.

员工乙参加t次培训后的营销能力指数，

由已知得，即，

，

所以乙至少需要参加17次培训，其营销能力指数才能超过甲.

19.答案：(1)由与相交于不同的两点,

知方程组有两组不同的实数解,

消去并整理,得,

所以,解得且.

双曲线的离心率,

因为且,所以且,

即离心率的取值范围为.

(2)设,由题意知.

因为,

所以,所以.

因为都是(1)中方程的根,且,

所以,

消去,得,因为,所以.

20.答案：(1)函数的定义域为,当时,,令,得或(舍去),

当时,,函数单调递减,

当时,,函数单调递增,

所以在处取得极小值,极小值为,无极大值.

(2)当时,易知函数在上为增函数,

所以.

(3)设,

则,

当时,,故在区间上是减函数.

又因为,所以在区间上恒成立,即恒成立.因此当时,在区间上函数的图像在函数图像的下方.

21.答案：（1）证明 因为为正方形,所以.

因为平面, 平面,

所以平面

因为平面,平面平面,

所以

（2）证明 因为四边形是正方形,所以.

因为平面平面,平面平面, 平面,

所以平面

因为平面,所以

因为为等边三角形, 是中点,所以.

因为平面, 平面, ,

所以平面

（3）由（1）知, , ,

∴，则

∴ .

22.答案：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

因为，则曲线的参数方程．

所以的普通方程为．

所以为圆心在原点，半径为2的圆．

所以的极坐标方程为，即．

（2）直线的普通方程为．

曲线上的点到直线的距离

．

当即时，取到最小值为．

当即时，取到最大值为

23.答案：（1）由，得，即，解得，所以原不等式的解集为[-1,0].

（2），x恒成立，即为，x恒成立。当x=0时，；

当时，，因为（当且仅当2x=，即时等号成立），所以，综上，故实数a的最大值为