2021届高考数学模拟预热卷（新高考）（三）

2021届高考数学模拟预热卷（新高考）（三）

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,,则(    )

A. B. C. D.

2.已知复数,则等于（   ）

A.1 B. C.2 D.

3.现将爱国福，和谐福，友善福，富强福，敬业福排成一排，爱国福与敬业福相邻，则不同排法有______种(   ).

A．72               B．24               C．36                 D．48

4.如图,为测量一座古塔的高度,工作人员从与塔底同一水平面的点测得塔顶的仰角为,然后从出发朝古塔方向走了30米后到达处,并测得此时的仰角为,则此古塔的高度为(   )

A.米 B.米 C.米 D.米

5.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是(    )

A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大

B．这五年，2015年出口额最少

C．这五年，2019年进口增速最快

D．这五年，出口增速前四年逐年下降

6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：)(   )

A.2018年   B.2019年    C.2020年    D.2021年

7.在中, 为边上任意一点, 为的中点, ,则的值为(   )

A.  B.  C.  D. 1

8.在下列区间中,函数的零点所在的区间为(      )

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知抛物线的焦点到准线的距离为2,过点的直线与抛物线交于两点,为线段的中点,为坐标原点,则下列结论正确的是(   )

A.的准线方程为 B.线段的长度最小为4

C.的坐标可能为 D.恒成立

10.下图是函数,则(   )

A. B.   C.   D.

11.已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是(   )

A.

B.点是函数的图象的一个对称中心

C.函数在上单调递增

D.函数在上有3个零点

12.某市有四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览的概率为,游览的概率都是,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点个数,则(   )

A.该游客至多游览一个景点的概率为 B.

C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知为椭圆的右焦点,为坐标原点,为线段的垂直平分线与椭圆的一个交点,若,则椭圆的离心率为___________________.

14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前项和为________________.

15.已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面是边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积为_____________.

16.若三棱柱的体积为12，点为棱上一点，则四棱锥的体积为____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）在四边形中,,是上的点且满足与相似,,,.

(1)求的长度；

(2)求三角形面积的最大值.

18. （12分）已知各项均为正数的等差数列和等比数列满足，且，

(1)求数列，的通项公式.

(2)若，求.

19. （12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对A,B两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：

（1）通过茎叶图比较A,B两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：

记事件C:“A获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C发生的概率.

20. （12分）如图,平面.

(1)求证:平面;

(2)求直线与平面所成角的正弦值;

(3)若二面角的余弦值为,求线段的长.

21. （12分）已知函数,其中是自然对数的底数,实数是常数.

（1）设,求函数的图象在点处的切线方程;

（2）讨论函数的单调性.

22. （12分）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明:两点的横坐标之和为常数.

答案以及解析

一、单项选择题

1.答案：B

解析：集合,

,

则.

故选：B

2.答案：B

解析：∵复数

∴

故选B

3.答案：D

解析：先排爱国福与敬业福，共有 (种)不同排法，再将爱国福与敬业福看做一个整体与和谐福，友善福，富强福排序，共有 (种)不同排法，故由分步乘法计数原理可得，共有 (种)不同排法

4.答案：D

解析：设古塔高度为米,在中, ,,米.由正弦定理得,所以.因为,所以米.

5.答案：D

解析：对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选：D

6.答案：B

解析：设x年后研发资金超过200万元，则，

即，解得，故选B.

7.答案：A

解析：因为为边上任意一点,故将中的化为得变形得,则,可得

详解:因为为的中点, ,

所以,即

因为为边上任意一点,

所以,

所以

故选A

8.答案：C

解析： 显然 为定义在上且图象连续的函数,
如图,作出与的图象,
由图像知函数的零点一定落在区间内,
又,,故选C。

二、多项选择题

9.答案：BCD

解析：由焦点到准线的距离为2,得抛物线的焦点为,准线方程为,A项错误.

设,直线的方程为.联立消去可得,消去可得,所以.,故B项正确.当时,可得,所以C项正确.又,所以,所以D项正确.故选BCD.

10.答案：BC

解析：本题主要考查三角函数.

由题图可知,,

所以,

所以.

当时,由函数图象过点,

且,得,

所以,

同理,当时,,

所以.

故本题正确答案为BC.

11.答案：AB

解析：在中，令，得又因为函数是上的奇函数，所以，A正确，故是一个周期为4的奇函数，因为是函数的图象的一个对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，B正确作出函数的部分图像如图所示

易得，函数在上不具有单调性，C错误D、根据上图可知，函数在上有7个零点，D错误

12.答案：ABD

解析：的所有可能取值为0,1,2,3,4.

则,

,

所以该游客至多游览一个景点的概率为,故A正确.

,故B正确.

,故C错误.

又,

所以,故D正确.

故选ABD.

三、填空题

13.答案：

解析：由题意知,则可设.将代入椭圆的方程,得,即.设为线段的垂直平分线与轴的交点,则为直角三角形.由于,所以不妨设,则.由勾股定理可得,即,得.又,所以,解得或(舍去),故,所以椭圆的离心率.

14.答案：

解析：数列表示首项为1,公差为2的等差数列,各项均为正奇数,而数列表示首项为1,公差为3的等差数列,各项分别为交替出现的正奇数与正偶数,它们的公共项为数列中的奇数项,所以是首项为1,公差为6的等差数列,其前项和.

15.答案：

解析：设此球半径为，

因底面是边长为2的正方形,且面,若四棱锥的体积为，

则，∴，

可以把四棱锥补成一个以为底、为侧棱的长方体，

则这个长方体的外接球就是四棱锥的外接球，球心就是的中点，

∴,∴，

则该球的体积为.

故答案为：.

16.答案：8

解析：.

四、解答题

17.答案：(1) ,

在三角形中,,

即, 

所以,； 

(2)因为,所以,

在三角形中,,

所以,

所以,

所以, 

所以,

所以三角形面积的最大值为.   

18.答案：(1)因为为等差数列，且，所以可设公差为d，

则，所以，.

因为，所以，解得或.

又等差数列各项均为正数，所以不合题意，舍去所以

因为为等比数列，且，所以可设公比为，则.

因为，所以，解得，满足各项均为正数，所以.

(2)由(1)知，所以.

所以.

19.答案：（1）通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散.

（2）记表示事件：“A选手直接晋级”， 表示事件：“A选手复赛待选”；

表示事件：“B选手复赛待选”， 表示事件：“B选手淘汰出局”．

则与独立，与独立，与互斥，．

由所给数据得，，，发生的频率分别为，

故，

.

20.答案：(1)依题意,可以建立以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得.设,则.

依题意,是平面的法向量,又,可得,又直线平面,所以平面.

(2)依题意,.

设为平面的法向量,则即不妨令,可得.因此有.

所以,直线与平面所成角的正弦值为.

(3)设为平面的法向量,则即

不妨令,可得.

由题意,有,解得.经检验,符合题意.

所以,线段的长为.

21.答案：（1）∵,∴,

∴.

∴当时,函数的图象在点处的切线方程为

（2）∵,

∴.

当时, ,故在上单调递增;

当时,由,得,

∴当    时, ,当时, ,

∴在上单调递减,在上单调递增.

综上,当时, 在上单调递增;

当时, 在上单调递减,在上单调递增

22.答案：（1）因为椭圆经过点,所以;又因为,

所以;又,解,

所以椭圆的方程为.

（2）设三点坐标分别为,,，

设直线斜率分别为，则直线方程为，

由方程组消去，得，

由根与系数关系可得

故，

同理可得

又，

故，

则，

从而.

即两点的横坐标之和为常数.