2021届高考理科数学模拟预热卷（全国Ⅲ卷）

2021届高考理科数学模拟预热卷（全国Ⅲ卷）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.若，则(   )

A. B.1 C. D.2

3.某校统计了1200名学生的数学学业水平考试成绩，得到样本频率分布直方图，如图.已知不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则数学成绩的平均分、众数、中位数及成绩优秀的学生人数分别是(   )

A.71，75，71.4，240  B.71，75，70，120

C.72，75，75，24  D.70，75，71.4，120

4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长,则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是(   )
(参考数据: ,,)

A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年

5.已知双曲线为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为.若为直角三角形，则(   )

A. B.3 C. D.4

6.已知,则向量在方向的投影是(   )。

A. B. C. D.

7.在中,分别是内角的对边,若,则的形状是(   )。

A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形

8.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线条表示的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的四个面中面积最小是(   )

A. B. C.2 D.

9.在中,若,则的形状一定是(   )

A.等边三角形  B.不含60°角的等腰三角形

C.钝角三角形  D.直角三角形

10.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若的面积为8，则的焦距的最小值为(   )

A.4 B.8 C.16 D.32

11.已知是椭圆上的动点,过点作圆的两条切线分别与圆相切于点,直线与轴、轴分别相交于两点,则(为坐标原点)面积的最小值为(   )

A.1 B. C. D.

12.已知函数的导函数是偶函数,若方程在上有两个不相等的实数根,则实数c的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若满足约束条件则的最大值为___________.

14.的展开式中的常数项为____________.

15.已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球半径为__________．

16.如图,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,
下列四个命题中：
①面PAC； ②面PBC；
③； ④面PBC．
其中正确命题的是______ 请写出所有正确命题的序号

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. （12分）已知首项为的等比数列的前项和为,且成等差数列.

(1)求数列的通项公式;

(2)证明:.

18. （12分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如表所示.

(1)现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；

(2)从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；

(3)为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5 000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.

19. （12分）如图所示,该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的,.

(1)证明：平面平面；

(2)求正四棱锥的高,使得二面角的余弦值是.

20. （12分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线C上有一点到焦点的距离为5.

(1)求该抛物线C的方程.

(2)已知抛物线上一点,过点M作抛物线的两条弦和,且,判断直线是否过定点?并说明理由.

21. （12分）设函数，.

(1)若，求函数的单调区间.

(2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）

已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程.

(2)若分别是曲线和曲线上的动点,求的最小值.

23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）

已知存在,使得.

求的取值范围；

证明：.

答案以及解析

一、选择题

1.答案：B

解析：因为，所以.又集合，所以，故选B.

2.答案：B

解析：由题意，得，则.

故选B.

3.答案：A

解析：平均分为，众数为75.

前三个小矩形的面积和为，第四个小矩形的面积为，

所以中位数应位于第四个小矩形中，设其底边为x，高为0.035，所以，解得，

故成绩的中位数为71.4.成绩优秀的学生人数为.故选A.

4.答案：B

解析：设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元，则,即，因为x取整数,所以取，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019 年。故选B.

5.答案：B

解析：因为双曲线的渐近线方程为，所以.不妨设过点F的直线与渐近线交于点M，且，则，又直线过点，所以直线的方程为，由得所以点M的坐标为，所以，所以.故选B.

6.答案：C

解析：根据题意,向量,

则,

而,

则在方向上的投影为；

故选：C。

7.答案：A

解析：在中,由余弦定理可得,化简可得,即,故为等腰三角形,故选A。

8.答案：C

解析：由三视图可知,三棱锥的直观图的示意图如图中的,图中正方体的棱长为2.由图知,三棱锥的四个面中面积最小是.故选C.

9.答案：D

解析：由题意,利用三角恒等变换公式,化简得,即,即,得,即,所以,所以为直角三角形.

10.答案：B

解析：由题意知双曲线的渐近线方程为，因为分别为直线与双曲线的两条渐近线的交点，所以不妨设，，所以，所以，所以，所以，所以的焦距的最小值为8，故选B.

11.答案：D

解析：设.因为是圆的切线,且切点为,所以的方程为.同理,的方程为.又因为交于点,所以点的坐标满足切线方程,即,所以直线的方程为.令,得点的坐标为；令,得点的坐标为.所以.又因为是椭圆上的点,所以,所以(当且仅当时等号成立),所以(当且仅当时等号成立).所以,所以面积的最小值为.故选D.

12.答案：A

解析：∵,∴,又是偶函数,∴∴.方程在上有两个不相等的实数根,即在上有两个不相等的实数根,即在上有两个不相等的实数根,令,则的图像与直线在上有两个不同的交点.,当时,,单调递增,当时,在单调递减,∴当时,.又,且的图象与直线在上有两个不同的交点,∴.故选A.

二、填空题

13.答案：5

解析：作出不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分所示.观察可知,当直线过点时,有最大值5.

14.答案：28

解析：，

由,得，

故所求的常数项为.

15.答案：

解析：由题意可得,PC⊥平面ABC,以PC为一条侧棱,△ABC为底面把三棱锥P−ABC补成一个直三棱柱,

则该直三棱柱的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，且该直三棱柱上、下底面的外接圆圆心连线的中点就是球心，∵底面外接圆的半r=1,∴三棱锥P−ABC的外接球半径.故答案为：

16.答案：①②③

解析：

∵所在的平面,
∴,
又∵AB是的直径
∴,由线面垂直的判定定理,可得面PAC,故①正确；
又由平面PAC
∴,结合于F,
由线面垂直的判定定理,可得面PBC,故②正确；
又∵于E,结合②的结论
我们易得平面PAB
由平面PAB,可得,故③正确；
由②的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直,故④错误；
故答案为：①②③
根据已知中,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判定,即可得到答案．
三、解答题

17.答案：(1)设等比数列的公比为,

因为成等差数列,

所以,即,可得,

于是.

又,所以等比数列的通项公式为.

(2)

当为奇数时,随的增大而减小,所以;

当为偶数时,随的增大而减小,所以.

故对于,有.

18.答案：（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有（人），所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率.

（2）X所有可能的取值为1，2，3.

,,.

所以X的分布列为

所以X的数学期望为.

（3）在随机抽取的100名顾客中，

使用自由购的共有（人），

所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.

19.答案：(1)在直三棱柱中,平面,

平面,所以.

又平面平面,

所以平面.

因为平面,所以平面平面.

(2)由(1)知平面,如图,以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,

则,.

设平面的法向量为,

则取,则,

所以.

设平面的法向量为,

则取,则,

所以.

因为二面角的余弦值为,

所以,

解得或(舍),

所以正四棱锥的高.

20.答案：(1)由题意可设抛物线C的方程为,

其准线方程为.

点到焦点的距离等于其到其准线的距离,

.抛物线C的方程为.

(2)由(1)可得点,且直线的斜率不为0,设直线的方程为,

联立得,则.①

设,则.

,

即,

得,

,即或,

代入①式检验知满足恒成立,

直线的方程为.

直线过定点.

21.答案：(1)因为函数，

所以的定义域为，.

又，所以

若，则，所以.

令，得，即当时，函数单调递增.

令，得，即当时，函数单调递减.

综上可知，函数的单调增区间为，单调减区间为.

(2)因为，所以，.

又，所以.

①当时，，所以函数在上单调递增.

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增.

即当时，取得最小值，为.

所以当时，函数只有一个零点，所以不满足题意.

②当，即时，.

令，得；令，得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

又，所以，使

所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

作出函数的示意图，如图(1).

要使函数有两个零点，则当x趋近于0时，，

即，解得.所以a的取值范围为.

③当，即时，.

令，得；令，得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以函数在上单调递减.

又，所以当时，函数只有一个零点，所以不满足题意.

④当，即时，.

令，得；令，得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

因为，所以，使.

所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

作出函数的示意图，如图(2).

又，所以由图像可知，，使得.

所以当时，函数有2个零点.

综上可知，当时，函数有两个零点.

22.答案：(1)因为曲线的参数方程为(为参数),所以曲线的普通方程为.

因为曲线的极坐标方程为,

所以曲线的直角坐标方程为.

(2)方法一 设(为参数).

因为点到直线的距离,

所以当,即时,最小,即.

方法二 曲线的圆心到直线的距离为,

所以.

23.答案：(1)因为,

因为存在,使得,

所以,即的取值范围是.

(2)由(1)知.

因为,(等号成立的条件为)

所以.