2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学（4）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学

（4）平面向量的应用

一、基础知识梳理

1.平面几何中的向量方法

（1）向量在平面几何中常见的应用

①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：.

②证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：

.

③求夹角问题，常用向量的夹角公式：.

④求线段的长度或证明线段相等，常用向量的模长公式：

或.

（2）向量法解决平面几何问题的“三步曲”

[拓展]三角形“四心”的向量表示形式：

（1）重心：若点是的重心，则或（其中为平面内任意一点）.

反之，若，则点是的重心．

（2）垂心：若点是的垂心，则．反之，若

，则点是的垂心．

（3）内心：若点是的内心，则有．反之，若

，则点是的内心．

（4）外心：若点是的外心，则或

．反之，若，则点是的外心．

2.向量在物理中的应用

（1）力学问题的向量处理方法

向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.

（2）速度、位移问题的向量处理方法

速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.

（3）向量与功、动量

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.

①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可负，

也可为零.

②动量涉及物体的质量，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.

3.余弦定理

在中，角的对边分别为，（如图），则：

，

，

.

三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

4.余弦定理的推论

，

，

.

5．解三角形

一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

6．利用余弦定理及其推论解三角形的类型

（1）已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；

（2）已知三角形的三条边求三个角．

7．余弦定理和勾股定理的关系

在中，由余弦定理得，若角，则，于是，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.

角为直角是直角三角形；

角为钝角是钝角三角形；

角为锐角不一定是锐角三角形（需三个角都是锐角才是锐角三角形）

8.正弦定理

在中，角的对边分别为，（如图），则：

即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

9.正弦定理的常见变形

（1）（边角互化）.

（2）.其中，为外接圆的半径.

（3）（边化角）；

（4）（角化边）.

10.三角形的面积公式

（1）.（为外接圆的半径）

（2），其中为的一边长，而为该边上的高的长.

（3），其中分别为的内切圆半径及的周长.

（4）海伦公式：，其中.

（5），其中.

（6），其中，.

11.利用正弦定理及其推论解三角形的类型

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.

12.基线的概念与选择原则

（1）定义

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.

（2）性质

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.

13.实际测量距离中，常用的名称术语

（1）仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（如图所示）

（2）方向角

从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转.（如图所示）

（3）方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角.如点的方位角为.

（4）坡角与坡度

①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）；

②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，为坡度）.坡度又称为坡比.

14.解三角形应用题的4步骤

二、巩固练习

1.如图,在重的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为(   )。

A. B. C. D.

2.已知，，将函数的图像向右平移个单位长度后关于y轴对称，则的值可以是(   )

A. B. C. D.

3.若在中,,且,则的形状是(   )。

A.等边三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形

4.在平面上有三个不同的点,设,若与的长度恰好相等,则有(   )。

A.三点必在一条直线上 B.必为等腰三角形且为顶角

C.必为直角三角形且为直角 D.必为等腰直角三角形

5.已知向量，向量则的最大值，最小值分别是（   ）

A.  B.  C.  D.

6.已知三个力同时作用于某物体上一点,为使该物体保持平衡,再加上一个力,则为(   )。

A. B. C. D.

7.已知三个力同时作用在某物体的同一点上.为保持物体平衡,现再加上一个力为,则等于(   )

A. B. C. D.

8.已知向量,则_______。

9.一个重的物体从倾斜角为,斜面长的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力做的功是_____________。

10.设平面上有四个互异的点,若,则的形状一定是__________。

11.在水流速度为的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以的速度航行,则船实际航行的速度的大小为____________。

12.在中,角的对边分别为,向量,且.

(1)求的值；

(2)若,,求角的大小及向量在方向上的投影.

答案以及解析

1.答案：C

解析：作,使。在中,,,,,则。

2.答案：A

解析：，将其图像向右平移个单位长度，得的图像，此时图像关于y轴对称，所以，解得取，得故选A

3.答案：D

解析：如图,,

,

为等腰直角三角形。

4.答案：C

解析：以为邻边作平行四边形,则。由的长度相等,可知,因此平行四边形是矩形,故选C。

5.答案：D

解析：设与夹角为,因为,,
所以.
因为,所以,
所以,即,
所以.

6.答案：D

解析：由物理知识知,若物体平衡,则所受合力为,所以,故,故选D。

7.答案：D

解析：.

8.答案：

解析：。

9.答案：

解析：因为物体沿斜面下滑的分力大小,所以。

10.答案：等腰三角形

解析：,是等腰三角形。

11.答案：

解析：用表示水流速度,表示与水流垂直的方向的速度,则表示船实际航行速度。因为,所以。

12.答案：(1)由,得,所以

因为,∴

(2)由正弦定理,得,则

因为,所以,则.

由余弦定理得,解得,

故向量在方向上的投影为